拋物型方程定解問題的有限差分?jǐn)?shù)值計算

前言

　　計算學(xué)是科技進(jìn)步的重要推動力量——淺談計算物理和高性能計算學(xué)　　計算物理（CP）是以計算機(jī)為工具，應(yīng)用數(shù)學(xué)的方法解決物理問題的一門應(yīng)用性學(xué)科，是物理、數(shù)學(xué)和計算機(jī)三者結(jié)合的交叉性學(xué)科。它產(chǎn)生于第二次世界大戰(zhàn)期間美國對核武器的研制，伴隨著計算機(jī)的發(fā)展而發(fā)展?！　P的目的不僅僅是計算，而是要通過計算來解釋和發(fā)現(xiàn)新的物理規(guī)律。這一點(diǎn)它與傳統(tǒng)的實驗物理和理論物理并無差別，所不同的只是在于使用的工具和方法上。計算物理早已與實驗物理和理論物理形成三足鼎立之勢，甚至有人提出它將成為現(xiàn)代物理大廈的“棟梁”?！　〉诙问澜绱髴?zhàn)之后，由于計算機(jī)的突飛猛進(jìn)，快速發(fā)展，大大增強(qiáng)了人們從事科學(xué)研究的能力，促進(jìn)了不同學(xué)科之間的交叉滲透，縮短了基礎(chǔ)研究到應(yīng)用開發(fā)的過程，加速了把科學(xué)技術(shù)轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)力的進(jìn)程。計算物理的方法和技巧也迅速地從核物理向其他學(xué)科滲透，從軍工系統(tǒng)向民用系統(tǒng)轉(zhuǎn)移，大大豐富了計算科學(xué)內(nèi)容。從20世紀(jì)80年代起，人們常常使用“科學(xué)與工程計算”一詞，似乎比“計算物理”更名副其實。進(jìn)入90年代，需要用計算機(jī)來計算或模擬的問題越來越大且越復(fù)雜，使用的計算機(jī)越來越快。高性能計算已成為促進(jìn)現(xiàn)代科技發(fā)展一個必不可少的重要手段?！　”疚氖且越?0年來在美國發(fā)生的事實，論述從計算物理學(xué)到高性能計算學(xué)的演變過程?！　。ㄒ唬┯嬎阄锢淼男纬珊桶l(fā)展　　現(xiàn)在人們已經(jīng)知道美國研制原子彈是從1942年6月17日羅斯?？偨y(tǒng)批準(zhǔn)“制造核武器計劃”的報告算起，8月13日正式啟動代號為“曼哈頓工程”的計劃，直到1945年8月9日將制造出來的三顆原子彈中的最后一顆投在日本長崎為止，歷時3年，投入人力15萬，耗資20億美元。在研制過程中科學(xué)家們遇到許多不清楚的問題，都需要通過計算來解決。當(dāng)時主要依靠手搖計算機(jī)和哈佛大學(xué)一臺可用的“馬克”計算機(jī)。這臺每秒只能進(jìn)行三次加法運(yùn)算的計算機(jī)卻在美國的原子彈攻關(guān)中立了大功。例如，原子彈研制中的臨界質(zhì)量、聚合爆轟、中子鏈?zhǔn)椒磻?yīng)、金屬壓縮性能等物理規(guī)律的摸清都是依靠計算機(jī)的計算，利用數(shù)字近似來研究客觀現(xiàn)實的方法，這就創(chuàng)建了一門新的學(xué)科——計算物理學(xué)。

內(nèi)容概要

為了適應(yīng)“計算物理一科學(xué)與工程計算一高性能計算”發(fā)展的需要，本書專門為在計算機(jī)(尤其是超高速大型計算機(jī))上大規(guī)模數(shù)值求解拋物型方程各種類型的適定問題而寫。本書將在解決實際問題計算過程中可能涉及到的各類問題盡可能地加以敘述，但主要是圍繞典型方程所采用的有限差分方法的格式和技巧展開的。力求簡明扼要，通俗易懂，學(xué)了能用。    本書共分10章，包括：拋物型方程定解問題的提出、有限差分方法的基礎(chǔ)知識、求穩(wěn)定性條件的方法、拋物型方程的差分格式、非線性拋物型方程、高于二階的拋物型方程和拋物型方程組、退化拋物型方程、拋物型方程有限差分的并行計算、數(shù)值計算中的若干問題以及數(shù)值計算的實際應(yīng)用之例。    本書可作為從事與拋物型方程相關(guān)的廣大科技工作者的使用手冊和高等院校的大學(xué)生和研究生學(xué)習(xí)“偏微分方程數(shù)值解”課程的參考書以及從事專業(yè)研究工作的參考資料。

書籍目錄

前言：計算學(xué)是科技進(jìn)步的重要推動力量——淺談計算物理和高性能計算學(xué)第一章　定解問題的提出　1.1　引言　1.2　方程的建立　1.3　定解條件　1.4　拋物型方程的特征　1.5　方程舉例第二章　  有限差分方法的基礎(chǔ)知識  2.1　引言  2.2　差分方程的形成　　2.2.1  離散化及由此產(chǎn)生的問題　　2.2.2　離散化的主要途徑  2.3　差分方程的基本要求　　2.3.1　局部截斷誤差和相容性　　2.3.2　離散誤差和收斂性　　2.3.3　舍入誤差和穩(wěn)定性　　2.3.4　線性差分方程的Lax等價定理　　2.3.5　其他一些概念第三章　  求穩(wěn)定性條件的方法  3.1　引言  3.2　￡圖解法  3.3　矩陣方法(直接方法)  3.4　Fourier級數(shù)法(VOll Neumann條件)  3.5　Routh Hurwitz判別法  3.6　最大值原理  3.7　能量估計法(能量不等式方法)  3.8　啟發(fā)式穩(wěn)定性分析——內(nèi)插原則  3.9　Hirt啟發(fā)性方法第四章　拋物型方程的差分格式  4.1　定義與記號……第五章　非線性拋物型方程第六章　高于二階的拋物型方程和拋物型方程組第七章　退化拋物型方程第八章　拋物型方程有限差分的并行計算第九章　數(shù)值計數(shù)中的若干問題第十章　數(shù)值計算的實際應(yīng)用之例參考文獻(xiàn)后記

章節(jié)摘錄

　　第二章 有限差分方法的基礎(chǔ)知識　　2.1 引 言　　能用解析方法求解的拋物型偏微分方程是僅限于少數(shù)常系數(shù)的線性方程，絕大多數(shù)是不能用公式求通解的，必須采用近似方法。在各種不同的近似方法中，差分方法是最重要的方法之一。我們對要求的解不是函數(shù)的表達(dá)式，而只要求在空間、時間平面上某些點(diǎn)上的值。由于快速電子計算機(jī)的出現(xiàn)，這種方法的應(yīng)用更為容易，且更為廣泛，這就助長了有限差分方法的發(fā)展。差分方法是求空間時間平面上某些特定點(diǎn)的值，它是隨著所選取的空間網(wǎng)格和時間步長而定的，其主要思想是用函數(shù)值的線性組合來代替導(dǎo)數(shù)，把微分方程變?yōu)楹瘮?shù)值的線性代數(shù)方程，微分方程的邊值問題就變成線性代數(shù)方程組的問題。　　由于橢圓型方程原則地區(qū)別于拋物型方程和雙曲型方程，差分法對這兩類微分方程的應(yīng)用也有很大的差別。橢圓型方程的差分問題直接歸結(jié)為解線性代數(shù)方程組，其主要問題是討論解法（直接法和間接法）的好壞。而拋物型和雙曲型方程（亦統(tǒng)稱為發(fā)展方程或演化方程）是沿時間t軸“按步地”（或“按層地”）求解差分的問題，當(dāng)然最終也是歸結(jié)為求解線性代數(shù)方程組的問題。但它們的基本問題是每個差分方程的收斂性和穩(wěn)定性，尤其是穩(wěn)定性問題。由Lax等價定理告訴我們，對一個適定的線性的初值問題，對相容的差分逼近式來說，穩(wěn)定性則是差分方程的解收斂于微分方程的解的充分必要條件。而拋物型差分方程的穩(wěn)定性又要比雙曲型差分方程麻煩得多，所以我們在第三章中專門介紹各種求穩(wěn)定性條件的方法。　　用差分法解拋物型方程（對雙曲型方程亦是如此）時所產(chǎn)生的困難基本上是兩點(diǎn)：一是最簡單格式，乍一看來，特別是從實用的觀點(diǎn)看來是很誘惑人的，但對穩(wěn)定因素特別敏感。為了保證收斂，必須對時間步長加上與空間步長有關(guān)的限制條件。二是從穩(wěn)定性觀點(diǎn)看來是很好的格式，實際應(yīng)用時卻不方便。所以出現(xiàn)了一系列的研究工作，提出了各種不同的格式。未必能指出哪個格式是絕對好的，每個格式都各有優(yōu)缺點(diǎn)，針對不同的問題采用不同的差分格式，這正是我們要不斷地研究和發(fā)展各種格式的意義所在。在通常的情況下，是要尋找較弱的條件限制，較高的精確度，較方便的編制程序和較少的機(jī)器計算時間的格式。要注意，不要追求逼近階太高，以致邏輯復(fù)雜得沒有必要；又如邏輯太簡單而穩(wěn)定性要求太嚴(yán)，以致機(jī)器計算的時間太多?？傊?，選取差分格式要全面地具體地考慮。蘇聯(lián)索伯列夫院士說得好，判別一個數(shù)值方法好壞的唯一原則是“每個解的數(shù)字值多少盧布”。

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