微積分進(jìn)階

前言

　　數(shù)學(xué)分析作為大學(xué)數(shù)學(xué)類專業(yè)的一門(mén)主要基礎(chǔ)課，受到了人們廣泛的重視。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)對(duì)數(shù)學(xué)分析的教學(xué)提出了一些新的要求。很多人需要在學(xué)完高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析。先修學(xué)高等數(shù)學(xué)類課程，再修學(xué)（數(shù)學(xué)）分析基礎(chǔ)類課程一直是數(shù)學(xué)類專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的途徑之一。但在國(guó)內(nèi)，由于在相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間內(nèi)，學(xué)生初入大學(xué)時(shí)就確定了專業(yè)，因此，在數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)上普遍采用了直接講授數(shù)學(xué)分析的方式。如果學(xué)生初入大學(xué)時(shí)專業(yè)具有不確定性，那么這一模式就需要加以調(diào)整。復(fù)旦大學(xué)自施行轉(zhuǎn)專業(yè)政策以來(lái)，每年都有相當(dāng)數(shù)量的學(xué)生從其他專業(yè)轉(zhuǎn)入數(shù)學(xué)類專業(yè)學(xué)習(xí)。對(duì)于這些同學(xué)，開(kāi)設(shè)一門(mén)高等數(shù)學(xué)后續(xù)的數(shù)學(xué)分析課程成為必要。撰寫(xiě)本書(shū)主要是為學(xué)過(guò)高等數(shù)學(xué)的學(xué)生提供一本彌補(bǔ)高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析內(nèi)容或要求上差距的教材。全書(shū)內(nèi)容主要為在高等數(shù)學(xué)中沒(méi)有涉及、深度不夠或個(gè)別我們認(rèn)為需要強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)分析知識(shí)。本書(shū)可以與通常的高等數(shù)學(xué)教材結(jié)合成為數(shù)學(xué)類專業(yè)的數(shù)學(xué)分析教材，也可以作為數(shù)學(xué)分析的復(fù)習(xí)用書(shū)。本書(shū)在編排上有以下特點(diǎn)：（1）內(nèi)容上盡量做到融會(huì)貫通。由于有高等數(shù)學(xué)做基礎(chǔ)，讀者對(duì)課程的大部分內(nèi)容已有所接觸，因此，我們?cè)谟懻摳黝悊?wèn)題時(shí)基本上可以不受方法的限制。例如，在討論極限問(wèn)題時(shí)，我們既可以利用微分知識(shí)，又可以利用積分知識(shí)，而不必等到學(xué)完微分或積分的相應(yīng)章節(jié)再來(lái)介紹有關(guān)思想。這也是利用“先高等數(shù)學(xué)，后分析基礎(chǔ)”這一模式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)。（2）突出了理論的嚴(yán)密性。這是由編寫(xiě)本書(shū)的目的決定的。因?yàn)楦叩葦?shù)學(xué)課程和數(shù)學(xué)分析課程的主要區(qū)別就在這里。“先高等數(shù)學(xué)，后分析基礎(chǔ)”的缺點(diǎn)之一是學(xué)生在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中可能會(huì)形成一些錯(cuò)誤的觀點(diǎn)，這些觀點(diǎn)一旦形成，糾正起來(lái)比較困難。因此，本書(shū)有意識(shí)地對(duì)某些概念和定理進(jìn)行了正反兩方面的討論。（3）內(nèi)容上較為詳細(xì)地介紹了上下極限、stolz公式、關(guān)于導(dǎo)函數(shù)具有介值性質(zhì)的Darboux定理、函數(shù)的光滑逼近、Riemann引理的推廣、一些常用的積分不等式和關(guān)于積分號(hào)下求極限的Arzela定理。在一些處理手法上，較多地使用了上、下極限和利用函數(shù)光滑逼近的思想，這與通常的數(shù)學(xué)分析教材有所不同，其中函數(shù)光滑逼近部分對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定難度。（4）習(xí)題的編排不僅在于幫助學(xué)生掌握所學(xué)知識(shí)，還努力引導(dǎo)學(xué)生去做進(jìn)一步的思考，其中一些習(xí)題是開(kāi)放式的。

內(nèi)容概要

本書(shū)是作者多年在復(fù)旦大學(xué)講授“數(shù)學(xué)分析原理”課程的講義基礎(chǔ)上編寫(xiě)而成的。全書(shū)共7章，內(nèi)容包括：分析基礎(chǔ)、實(shí)數(shù)系基本定理，極限與連續(xù)，微分，積分，級(jí)數(shù)，多元函數(shù)微積分，反常積分和含參變量積分。教材注重思想性，在內(nèi)容上盡量做到融會(huì)貫通，突出理論的嚴(yán)密性，同時(shí)每章都精選了例題與習(xí)題。    本書(shū)可以與通常的高等數(shù)學(xué)教材結(jié)合成為數(shù)學(xué)類專業(yè)的數(shù)學(xué)分析教材，也?？梢宰鳛閿?shù)學(xué)分析的復(fù)習(xí)用書(shū)。

書(shū)籍目錄

緒論第1章 分析基礎(chǔ)、實(shí)數(shù)系基本定理  1.1 數(shù)的發(fā)展、有理數(shù)的基本性質(zhì)  1.2 實(shí)數(shù)系的建立  1.3 實(shí)數(shù)系基本定理第2章 極限與連續(xù)  2.1 極限定義  2.2 數(shù)列收斂準(zhǔn)則及其應(yīng)用  2.3 上、下極限及其應(yīng)用  2.4 函數(shù)的一致連續(xù)性和函數(shù)列的一致收斂性  2.5 Stolz定理、L'Hospital法則、Teoplitz定理第3章 微分  3.1 微分中值定理和Taylor展式  3.2 Darboux定理  3.3 極值、零點(diǎn)、不等式第4章 積分  4.1 Riemann積分定義、Darboux和  4.2 積分中值定理  4.3 函數(shù)的光滑逼近  4.4 Riemann引理及其推廣  4.5 一些重要不等式第5章 級(jí)數(shù)  5.1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)  5.2 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)  5.3 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)  5.4 冪級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)  5.5 Fourier級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)第6章 多元函數(shù)微積分  6.1 一些基本概念的辨析  6.2 重積分、曲線曲面積分第7章 反常積分和含參變量積分  7.1 反常積分  7.2 含參變量反常積分的一致收斂性  7.3 含參變量積分的連續(xù)性、微分及積分  7.4 含參變量積分的計(jì)算  7.5 Arzela色定理參考文獻(xiàn)索引人名列表

章節(jié)摘錄

　　在國(guó)內(nèi)大多數(shù)高等院校，微積分都是一門(mén)理工科學(xué)生必修的課程。對(duì)于數(shù)學(xué)類專業(yè)，微積分的教學(xué)是通過(guò)講授名為數(shù)學(xué)分析的課程來(lái)完成的，而對(duì)于非數(shù)學(xué)類專業(yè)，通常通過(guò)講授名為高等數(shù)學(xué)或微積分的課程來(lái)完成?！　∠鄬?duì)來(lái)說(shuō)，高等數(shù)學(xué)或微積分課程主要以了解、應(yīng)用相應(yīng)的知識(shí)為主，通俗地講就是對(duì)大多數(shù)有難度的概念、定理的要求只是知其然，而不需要知其所以然，應(yīng)用上也往往以會(huì)算為目標(biāo)。近年來(lái)，隨著國(guó)內(nèi)大學(xué)教學(xué)體制的轉(zhuǎn)變，相當(dāng)一部分學(xué)生在大學(xué)二年級(jí)才轉(zhuǎn)入數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)習(xí)①。這使得在微積分基本知識(shí)基礎(chǔ)上開(kāi)設(shè)一門(mén)數(shù)學(xué)分析課程并撰寫(xiě)相應(yīng)的教材成為必要。本書(shū)對(duì)照了我國(guó)現(xiàn)行高等數(shù)學(xué)課程的一些主要教材，著重在數(shù)學(xué)分析課程內(nèi)容范圍內(nèi)，介紹了高等數(shù)學(xué)課程中未涉及或涉及不夠深刻部分的內(nèi)容，而且重心更多地在于證明而不是計(jì)算②?！　?yīng)該說(shuō)，國(guó)內(nèi)的高等數(shù)學(xué)課程對(duì)理論部分是有一定要求的。因此，在某些知識(shí)點(diǎn)上，有時(shí)候不容易區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)的要求。例如，單調(diào)有界定理在高等數(shù)學(xué)課程和數(shù)學(xué)分析課程中都會(huì)講到，都會(huì)在一定程度上給予理論上的要求，對(duì)一部分學(xué)生來(lái)講，似乎兩者區(qū)別不大。但事實(shí)上，在數(shù)學(xué)分析中，會(huì)要求將單調(diào)有界定理應(yīng)用到更抽象的問(wèn)題中去。　　本書(shū)的部分內(nèi)容對(duì)于學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)分析課程的數(shù)學(xué)類專業(yè)的同學(xué)來(lái)講，也會(huì)有一定幫助。這主要體現(xiàn)在知識(shí)的融會(huì)貫通、以點(diǎn)帶面和知識(shí)的擴(kuò)充方面。盡管這部分學(xué)生在數(shù)學(xué)分析方面已經(jīng)受到了較好的訓(xùn)練，但由于教學(xué)進(jìn)度、順序的限制，許多有效的分析工具在數(shù)學(xué)分析課程中沒(méi)有很好地加以介紹。例如，上、下極限，關(guān)于導(dǎo)函數(shù)介值性質(zhì)的Darboux定理，函數(shù)的光滑化等內(nèi)容。

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