算子范數(shù)與Hilbert型不等式

前言

　　100年前，即1908年，德國數(shù)學家D。Hilbert發(fā)表了以他的名字命名的不等式。Hilbert不等式聲名卓著，應用甚廣，經數(shù)學家及數(shù)學研究者的不懈努力，至今已發(fā)展成為以該不等式為特例的Hilbert型不等式理論。然而，歷史上除英國數(shù)學家G.H.Hardy等著的Inequalities（1934），克羅地亞數(shù)學家J.E.Mitrinovic等著的InequalitiesInvolvingFunctionsandTheirIntegralsandDerivatives（1991）及我國數(shù)學家胡克著的《解析不等式的若干問題》（2003）各辟一章，較為集中地收錄并論述Hilbert不等式的發(fā)表成果外，尚未見其他專著系統(tǒng)闡述它?！　?991年，我國知名數(shù)學家徐利治發(fā)表論文，首創(chuàng)了權系數(shù)方法以改進Hilbert不等式，使該不等式的研究有了新的突破。受他思想的啟迪，我從1998年開始逐步優(yōu)化權系數(shù)方法，引入獨立參量及Beta，函數(shù)，在國際SCI期刊及國內權威期刊發(fā)表了推廣或改進Hilbert不等式的數(shù)十篇研究論文，由此觸發(fā)了對Hilbert型不等式的全方位研究。2004年，作者提出了引入及配置兩對共軛指數(shù)與獨立參數(shù)的參量化思想，用科學的參數(shù)系統(tǒng)表述各類推廣的Hilbert型不等式。2006年以來，隨著用線性算子刻畫各類Hilbert型不等式的思想方法的誕生與發(fā)展，該課題的理論體系亦隨之確立。本書借鑒了近百年來大量發(fā)表文獻的思想成果，用權系數(shù)的方法、參量化的思想及線性算子理論系統(tǒng)闡述各類Hilbert型不等式及逆式，并用實分析技巧及級數(shù)求和的估值理論處理連續(xù)及離散問題，使之渾然成一體系。本書可看作國內外系統(tǒng)論述Hilbert型不等式理論的第一部專著。　　編寫本書的目的，除想借此完成對業(yè)已發(fā)展成型的Hilbert型不等式理論進行系統(tǒng)描述外，還想借本書的出版提升對該課題領域的研究水平，使本書的讀者能以更新、更清晰的眼光審視Hilbert型不等式，進一步推動對：Hilbert型不等式理論的應用研究?！　≈档梅Q謝的是，“廣東省教育廳自然科學基金重點項目”（052026），“廣東省自然科學基金”（7004344）及“廣東教育學院教授博士基金”相繼資助了編寫本書的科研課題。在編寫本書的過去一年里，我曾在自己主持的“解析不等式討論班”上宣講過書稿的部分章節(jié)，其間得到不少師生的批評指正，特別是鐘五一副教授，她通讀了初稿，并對本書的大量例題逐一演算，指正了不少錯漏，為本書增色不少，在此謹對鐘老師及討論班的學員表示衷心感謝。廣東教育學院院長劉勁予教授、副院長李龍圖教授及數(shù)學系的領導對出版本書的支持使我備受鼓舞，在此一并致謝。

內容概要

本書是系統(tǒng)探討Hilbert型不等式理論的一部專著，作者應用實分析、泛函分析中的思想與不等式的權系數(shù)及參量化方法，在多類賦范線性空間建立核為負數(shù)齊次的Hilbert型不等式、逆式及其等價式，討論其常數(shù)因子的最佳性，并用算子理論描述其構造形態(tài)，用算子范數(shù)刻畫其最佳常數(shù)因子，還討論了Hilbert型積分算子有界的若干條件。本書覆蓋了近100年來200余篇原始文獻及若干本數(shù)學專著的成果，其陳述深入淺出，實例頗多且具有從一般到特殊等特點，閱讀本書需要實分析及泛函分析的基礎知識。    本書可作為函數(shù)論及應用數(shù)學方向的研究生教材或教學參考書，也適合對解析不等式感興趣的廣大數(shù)學愛好者閱讀欣賞。

作者簡介

楊必成，男，1947年生，廣東汕尾人，數(shù)學教授，現(xiàn)任廣東教育學院應用數(shù)學研究所所長，兼任歐洲《數(shù)學文摘》及美國《數(shù)學評論》評論員，數(shù)學專業(yè)雜志Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics，The Australian Joural of Mathematical Analysis and Applications及《不等式研究通訊》編委，自1986年至今，從事可和性、解析數(shù)論、算子理論與解析不等式的研究，已發(fā)表論文220余篇，其中有32篇為SCI收錄，另有13篇發(fā)表在《數(shù)學學報》、《數(shù)學年刊》及《數(shù)學進展》等期刊上，曾獲多項科研資助及科研獎勵，2007年被授予“廣東省師德先進個人”榮譽稱號。

書籍目錄

前言第1章  緒論  1.1  Hilbert不等式與Hilbert算子    1.1.1  Hilbert不等式與Hilbert算子的研究背景    1.1.2  Hilbeit不等式的精確化    1.1.3  引入-對共軛指數(shù)的Hilbert不等式    1.1.4  核為-1齊次的雙線型不等式及其特例    1.1.5  核為-n+1齊次的多重不等式  1.2  Hilbert不等式的近代研究    1.2.1  Hillbert積分不等式的近代研究    1.2.2  權系數(shù)的方法與Hilbert不等式的加強    1.2.3  引入獨立參數(shù)的Hilbert不等式    1.2.4  參量化的Hilbert型不等式  1.3  算子刻畫與基本的Hilbert型不等式    1.3.1  Hilbert型積分算子的近代研究    1.3.2  基本的Hilbert型不等式  參考文獻第2章  預備性定理：關于Eulei-MaclaIlrin公式的改進及應用  2.1　級數(shù)求和的Euler-Maclaurin公式    2.1.1  Beinoulli數(shù)    2.1.2  Beinoulli多項式    2.1.3  Betnoulli函數(shù)    2.1.4  Euler-Maclaurin公式  2.2  關于級數(shù)余項的估值式    2.2.1  被積函數(shù)為4階不變號的情況    2.2.2  被積函數(shù)為2階不變號的情況    2.2.3  關于δa（m，n）的估值及一些實用不等式  2.3  關于兩類無窮級數(shù)的估值式    2.3.1  一類收斂級數(shù)的估值式    2.3.2  一類發(fā)散級數(shù)有限和的估值式  參考文獻第3章  參量化的Hbert型積分不等式與算子表示  3.1  不含共軛指數(shù)的Hilbert型積分不等式    3.1.1  若干基本結果    3.1.2  一些不含共軛指數(shù)的Hilbert型積分不等式的特例    3.1.3  不含共軛指數(shù)的Hilbeit型積分不等式的算子表示    3.1.4  含參變量但不含共軛指數(shù)的Hilbeit型積分不等式  3.2  參量化的Hilbert型積分不等式及其逆式    3.2.1  參量化的Hilbert型積分不等式與算子表示    3.2.2  逆向的Hibert型積分不等式    3.2.3  一些特例    3.2.4  一些含參變量與共軛指數(shù)的Hilbert型積分不等式  3.3  Hilbert型積分算子有界的若干充分條件及應用    3.3.1  單變量的核在（0，1）上有界的情形    3.3.2  單變量的核在[δ，1）（0

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