微分方程的對稱與積分方法

前言

　　本書是對Bluman和Kumei的《對稱與微分方程》（1989年初版，1996年重印）前四章的重要更新。自從1989年以來，在微分方程的對稱方法（群方法）方面已經(jīng)有了相當大的發(fā)展，不少研究論文、著作和新的符號軟件都致力于這個課題的研究。毫無疑問，這是由于這些方法在非線性微分方程中具有固有的適用性。微分方程的對稱方法最初是由Lie于19世紀后半葉發(fā)展起來的，具有高度的算法化，因此適用于符號計算。這些方法系統(tǒng)地拓展了已知的構(gòu)造微分方程的顯式解的技巧，特別是非線性微分方程。求解特殊微分方程獨創(chuàng)性的技巧明顯源于對稱的觀點，因而對稱方法并沒有被更廣泛地接受顯得有點令人驚訝。學習本書中所提出的方法，進而理解已知的符號操作軟件來獲得微分方程的解析結(jié)果是非常有意義的。常微分方程（ODEs）包括通過群不變性或積分因子實現(xiàn)階的約化，偏微分方程（PDEs）包含特殊解的構(gòu)造，如相似解或非古典解、尋找守恒律、等價映射以及線性化。　　本書的大部分內(nèi)容并沒有出現(xiàn)在《對稱與微分方程》中，特別是關(guān)于高階ODEs的首次積分，以及用高階對稱約化ODE的階。另外，本書還增加了ODE的對稱和積分方法之間比較的新內(nèi)容。　　本書包括對量綱分析的綜合處理。對Lie點變換（點對稱）群、接觸對稱和高階對稱進行了全面討論，這對于發(fā)現(xiàn)微分方程的解是重要的，而不需要群理論的知識。本書重點是利用顯式的算法研究給定微分方程的對稱和積分因子，進而由這樣的對稱和積分因子構(gòu)造解和首次積分。　　本書特別適合于應(yīng)用數(shù)學工作者、工程人員及科學家閱讀，因為他們對如何系統(tǒng)地發(fā)現(xiàn)微分方程的顯式解很感興趣。書中幾乎所有的例子都來自物理和工程中的實際應(yīng)用，包括與熱方程、波傳播和流體流動有關(guān)的問題?！　〉?章詳細討論了量綱分析。通過具體介紹不變性概念，引入了著名的Buck-inghamPi定理。變量尺度變換作用下邊值問題的不變性自然導致一般化，這就埋下了伏筆，因為第3章和第4章討論Lie變換群作用下微分方程的更廣義的不變性。基本上，在閱讀第1章后，讀者會對本書的一些主題有個直觀的印象?！　〉?章發(fā)展了Lie變換群和Lie代數(shù)的基本概念，這對下面兩章的閱讀是必要的。從函數(shù)映成函數(shù)且其自變量不變的觀點，通過無窮小生成元來考慮Lie點變換群，我們證明如何自然地考慮其他的局部變換，如接觸變換和高階變換。而且，這為研究微分方程的積分因子打下了基礎(chǔ)。

內(nèi)容概要

本書系統(tǒng)地介紹了量綱分析、Lie無窮小變換以及在常微分方程(組)和偏微分方程(組)中的應(yīng)用，全書共分四章，第1章介紹了量綱分析、有關(guān)的重要原理及其在偏微分方程不變解中的應(yīng)用，第2章發(fā)展了Lie無窮小變換和Lie代數(shù)，給出了一些基本定理和性質(zhì)，另外，詳細給出了無窮小變換的高階展開公式，第3章主要討論Lie對稱在各種常微分方程(組)中的應(yīng)用，包括一階、二階和更高階的方程以及常微分方程的初值問題等，另外，還討論了接觸對稱、高階對稱和伴隨對稱，第4章討論Lie對稱在各類偏微分方程(組)中的應(yīng)用，每節(jié)后附有大量經(jīng)典的例子，供讀者進一步熟練掌握Lie對稱及其拓展類型的使用方法，詳略得當，易于讀者閱讀。    本書可作為高等院校數(shù)學、物理、力學、生物學、工程等專業(yè)的高年級大學生和研究生教材或參考書，也可供相關(guān)領(lǐng)域的教師和科研人員閱讀參考。

書籍目錄

中文版序前言緒論第1章  量綱分析、建模與不變性  1.1  引言  1.2  量綱分析：Buckin曲am Pi定理    1.2.1  量綱分析蘊涵的假設(shè)    1.2.2  量綱分析的結(jié)論    1.2.3  Buckin曲am Pi定理的證明    1.2.4  舉例    習題1.2  1.3量綱分析在PDEs中的應(yīng)用    習題1.3  1.4  量綱分析的推廣：變量尺度作用下PDEs的不變性    習題1.4  1.5  討論第2章  Lie變換群與無窮小變換  2.1  簡介  2.2  Lie變換群    2.2.1  群    2.2.2  群的舉例    2.2.3  變換群    2.2.4  單參數(shù)Lie變換群    2.2.5  單參數(shù)Lie變換群舉例    習題2.2  2.3  無窮小變換群    2.3.1  Lie第一基本定理    2.3.2  Lie第一基本定理應(yīng)用舉例    2.3.3  無窮小生成元    2.3.4  不變函數(shù)    2.3.5  正則坐標    2.3.6  正則坐標集舉例    習題2.3  2.4  點變換和拓展變換（延拓）    2.4.1  點變換的拓展群：單個因變量和單個自變量    2.4.2  拓展的無窮小變換：單個因變量和單個自變量    2.4.3  拓展變換：單個因變量和n個自變量    2.4.4  拓展的無窮小變換：單個因變量和n個自變量    2.4.5  拓展的變換與拓展的無窮小變換：m個因變量和n個自變量    習題2.4  2.5  多參數(shù)Lie變換群和Lie代數(shù)    2.5.1  r參數(shù)Lie變換群    2.5.2  Lie代數(shù)    2.5.3  Lie代數(shù)舉例    2.5.4  可解Lie代數(shù)    習題2.5  2.6  曲線和曲面映射    2.6.1  不變曲面、不變曲線、不變點    2.6.2  曲線映射    2.6.3  曲線映射例子    2.6.4  曲面映射    習題2.6  2.7局部變換    2.7.1  點變換    2.7.2  接觸和高階變換    2.7.3  局部變換例子    習題2.7  2.8  討論第3章  常微分方程  3.1  引言    習題3.1  3.2  一階ODEs    3.2.1  正則坐標    習題3.2  3.3  點對稱作用下二階和高階0DEs的不變性    3.3.1  通過正則坐標實現(xiàn)階的約化    3.3.2  通過微分不變量實現(xiàn)階的約化    3.3.3  階的約化舉例    3.3.4  n階ODE的點變換的確定方程    3.3.5  給定群作用下n階ODEs的不變量的確定    習題3.3  3.4  多參數(shù)Lie點變換群作用下階的約化    3.4.1  2參數(shù)Lie群作用下二階ODE的不變性    3.4.2  2參數(shù)Lie群作用下n階ODE的不變性    3.4.3  具有可解Lie代數(shù)的r參數(shù)Lie群作用下n階ODE的不變性    3.4.4  具有可解Lie代數(shù)的r參數(shù)Lie群作用下超定常微分方程組的不變性    習題3.4  3.5  接觸對稱和高階對稱    3.5.1  接觸對稱和高階對稱的確定方程    3.5.2  接觸對稱和高階對稱舉例    3.5.3  利用具有特征形式的點對稱實現(xiàn)階的約化    3.5.4  用接觸和高階對稱實現(xiàn)階的約化    習題3.5  3.6  通過積分因子獲得首次積分和階的約化    3.6.1  一階ODEs    3.6.2  二階ODEs的積分因子的確定方程    3.6.3  二階ODEs的首次積分    3.6.4  三階和高階ODEs的積分因子的確定方程    3.6.5  三階和高階ODEs的首次積分舉例    習題3.6  3.7  積分因子與對稱之間的基本聯(lián)系    3.7.1  伴隨對稱    3.7.2  伴隨不變性條件和積分因子    3.7.3  發(fā)現(xiàn)伴隨對稱和積分因子舉例    3.7.4  Noether定理、變分對稱和積分因子    3.7.5  對稱、伴隨對稱和積分因子計算的比較    習題3.7  3.8  由對稱和伴隨對稱實現(xiàn)首次積分的直接構(gòu)造    3.8.1  源于對稱和伴隨對稱的首次積分    3.8.2  用對稱或伴隨對稱從wronski公式獲得首次積分    3.8.3  自伴隨ODEs的首次積分    習題3.8  3.9  應(yīng)用于邊值問題    習題3.9  3.10  不變解    習題3.10  3.11  討論第4章  偏微分方程  4.1  引言    4.1.1  PDE的不變性    4.1.2  初等例子    習題4.1  4.2  標量PDEs的不變性    4.2.1  不變解    4.2.2  后階PDE對稱的確定方程    4.2.3  例子    習題4.2  4.3  偏微分方程組的不變性    4.3.1  不變解    4.3.2  偏微分方程組對稱的確定方程    4.3.3  例子    習題4.3  4.4  應(yīng)用于邊值問題    4.4.1  標量PDE的邊值問題不變性的公式    4.4.2  一個線性標量PDE的不完全不變性    4.4.3  線性偏微分方程組的不完全不變性    習題4.4  4.5  討論參考文獻譯后記《現(xiàn)代數(shù)學譯叢》已出版書目

章節(jié)摘錄

　　第1章　量綱分析、建模與不變性　　1.1　引言　　本章基于對量綱分析的全面研究，介紹不變性蘊涵的一些思想。我們將說明量綱分析與建模及PDEs邊值問題的不變性所導致的解的構(gòu)造之間是如何建立聯(lián)系的?！　τ诟信d趣的一個量，通常人們最多知道它所依賴的自變量（不妨說共有n個）和所有這n+1個量的量綱。量綱分析通常用于約化基本自變量的個數(shù)。建模的出發(fā)點是力求減少必要的試驗測量的個數(shù)。下面將要證明，量綱分析能夠約化PDE邊值問題中自變量的個數(shù)。最重要的是，對于PDEs，基于量綱分析的自變量個數(shù)的約化是尺度f拉伸）變換群作用下不變性約化的一種特殊情況?！　?.2　量綱分析：Buckingham Pi定理　　量綱分析的基本定理為美國工程科學家Buckin曲am（1914，1915a，b）提出的所謂Buckingham Pi定理。參看文獻（Bridgman，1931；Barenblatt，1979，1987，1996；Sedov，1982；Bluman，1983a）。GSrtler（1975）給出了它的歷史發(fā)展。詳細的數(shù)學描述參看文獻（Curtis，Logan and Parker，1982）?！　∠旅骊P(guān)于量綱分析的假設(shè)和結(jié)論構(gòu)成了Buckingham Pi定理。

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