經典和量子耗散系統的隨機模擬方法

前言

　　人們所面臨和研究的問題原則上可以分為兩大類：確定性問題和隨機問題。前者可用熟知的數值差分或積分解決；后者只能用模擬方法解決。即便對確定性問題，也能夠設計一個隨機過程，它的某個特征量的統計平均等價于問題的解。而隨機問題又可歸結為兩個方面：①過程方程具有隨機因素；②初始或邊界條件是隨機分布的?？梢哉f：“隨機的是確定的”。這句話的含義是指，孤立的系統，僅受牛頓力學支配的模型只是理想化的，而系統往往要受到環(huán)境及其他不確定因素的影響，卻是可以肯定的?！　‰S機與漲落現象是眾多學科領域廣泛遇到的。解決這一問題最為方便的方法是蒙特卡羅方法（MonteCar10method，MC方法）。該方法是以世界上最著名的賭城——摩納哥的蒙特卡羅市的名字來命名的，頗具象征意義，現在也多被稱為計算機隨機模擬方法。一個最早包含了蒙特卡羅方法思想雛形的實驗，是著名的蒲豐（ComtedeBuffon）“投針求π”而系統地用蒙特卡羅方法解決科學問題，出現在利用早期的電子計算機模擬中子在裂變物質中的輸運現象。　　隨機模擬方法在許多文獻中介紹過，但是很零散。研究者使用這一方法，大多是通過跟蹤文獻或從有經驗的學者那里學到的。因此，將隨機模擬方法系統地介紹并加以討論是一件有意義的事情。由于蒙特卡羅方法的巨大功效，不同的研究者在他們的工作領域內對蒙特卡羅方法（參見文獻［1－12］以及隨機過程理論和應用（參見文獻[13－18]）的發(fā)展都做出了貢獻。人們將蒙特卡羅模擬比喻為“最后的方法”，這有兩個含義：一是說當其他方法不能解決所研究的問題時，可采用蒙特卡羅方法：二是說當能用解析或數值方法時，不要使用這一方法，因為蒙特卡羅模擬結果具有較慢的隨機收斂性。不少研究者由于對此方法缺乏體會，不敢或者不放心使用蒙特卡羅方法，主要擔心精度不高，以為其相對誤差會高達百分之幾。然而情況并非如此，首先，大數定理和中心極限定理在理論上保證了這種算法的正確性：其次，結果收斂于真值具有概率性，因此進行多次統計實驗是必要的。很有可能用較少的實驗粒子數目就獲得較好的結果，這里面有一些技巧和策略可供選擇?！　”娝苤y計物理的基本原理是“宏觀量是相應的微觀量的統計平均值”。所以擅長于計算各類平均、特別是高維分布上的平均值的蒙特卡羅方法自然能在統計物理和凝聚態(tài)物理中發(fā)揮很大的作用。這方面將是本書主要涉及的課題。

內容概要

本書系統深入地介紹了如何用隨機模擬方法求解經典和量子耗散系統的問題及其策略，全書分兩大部分：第一部分為經典隨機系統，包含第1～9章，內容包括蒙特卡羅方法與技巧、米特羅波利斯抽樣和動力學方法、噪聲與漲落耗散、朗之萬方程的數值模擬及其策略、主方程的蒙特卡羅模擬、反常擴散的數值模擬方法、相變模型的隨機模擬；第二部分為量子耗散系統，包含第10-15章，內容包括路徑積分的基本特性、傳播子精確可解的例子、密度矩陣和影響泛函、量子耗散系統、變分路徑積分和量子蒙特卡羅方法等。    本書從基礎到前沿闡明了處理隨機問題的行之有效的方案，也包含了作者多年科研與教學的體會，可供從事和研究隨機過程的科技人員參考，也可作為高等院校理科有關專業(yè)的研究生學習科學計算方法的教學用書。

書籍目錄

前言第一章  隨機方法概述  1.1  預備知識  1.2  蒙特卡羅方法的發(fā)展  1.3  蒙特卡羅求積分思想  1.4  蒙特卡羅方法的特點  1.5  計算的若干細節(jié)  1.6  小結第二章  由已知分布隨機抽樣  2.1  基本特性  2.2  直接抽樣方法  2.3  舍選抽樣方法    2.3.1  簡單分布的舍選法    2.3.2  乘分布的舍選法  2.4  復合抽樣方法    2.4.1  加分布    2.4.2  隨機變量的合成    2.4.3  復合抽樣方法的一般形式  2.5  變換抽樣方法  2.6  近似抽樣方法  2.7  隨機向量的抽樣方法  2.8  注釋第三章  降方差技巧  3.1  降低實驗方差的特性  3.2  重要抽樣技巧  3.3  期望估計技巧  3.4  相關技巧  3.5  分層抽樣技巧  3.6  分裂與賭技巧  3.7  評注第四章  米特羅波利斯抽樣和動力學方法  4.1  馬爾可夫過程  4.2  正則系綜平均量的計算  4.3  米特羅波利斯抽樣方法  4.4  熱浴法  4.5  廣義米特羅波利斯抽樣方法  4.6  動力學方法產生平衡態(tài)與已知分布    4.6.1  平衡態(tài)分布    4.6.2  應用算例    4.6.3  已知分布    4.6.4  動力學重要抽樣求定積分  4.7  評注第五章  噪聲與漲落耗散  5.1  概述  5.2  噪聲與布朗運動  5.3  系統加熱浴模型    5.3.1  廣義朗之萬方程    5.3.2  漲落耗散定理    5.3.3  譜函數  5.4  噪聲的功率譜    5.4.1  色噪聲    5.4.2  噪聲的帶寬  5.5  簡諧噪聲和簡諧速度噪聲  5.6  簡諧噪聲    5.6.1  簡諧噪聲的關聯函數    5.6.2  極限情況分析    5.6.3  簡諧噪聲的頻譜關系    5.6.4  簡諧噪聲的頻域帶寬  5.7  簡諧速度噪聲    5.7.1  簡諧速度噪聲的關聯函數    5.7.2  極限情況和頻譜關系    5.7.3  簡諧速度噪聲的頻域帶寬  5.8  ?？?普朗克方程    5.8.1  福克-普朗克方程的推導    5.8.2  伊藤斯特拉托諾維奇困境的討論  5.9小結第六章  朗之萬方程的數值模擬及其策略  6.1  分子動力學與布朗動力學的比較  6.2  歐拉方法  6.3  隨機泰勒展開    6.3.1  乘性噪聲    6.3.2  一般阻尼情況    6.3.3  奧恩斯坦-烏倫貝克噪聲  6.4  隨機龍格-庫塔算法  6.5  隨機積分方法    6.5.1  非線性力展開的積分算法    6.5.2  應用算例：傾斜周期勢中的定向流  6.6  廣義朗之萬方程的積分算法  6.7  擬局部振蕩算法    6.7.1  模型和算法    6.7.2  應用算例    6.7.3  小結  6.8  乘性白噪聲驅動的周期運動  6.9  半隱式算法  6.10  阻尼積分算法  6.11  評注第七章  主方程的蒙特卡羅模擬  7.1  主方程及其差分解  7.2  時間相關平均量和相關系數的蒙特卡羅計算  7.3  主方程的直接蒙特卡羅模擬  7.4  主方程與朗之萬方程的關系  7.5  實例第八章  反常擴散的數值模擬方法  8.1  離散傅里葉變換產生任意色噪聲    8.1.1  時間關聯噪聲的模擬    8.1.2  二維空問關聯噪聲的模擬  8.2  非歐姆阻尼  8.3  利用傅里葉變換產生任意關聯色噪聲的數值算法  8.4  粒子在非歐姆阻尼環(huán)境中的擴散  8.5  連續(xù)時間無規(guī)行走    8.5.1  CTRW模型及其數值實現    8.5.2  有勢情況下的CTRW    8.5.3  小結第九章  相變模型的隨機模擬  9.1  伊辛模型    9.1.1  伊辛模型    9.1.2  主要物理量和方法    9.1.3  米特羅波利斯方法    9.1.4  弛豫效應    9.1.5  周期邊界條件    9.1.6  有限尺度效應    9.1.7  最近鄰相互作用  9.2  伊辛模型的蒙特卡羅模擬  9.3  二元合金系統  9.4  XY模型第十章  路徑積分的基本特性  10.1  傳播子    10.1.1  定義和性質    10.1.2  薛定諤方程的路徑積分表示  10.2  有限維位形空間中的路徑積分    10.2.1  由拉格朗日函數描述波函數的時間演化    10.2.2  K（x，tf；xo，to）的路徑積分公式  10.3  路徑積分的優(yōu)缺點第十一章  傳播子精確可解的例子  11.1  一維自由運動  11.2  一維諧振子的傳播子    11.2.1  借助經典路徑求傳播子    11.2.2  直接計算N-1維路徑積分求傳播子    11.2.3  與量子力學結果的比較  11.3強迫諧振子的傳播子第十二章  密度矩陣和影響泛函  12.1  系統環(huán)境相互作用模型  12.2  實時間路徑積分    12.2.1  歐幾里得泛函積分    12.2.2  用躍遷矩陣元求影響泛函    12.2.3  應用算例：鞍點通過概率第十三章  量子耗散系統  13.1  虛時間和傅里葉級數  13.2  傅里葉空間的泛函測量  13.3  量子耗散系統第十四章  變分路徑積分  14.1  半經典近似  14.2  有效經典勢和配分函數    14.2.1  思路    14.2.2  諧振子的有效經典勢  14.3  變分路徑積分    14.3.1  費恩曼克萊勒特有效經典勢    14.3.2  應用算例  14.4  非線性耗散系統的有效經典勢    14.4.1  雙變分    14.4.2  應用算例  14.5  評注第十五章  量子蒙特卡羅方法  15.1  變分蒙特卡羅方法    15.1.1  量子多體系統的最低能量    15.1.2  麥克米倫米特羅波利斯（McMillan—Metropolis）方法    15.1.3  偏倚抽樣法求極小能量    15.1.4  應用算例    15.1.5  擴散方程、格林函數和朗之萬方程  15.2  變分蒙特卡羅方法的改進：福克普朗克方程導引  15.3  格林函數蒙特卡羅方法    15.3.1  薛定諤方程的積分形式    15.3.2  無規(guī)行走法求格林函數  15.4  擴散蒙特卡羅方法  15.5  路徑積分蒙特卡羅方法    15.5.1  軌道遞推方法    15.5.2  快速傅里葉變換方法  15.6  非線性量子耗散系統    15.6.1  重要高斯測量    15.6.2  有效耗散經典勢    15.6.3  應用算例  15.7  量子亞穩(wěn)系統的衰變速率    15.7.1  路徑積分蒙特卡羅方法    15.7.2  結果和討論參考文獻索引中英文人名對照表

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