算子范數(shù)與Hilbert型不等式

前言

　　100年前，即1908年，德國數(shù)學(xué)家D。Hilbert發(fā)表了以他的名字命名的不等式。Hilbert不等式聲名卓著，應(yīng)用甚廣，經(jīng)數(shù)學(xué)家及數(shù)學(xué)研究者的不懈努力，至今已發(fā)展成為以該不等式為特例的Hilbert型不等式理論。然而，歷史上除英國數(shù)學(xué)家G.H.Hardy等著的Inequalities（1934），克羅地亞數(shù)學(xué)家J.E.Mitrinovic等著的InequalitiesInvolvingFunctionsandTheirIntegralsandDerivatives（1991）及我國數(shù)學(xué)家胡克著的《解析不等式的若干問題》（2003）各辟一章，較為集中地收錄并論述Hilbert不等式的發(fā)表成果外，尚未見其他專著系統(tǒng)闡述它?！　?991年，我國知名數(shù)學(xué)家徐利治發(fā)表論文，首創(chuàng)了權(quán)系數(shù)方法以改進Hilbert不等式，使該不等式的研究有了新的突破。受他思想的啟迪，我從1998年開始逐步優(yōu)化權(quán)系數(shù)方法，引入獨立參量及Beta，函數(shù)，在國際SCI期刊及國內(nèi)權(quán)威期刊發(fā)表了推廣或改進Hilbert不等式的數(shù)十篇研究論文，由此觸發(fā)了對Hilbert型不等式的全方位研究。2004年，作者提出了引入及配置兩對共軛指數(shù)與獨立參數(shù)的參量化思想，用科學(xué)的參數(shù)系統(tǒng)表述各類推廣的Hilbert型不等式。2006年以來，隨著用線性算子刻畫各類Hilbert型不等式的思想方法的誕生與發(fā)展，該課題的理論體系亦隨之確立。本書借鑒了近百年來大量發(fā)表文獻的思想成果，用權(quán)系數(shù)的方法、參量化的思想及線性算子理論系統(tǒng)闡述各類Hilbert型不等式及逆式，并用實分析技巧及級數(shù)求和的估值理論處理連續(xù)及離散問題，使之渾然成一體系。本書可看作國內(nèi)外系統(tǒng)論述Hilbert型不等式理論的第一部專著。　　編寫本書的目的，除想借此完成對業(yè)已發(fā)展成型的Hilbert型不等式理論進行系統(tǒng)描述外，還想借本書的出版提升對該課題領(lǐng)域的研究水平，使本書的讀者能以更新、更清晰的眼光審視Hilbert型不等式，進一步推動對：Hilbert型不等式理論的應(yīng)用研究。　　值得稱謝的是，“廣東省教育廳自然科學(xué)基金重點項目”（052026），“廣東省自然科學(xué)基金”（7004344）及“廣東教育學(xué)院教授博士基金”相繼資助了編寫本書的科研課題。在編寫本書的過去一年里，我曾在自己主持的“解析不等式討論班”上宣講過書稿的部分章節(jié)，其間得到不少師生的批評指正，特別是鐘五一副教授，她通讀了初稿，并對本書的大量例題逐一演算，指正了不少錯漏，為本書增色不少，在此謹對鐘老師及討論班的學(xué)員表示衷心感謝。廣東教育學(xué)院院長劉勁予教授、副院長李龍圖教授及數(shù)學(xué)系的領(lǐng)導(dǎo)對出版本書的支持使我備受鼓舞，在此一并致謝。

內(nèi)容概要

本書是系統(tǒng)探討Hilbert型不等式理論的一部專著，作者應(yīng)用實分析、泛函分析中的思想與不等式的權(quán)系數(shù)及參量化方法，在多類賦范線性空間建立核為負數(shù)齊次的Hilbert型不等式、逆式及其等價式，討論其常數(shù)因子的最佳性，并用算子理論描述其構(gòu)造形態(tài)，用算子范數(shù)刻畫其最佳常數(shù)因子，還討論了Hilbert型積分算子有界的若干條件。本書覆蓋了近100年來200余篇原始文獻及若干本數(shù)學(xué)專著的成果，其陳述深入淺出，實例頗多且具有從一般到特殊等特點，閱讀本書需要實分析及泛函分析的基礎(chǔ)知識。    本書可作為函數(shù)論及應(yīng)用數(shù)學(xué)方向的研究生教材或教學(xué)參考書，也適合對解析不等式感興趣的廣大數(shù)學(xué)愛好者閱讀欣賞。

作者簡介

楊必成，男，1947年生，廣東汕尾人，數(shù)學(xué)教授，現(xiàn)任廣東教育學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所所長，兼任歐洲《數(shù)學(xué)文摘》及美國《數(shù)學(xué)評論》評論員，數(shù)學(xué)專業(yè)雜志Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics，The Australian Joural of Mathematical Analysis and Applications及《不等式研究通訊》編委，自1986年至今，從事可和性、解析數(shù)論、算子理論與解析不等式的研究，已發(fā)表論文220余篇，其中有32篇為SCI收錄，另有13篇發(fā)表在《數(shù)學(xué)學(xué)報》、《數(shù)學(xué)年刊》及《數(shù)學(xué)進展》等期刊上，曾獲多項科研資助及科研獎勵，2007年被授予“廣東省師德先進個人”榮譽稱號。

書籍目錄

前言第1章  緒論  1.1  Hilbert不等式與Hilbert算子    1.1.1  Hilbert不等式與Hilbert算子的研究背景    1.1.2  Hilbeit不等式的精確化    1.1.3  引入-對共軛指數(shù)的Hilbert不等式    1.1.4  核為-1齊次的雙線型不等式及其特例    1.1.5  核為-n+1齊次的多重不等式  1.2  Hilbert不等式的近代研究    1.2.1  Hillbert積分不等式的近代研究    1.2.2  權(quán)系數(shù)的方法與Hilbert不等式的加強    1.2.3  引入獨立參數(shù)的Hilbert不等式    1.2.4  參量化的Hilbert型不等式  1.3  算子刻畫與基本的Hilbert型不等式    1.3.1  Hilbert型積分算子的近代研究    1.3.2  基本的Hilbert型不等式  參考文獻第2章  預(yù)備性定理：關(guān)于Eulei-MaclaIlrin公式的改進及應(yīng)用  2.1　級數(shù)求和的Euler-Maclaurin公式    2.1.1  Beinoulli數(shù)    2.1.2  Beinoulli多項式    2.1.3  Betnoulli函數(shù)    2.1.4  Euler-Maclaurin公式  2.2  關(guān)于級數(shù)余項的估值式    2.2.1  被積函數(shù)為4階不變號的情況    2.2.2  被積函數(shù)為2階不變號的情況    2.2.3  關(guān)于δa（m，n）的估值及一些實用不等式  2.3  關(guān)于兩類無窮級數(shù)的估值式    2.3.1  一類收斂級數(shù)的估值式    2.3.2  一類發(fā)散級數(shù)有限和的估值式  參考文獻第3章  參量化的Hbert型積分不等式與算子表示  3.1  不含共軛指數(shù)的Hilbert型積分不等式    3.1.1  若干基本結(jié)果    3.1.2  一些不含共軛指數(shù)的Hilbert型積分不等式的特例    3.1.3  不含共軛指數(shù)的Hilbeit型積分不等式的算子表示    3.1.4  含參變量但不含共軛指數(shù)的Hilbeit型積分不等式  3.2  參量化的Hilbert型積分不等式及其逆式    3.2.1  參量化的Hilbert型積分不等式與算子表示    3.2.2  逆向的Hibert型積分不等式    3.2.3  一些特例    3.2.4  一些含參變量與共軛指數(shù)的Hilbert型積分不等式  3.3  Hilbert型積分算子有界的若干充分條件及應(yīng)用    3.3.1  單變量的核在（0，1）上有界的情形    3.3.2  單變量的核在[δ，1）（0

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