離散外微分在計算電磁學(xué)中的應(yīng)用

前言

　　計算電磁學(xué)是數(shù)學(xué)、物理與計算機(jī)技術(shù)相結(jié)合的產(chǎn)物。隨著計算電磁學(xué)的發(fā)展，很多原本無法處理的復(fù)雜電磁場問題得到了很好的解決，所得的數(shù)值解也達(dá)到了令人滿意的求解精度。但是，隨著電磁場領(lǐng)域的不斷擴(kuò)大，越來越多更加棘手的電磁場問題擺在人們面前，從而促使計算電磁學(xué)必須向更高的水平發(fā)展。MaXwell方程組的解析解和數(shù)值解的求解是計算電磁學(xué)的研究重點之一，這一研究主要由國防上對低雷達(dá)散射截面的航天飛行器的研發(fā)需求所帶動。通常只有一些經(jīng)典問題才會有解析解，而對于復(fù)雜的問題，往往需要通過數(shù)值解得到具體環(huán)境下的電磁波特征。因此，數(shù)值求解成了唯一可行的解決方法，它所能提供信息的豐富程度是實驗方法無法比擬的?？梢哉f，計算電磁學(xué)的發(fā)展改變了現(xiàn)代電磁場工程的設(shè)計過程?！　”緯哪康氖墙榻B一種能保持問題本身幾何結(jié)構(gòu)的數(shù)值方法，以求解Maxwell方程組。盡管已有一系列的計算技術(shù)可用來離散化Maxwell方程組，但是它們所模擬問題的幾何結(jié)構(gòu)在計算過程中常常難以保持。電磁學(xué)本身就是一種特殊的幾何理論——規(guī)范場論，而規(guī)范場論與微分幾何中的聯(lián)絡(luò)論緊密聯(lián)系。事實上，微分幾何是許多物理和數(shù)學(xué)理論基本的表述語言。但是，這些理論中用到的幾何常常受到其向量或張量的表達(dá)形式的限制，從而隱藏了模型的拓?fù)浜蛶缀我饬x。Cartan創(chuàng)立的外微分形式是現(xiàn)代微分幾何中被廣泛應(yīng)用的理論之一，可以方便地用來建立各種方法和理論以解決問題。例如活動標(biāo)架法和外微分系統(tǒng)，這種基于幾何的演算方法在20世紀(jì)不斷完善和發(fā)展，已經(jīng)成為現(xiàn)代微分幾何的基礎(chǔ)之一。相對于經(jīng)典的張量計算，外微分的計算具有以下兩大優(yōu)點：首先，在張量表示之下很難看到不依賴于坐標(biāo)的內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì)，局部和全局的不變量很難通過這些指標(biāo)反映出來，而通過外微分技術(shù)將容易發(fā)現(xiàn)這些不變量；其次，每個微分方程都可以用外微分形式來表示，稱為外微分系統(tǒng)?！　‰x散外微分是平行于光滑情形的外微分發(fā)展出來的關(guān)注于計算的理論，它在歐氏空間的電磁計算中有很多應(yīng)用。Bossavit，Hiptmair和Stern等分別引入了對偶復(fù)形的概念用以定義離散的Hodge星算子。他們所提出的方法都屬于時域有限差分法，這一方法具有許多非常突出的優(yōu)點。但是這些方法都限于歐氏空間中的計算，沒有考慮流形的結(jié)構(gòu)。本書提出的采用離散外微分技術(shù)求解流形上的電磁問題尚屬首創(chuàng)，針對無整體坐標(biāo)且具有復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)的曲面問題尤為有效。目前主流的數(shù)值方法，如有限元、有限差分和有限體積法都無法直接求解流形上的微分方程，主流軟件如ANSYS等也無此功能。

內(nèi)容概要

本書講述離散外微分方法的基本原理及其在計算電磁學(xué)中的應(yīng)用。全書共9章。第1，2章系統(tǒng)介紹計算電磁學(xué)，并概述計算電磁學(xué)的現(xiàn)代電磁場理論，是全書物理上的準(zhǔn)備；第3-7章討論離散外微分方法的基本原理，介紹外微分形式與算子的離散化技術(shù)，用DEC方法建立離散的Maxwell方程組、網(wǎng)格剖分技術(shù)、計算程序設(shè)計的主要步驟、數(shù)值穩(wěn)定性、吸收邊界條件、常用入射波形式，以及用DEC方法建立時諧場與靜電場的基本方程等；第8章討論用隱式DEC方法建立離散Maxwell方程組，并概括介紹大型線性代數(shù)方程組的快速解法；第9章專門討論并行計算問題，以適應(yīng)電磁場計算的最新發(fā)展趨勢。書末附有用DEC方法模擬的一些電磁波行為的彩圖。　　本書可作為高等院校理工類專業(yè)研究生教材或和教師的教學(xué)參考書，也可供從事應(yīng)用數(shù)學(xué)、應(yīng)用物理、電磁場工程以及相關(guān)領(lǐng)域研究的科技工作者參考。

書籍目錄

序言 符號表 第1章 緒論 　1.1 計算電磁學(xué) 　　1.1.1 形成 　　1.1.2 意義 　　1.1.3 方法 　1.2 離散外微分 　　1.2.1 外微分形式 　　1.2.2 離散外微分 　　1.2.3 保結(jié)構(gòu)算法 　1.3 計算電磁學(xué)與離散外微分 　　1.3.1 規(guī)范場論 　　1.3.2 格點規(guī)范場論 　　1.3.3 DEC與Maxwell方程組 第2章 Maxwell方程組 　2.1 向量形式的Maxwell方程組 　　2.1.1 微分形式的Maxwell方程組 　　2.1.2 積分形式的Maxwell方程組 　　2.1.3 本構(gòu)關(guān)系 　　2.1.4 廣義形式的Maxwell方程組 　　2.1.5 勢函數(shù)方程 　　2.1.6 復(fù)數(shù)形式的Maxwell方程組 　2.2 外微分形式的Maxwell方程組 　　2.2.1 外微分系統(tǒng) 　　2.2.2 規(guī)范場論 第3章 離散外微分 　3.1 離散微分形式 　　3.1.1 鏈復(fù)形和離散流形 　　3.1.2 鏈與上鏈 　3.2 離散微分形式上的算子 　　3.2.1 與度量有關(guān)的算子 　　3.2.2 離散形式的插值 第4章 DEC與離散Maxwell方程組 　4.1 離散Maxwell方程組 　　4.1.1 棱柱網(wǎng)格上的DEC 　　4.1.2 離散聯(lián)絡(luò)與曲率 　　4.1.3 作用量 　　4.1.4 真空中的離散Maxwell方程組 　　4.1.5 多辛結(jié)構(gòu) 　　4.1.6 對比 　　4.1.7 指數(shù)型DEC格式 　4.2 數(shù)值穩(wěn)定性 　4.3 路徑積分 　　4.3.1 Gauss積分 　　4.3.2 離散R聯(lián)絡(luò)上的路徑積分 　　4.3.3 路徑積分的收斂性檢驗 　4.4 離散Hodze分解 　4.5 U(1)系數(shù)的離散聯(lián)絡(luò)論 　　4.5.1 規(guī)范群R與U(1)的關(guān)系 　　4.5.2 環(huán)面上的Gauss積分 　　4.5.3 環(huán)面上的路徑積分 第5章 DEC算法的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與實現(xiàn) 　5.1 網(wǎng)格的生成 　　5.1.1 網(wǎng)格類型 　　5.1.2 生成網(wǎng)格的專用軟件 　5.2 DEC數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的建立 　　5.2.1 單形的表示 　　5.2.2 邊緣算子 　　5.2.3 DEC算子 　5.3 算法的實現(xiàn) 　　5.3.1 基本信息 　　5.3.2 類的說明 　　5.3.3 分析過程 　　5.3.4 文件格式及單元信息 　　5.3.5 算例 第6章 邊界的處理 　6.1 Engquist-Majda吸收邊界條件 　6.2 一階和二階近似吸收邊界 　　6.2.1 一階近似吸收邊界條件 　　6.2.2 二階近似吸收邊界條件 　6.3 Mur吸收邊界條件 　　6.3.1 一維情形 　　6.3.2 二維情形 　　6.3.3 三維情形 第7章 激勵源、時諧場與靜電場 　7.1 時諧場源與脈沖源 　7.2 時諧場與靜電場 　　7.2.1 Laplace方程 　　7.2.2 Helmholtz方程 　　7.2.3 Laplace算子的DEC格式及其應(yīng)用 　7.3 DEC與其他方法的結(jié)合 　　7.3.1 散射傳遞函數(shù) 　　7.3.2 周期結(jié)構(gòu)的DEC格式 第8章 DEC的隱格式 　8.1 隱式型DEC格式 　8.2 隱格式的吸收邊界 　8.3 線性代數(shù)方程組的數(shù)值解 　　8.3.1 方程組解法的數(shù)值誤差 　　8.3.2共軛梯度法 第9章 DEC與并行計算 　9.1 并行計算簡介 　9.2 DEC的并行算法設(shè)計 參考文獻(xiàn) 索引 附錄A 輻射和散射近場彩圖 附錄B 天線輻射近場彩圖 附錄C 激勵源近場彩圖

章節(jié)摘錄

　　現(xiàn)在，工程師們已經(jīng)用FDTD和FVTD來計算數(shù)量級為100的未知矢量的大尺度問題。例如，殲擊機(jī)對頻率超過1GHz的雷達(dá)束的截面反射問題。現(xiàn)階段，對于那些嵌入在FDTD的計算網(wǎng)格中的和真實尺度一樣的噴氣式殲擊機(jī)的模型來說，用來計算飛機(jī)窄頻帶或?qū)掝l帶對雷達(dá)頻率達(dá)到1GHz以上的散射響應(yīng)是可行的。無論過去還是未來，國防領(lǐng)域中低雷達(dá)反射面的飛機(jī)和導(dǎo)彈的設(shè)計都推動著計算電磁學(xué)的發(fā)展。在航天設(shè)計領(lǐng)域中，多層復(fù)合材料和多孔材料的應(yīng)用有了顯著的增長，這些材料在幾微米的距離尺寸上的電和磁的性能具有不均勻性和各相異性。另外，其外形常常很不規(guī)則，并包含多種形態(tài)的構(gòu)件，還可能包括多種材料成分及孔、縫、內(nèi)腔和負(fù)載等各種內(nèi)部結(jié)構(gòu)。對飛行器的材料和形狀進(jìn)行優(yōu)化可以降低雷達(dá)散射面，而計算電磁學(xué)可以在真實模型建立之前在計算機(jī)上對飛行器材料和形狀進(jìn)行優(yōu)化，并提出合理的方案?！　?.海洋探索　　海洋電磁學(xué)是一門研究海洋中電磁場和電磁波的運動形態(tài)和規(guī)律，以及在海洋探索、海洋通信和海洋開發(fā)中應(yīng)用的學(xué)科。海洋中的各種鹽類幾乎完全解離，這使海水含有大量離子而成為導(dǎo)體。1832年，F(xiàn)araday指出，在地磁場中流動的海水會產(chǎn)生感應(yīng)電勢，但是他并沒有證明這一點。1851年，Wollastjon在橫跨英吉利海峽的海底電纜上檢測到和海水潮汐周期相同的電位變化，證實了Faladay的猜想，由此開始了對海洋電磁現(xiàn)象的研究?！　『Ｑ笾兄饕奶烊浑姶艌鍪堑卮艌?，而占據(jù)地磁場99％以上的主磁場幾乎全部起因于地核。另外，地球大氣電離層中發(fā)生的各種動力學(xué)過程，包括來自太陽的等離子流和地球磁場及電離層的相互作用，不斷產(chǎn)生頻率范圍很寬的電磁波，其中周期為數(shù)分鐘以上的電磁波，能夠穿過海水而達(dá)到海底，再穿過海底沉積層，達(dá)到上地幔巖石圈甚至更深處。海水和海底接觸處的電化學(xué)過程、巖石中的滲透過程及海水在巖石中的擴(kuò)散作用等物理作用和化學(xué)作用，在海洋中也能產(chǎn)生電場，其強(qiáng)度可達(dá)100цv／m在浮游植物和細(xì)菌的聚集區(qū)，也發(fā)現(xiàn)有生物電場。海水的各種較大尺度的運動，如表面長波、內(nèi)波、潮汐和海流等，都能感應(yīng)出相應(yīng)的電磁場。研究海水各種尺度運動所產(chǎn)生的感應(yīng)電磁場，探求測量它們的方法，進(jìn)而通過電磁測量來了解海水的各種運動，也是海洋電磁學(xué)研究的一個重要方面。海洋中的天然磁場和海水在地磁場中運動時產(chǎn)生的感應(yīng)電磁場會對水下通信和地質(zhì)探礦造成干擾，這促使人們對海洋的天然磁場和感應(yīng)電磁場進(jìn)行深入的研究?！　‰姶挪ㄔ诤Ｋ袀鞑r激起的傳導(dǎo)電流致使電磁波的能量急劇衰減，頻率愈高，衰減愈快。由Maxwell方程組可知，兆赫茲以上的電磁波在海水中的穿透深度小于25mm，海水對這種電磁波就形成很強(qiáng)的屏蔽層；而頻率低于10周／小時的電磁波，在海水中的穿透深度可達(dá)5000m。這樣，海洋就可以完全可穿透。

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