中國科學技術史·數學卷

前言

數學史，科學出版社，1964年。見：李儼錢寶琮科學史全集，第五卷，遼寧教育出版社，1998年。李迪的分期相當細致，將中國傳統(tǒng)數學分成兩個時期六個階段，這就是：中國傳統(tǒng)數學的形成期（自遠古至西漢末期），這一時期分成三個階段：約公元前2000年以前為中國數學的“史前期”，約公元前2000~前221年為中國數學的“積累期”，從秦漢之際至西漢末期為中國數學發(fā)展史上的第一個高峰。中國傳統(tǒng)數學的發(fā)展期（自東漢初期至元朝前期），這一時期也分成三個階段：從約公元1世紀初期至8世紀初亦即東漢初至唐中葉為中國數學的“理論期”，從公元8世紀初至11世紀初即唐中葉至北宋初期為中國數學的“滯緩期”，從11世紀初至14世紀初為中國數學的高峰期。此外，李迪將1304~1936年稱為中國傳統(tǒng)數學向西方數學的“過渡期”，這一時期被分成四個階段：1304~1606年即元中葉至明朝后期為“珠算期”，1607~1760年左右即明朝末期至清朝中期為“融合期”，約1760~約1850年即清朝中后期之間為中國數學的“復古期”，約1850~1936年為“西化完成期”。李迪，中國數學史大系?總論，見：吳文俊主編，中國數學史大系?第一卷，北京師范大學出版社，1998年。還有一些別的分期方法。我們認為，錢寶琮的分期思想是可取的。數學史的分期應以數學內部的發(fā)展為主要依據，同時考慮相應時期的社會經濟、政治的變革和思想、文化背景。我們根據錢寶琮的思想，結合近30年中國數學史的研究成果，對中國數學史的分期提出以下看法：中國有文字記載的歷史相當早，然而夏、商、周三代沒有任何數學著作流傳到現在。不過，完成當時世界上最方便的記數制度——十進位值制記數法，創(chuàng)造出當時世界上最先進的計算工具——算籌，是兩項具有世界意義的成就。一些文史典籍中的鴻爪雪泥說明當時人們的數學知識已經達到相當高的水平?！毒耪滤阈g》在西漢先后由張蒼、耿壽昌刪補成書，它奠定了中國傳統(tǒng)數學的基本框架，在分數四則運算、比例和比例分配算法、盈不足算法、開方法、線性方程組解法、正負數加減法則、解勾股形和勾股數組等方面走在世界的前面，有的超前其他文化傳統(tǒng)數百年，甚至上千年，是當時世界上第一流的數學著作。人們不禁要問，《九章算術》這么高深的著作是突然冒出來的嗎？當然不可能。根據劉徽《九章算術注序》“九數之流，《九章》是矣”的提示和《九章算術注》所提供的資料（包括物價）的分析，《九章算術》的主體部分及主要成就在春秋戰(zhàn)國時期已經完成了。換言之，中國傳統(tǒng)數學的第一個高潮出現在春秋戰(zhàn)國，西漢完成《九章算術》、《周髀算經》等著作的編纂，只是這個高潮的總結。20世紀80年代出土的竹簡《算數書》雖然不是《九章算術》的前身郭書春，關于《算數書》與《九章算術》的關系，曲阜師范大學學報，2008，34（3）：1~9。，卻為上述看法提供了佐證。因此，不能將春秋戰(zhàn)國的數學與夏、商、西周混為一談。它們應該是兩個階段。也就是說，從遠古到夏、商、西周是第一個階段，數學在某種意義上已經形成一個學科。而春秋戰(zhàn)國秦漢是以《九章算術》為代表的第二個階段。西漢末年至東漢中葉，數學進展不大。東漢末年之后，一直到唐中葉，中國數學最主要的成就體現在劉徽《九章算術注》中。由于這是一部注解《九章算術》的著作，人們往往將其與《九章算術》歸于一個階段。實際上，劉徽《九章算術注》“析理以辭，解體用圖”，提出了許多嚴格的數學定義，并以演繹邏輯為主要方法全面證明了《九章算術》的算法，奠定了中國傳統(tǒng)數學的理論基礎。他對圓面積公式和劉徽原理的證明在世界數學史上首次將極限思想和無窮小分割方法引入數學證明，其貢獻主要是數學理論方面的。劉徽《九章算術注》無論是從數學的研究方向看，還是從理論高度、邏輯方法看，都與《九章算術》時代有明顯的不同，應該屬于另一個階段。祖沖之父子的數學水平不會低于劉徽，可惜對他們的數學造詣，我們只知道只鱗片爪。此外，《數術記遺》、《孫子算經》、《張丘建算經》、《緝古算經》等在計算工具的改進、不定方程解法、三次方程上有貢獻。然而，隋唐數學明顯落后于魏晉南北朝時期，對中國古代水平最高的數學著作《綴術》，隋唐“學官莫能究其深奧，是故廢而不理”唐?李淳風，《隋書?律歷志上》，見：魏征等，《隋書》，中華書局，1973年。，導致《綴術》失傳。自唐中葉起，人們簡化乘除運算，創(chuàng)造各種口訣，導致珠算最遲在南宋誕生。北宋賈憲、劉益，南宋秦九韶、楊輝，金元李冶、朱世杰等在高次方程、高次方程組解法、一次同余方程組解法、垛積術和招差術等高深數學的許多分支取得了超前其他文化傳統(tǒng)幾個世紀的成果。這就是人們常說的宋元數學高潮。元中葉到明末，繼續(xù)改進籌算、珠算技術，珠算得到普及，并最終在明中葉之后取代籌算。除此之外，中國傳統(tǒng)的高深數學急劇衰落。中國數學遂失去了世界領先的地位。明末之后，西算傳入中國，開始了中西數學融會貫通的階段。這是學術界都知道的。我們認為，數學的發(fā)展，既有數學內部的自身因素，也必然受社會經濟、政治、思想和文化背景的制約。人類進入文明社會以來，世界數學研究的重心發(fā)生了幾次大的變化。郭書春，略談世界數學重心的三次大轉移，科學技術與辯證法，1986，（1）：44~48。又見：李文林，數學史教程，高等教育出版社，2000年，第366頁。先是約公元前31世紀開始的尼羅河流域數學和約公元前24世紀開始的兩河流域數學。自公元前7世紀起，希臘取代了上述地區(qū)，數學非常發(fā)達。約公元前3世紀至公元14世紀初，中國取代古希臘，成為世界數學研究的重心；公元8世紀之后，印度、阿拉伯地區(qū)的數學也發(fā)展起來。16~17世紀，歐洲數學伴隨著文藝復興，度過了中世紀的黑暗，進入變量數學時代。從此歐洲以及20世紀的蘇聯、美國一直占據著世界數學研究的重心位置。不難看出，世界數學的重心都發(fā)生在某一種社會形態(tài)最完備，經濟、政治和思想文化最發(fā)達的地區(qū)。值得注意的是，中國傳統(tǒng)數學發(fā)展的幾個不同階段，與當時社會經濟、政治、思想和文化的變革亦即中國古代社會不同的發(fā)展階段有某種對應關系。中國歷史學界對中國古代歷史的分期不管持什么觀點，都認為，中國在春秋戰(zhàn)國時期發(fā)生了領主制崩潰并向地主制過渡的激烈社會變革，思想界出現諸子林立、百家爭鳴的活躍局面；東漢末至魏晉，莊園農奴制占據經濟政治舞臺的中心，思想界以談“三玄”（《周易》、《老子》、《莊子》）為主的辯難之風取代了煩瑣的兩漢經學，中國社會進入一個新的階段；唐中葉至宋初，莊園制逐步解體，土地可以自由買賣，地主階級由按等級占田變成靠購買擴大土地占有，思想界也還比較寬松；元中葉之后，宗法地主制度走向沒落，理學占據思想界的統(tǒng)治位置，思想禁錮嚴酷。兩相對照，就會發(fā)現，在中國社會發(fā)生某種變革的初期，都給數學的發(fā)展帶來新的活力，從而帶來數學發(fā)展的高潮。而在某一個社會發(fā)展階段的后期，數學不僅發(fā)展緩慢，甚至低于其前期，東漢、隋唐、元末至明末的數學就是這種情形。由于這種原因，我們將中國古代數學的發(fā)展分成以下幾個階段：中國數學的興起——原始社會到西周時期的數學；中國傳統(tǒng)數學框架的確立——春秋至東漢中期的數學；中國傳統(tǒng)數學理論體系的完成——東漢末至唐中葉的數學；中國傳統(tǒng)數學的高潮——唐中葉至元中葉的數學；傳統(tǒng)數學主流的轉變與珠算的發(fā)展——元中葉至明末數學;西方數學的傳入與中西數學的融會——明末至清末的數學。顯然，這種分期方法是在錢寶琮基礎上的修正。本書各編正是基于這種分期思想和方法設置的。本書除了論述各個階段的數學成就和特點外，還力圖探索各個時期數學的發(fā)展與當時社會經濟、政治、思想、文化的關系。二中國古代傳統(tǒng)數學重視實際應用，以解決人們生產生活中產生的數學問題為主要目的，以數學理論密切聯系實際為其特點。許多中國數學史著述進而將中國古代數學著作統(tǒng)統(tǒng)概括為“應用問題集”，特別將《九章算術》概括為“應用問題集”。實際上，這種概括不符合實際情況，因而并不恰當。不言而喻，“應用問題集”是以問題為中心的，而《九章算術》等著作的主體部分則是以術文為中心的。“應用問題集”這種不恰當的概括造成了許多誤解。例如，許多沒有讀過《九章算術》或雖讀過而不求甚解的人，誤以為《九章算術》等中國古代所有的數學著作都是“一題、一答、一術”，其術文都是應用問題的具體解法，而不了解《九章算術》中許多術文是幾道、十幾道甚至是幾十道題目的總術，大部分術文是非常抽象的、具有普適性的嚴謹算法。許多學者沒有認真考察數學著作本身，而從“應用問題集”的片面概括出發(fā)，推想中國古代數學著作中的術文都是具體問題的演算細草。既然是演算細草，當然都是“一題、一答、一術”。甚至有的中國數學史著述將《九章算術》中明顯屬于幾道題目的總術都說成是專屬于某一題目的術文，并且以訛傳訛，謬種流傳。實際上，中國傳統(tǒng)數學著作之間的差別相當大。第一，它們的體例不同?！毒耪滤阈g》的主體部分是以術文為中心的，我們稱之為術文（算法）統(tǒng)率例題的形式。在這里，術文是一類數學問題的普適性、抽象性算法，含有一道、幾道、十幾道甚至幾十道例題，相當大的部分根本不是“一題、一答、一術”。而《孫子算經》等著作不僅是“一題、一答、一術”，而且術文都是應用問題的具體解法。第二，它們的內容高深程度不同?！吨荀滤憬洝贰ⅰ毒耪滤阈g》、《海島算經》、《緝古算經》、《黃帝九章算經細草》、《數書九章》、《測圓海鏡》、《詳解九章算法》、《算學啟蒙》、《四元玉鑒》等是具有高深內容的著作，《孫子算經》、《張丘建算經》、《五曹算經》、《夏侯陽算經》、《楊輝算法》、《算法全能集》、《詳明算法》、《九章算法比類大全》、《算學寶鑒》、《算法統(tǒng)宗》等是淺顯的或普及性的著作。第三，抽象程度不同。抽象性是數學的重要特點。中國古代數學著作的數學表達方式的抽象性也有分野?！毒耪滤阈g》主體部分的術文大都是抽象性非常高的公式、算法，劉徽《九章算術注》、賈憲《黃帝九章算經細草》和楊輝《詳解九章算法》等進一步抽象了《九章算術》抽象得不夠的術文。《海島算經》、《張丘建算經》、《緝古算經》、《楊輝算法》、《算學寶鑒》等的術文是關于一種數學問題的比較抽象的算法?！稖y圓海鏡》卷一展示了全書所需的基本理論，其“圓城圖式”用漢字記點，是個創(chuàng)舉；其“識別雜記”提出600余條抽象命題，集中國勾股容圓知識大成；卷二在“洞淵九容”基礎上以非常抽象的形式表示了勾股形與圓的十種基本關系。許多著作都有不同程度的抽象命題，而《九章算術》的一小部分以及《孫子算經》、《五曹算經》、《夏侯陽算經》、《九章算法比類大全》、《算法統(tǒng)宗》等的術文大都是具體問題的演算細草。例如，《九章算術》和《孫子算經》都有開方術，前者是非常抽象的對任何開平方問題都適用的程序，而后者只是演算細草。第四，嚴謹性不同。嚴謹性也是數學的一大特點，是數學著作的生命線。就算法的嚴謹程度而言，《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《張丘建算經》、《緝古算經》、《夏侯陽算經》、《黃帝九章算經細草》、《數書九章》、《測圓海鏡》、《詳解九章算法》、《楊輝算法》、《算學啟蒙》、《四元玉鑒》、《算學寶鑒》、《勾股算術》、《測圓海鏡分類釋術》、《弧矢算術》、《測圓算術》等都是算法嚴謹的著作。而《五曹算經》、《算法全能集》、《詳明算法》、《九章算法比類大全》等錯誤比較多，甚至重復某些已被前人糾正了的錯誤……此外，在是不是有數學推理和證明上，當然更是不同的。這在下面還要談。因此，起碼從以上幾個方面看，中國古代數學實際上存在著數學的學術研究與普及的分野?！毒耪滤阈g》及其劉徽注、《海島算經》、《黃帝九章算經細草》、《數書九章》、《測圓海鏡》、《詳解九章算法》、《算學啟蒙》、《四元玉鑒》、《算學寶鑒》、《勾股算術》、《測圓海鏡分類釋術》、《弧矢算術》、《測圓算術》等是數學的學術研究著作，而《五曹算經》、《夏侯陽算經》、《算法全能集》、《九章算法比類大全》、《算法統(tǒng)宗》等是普及應用著作。中國古代某些數學家實際上也發(fā)現了這一區(qū)別。劉徽在闡發(fā)了自己求“弧田密率”的方法之后說：“然于算數差繁，必欲有所尋究也。若但度田，取其大數，舊術為約耳。”魏?劉徽，九章算術注?方田章。見：郭書春，匯?！毒耪滤阈g》增補版，遼寧教育出版社，臺灣九章出版社，2004年。尋究弧田密率，是學術研究；用來度田，是民間應用，用不到弧田密率。南宋初年的數學家榮棨說，當時的許多數學著作“或隱問答以欺眾，或添歌彖以衒己。乖萬世益人之心，為一時射利之具。以至真術淹廢，偽本滋興。學者泥于見聞，倀倀然入于迷望，可勝計邪！居仁由義之士，每不平之”南宋?榮棨，九章算經序，見：《詳解九章算法》、《諸家算法及序記》。見：郭書春，匯?！毒耪滤阈g》增補版附，遼寧教育出版社，臺灣九章出版社，2004年。。金元大數學家李冶在批評了某些著作“惟恐學者得窺其仿佛”的錯誤傾向之后，接著說：“不然，則又以淺近粗俗無足觀者，致使軒轅隸首之術，三五錯綜之妙，盡墮于市井沾沾之兒，及夫荒村下里蚩蚩之民，殊可憫悼?！痹?李冶，益古演段自序，見：郭書春主編，中國科學技術典籍通匯?數學卷，第一冊，河南教育出版社，1993年。榮棨、李冶這里所指責的，便是在宋元時期得到高度發(fā)展的籌算乘除捷算法，這當然是普及應用的數學。拋開榮棨、李冶等鄙視籌算乘除捷算法的錯誤態(tài)度不談，顯然在他們的頭腦中，數學的學術研究與普及是涇渭分明的。至于就某一個數學家而言，到底是從事學術研究還是普及工作，得具體分析。像張蒼、劉徽、祖沖之、王孝通、賈憲、李冶、秦九韶、顧應祥等這樣的學者，當然是致力于數學的學術研究。也有一些數學家，如贗本《夏侯陽算經》的作者和唐中葉以后從事乘除簡化運算的許多數學家以及丁巨、賈亨、安止齋、吳敬、程大位等，則主要關注數學知識的普及應用。但是，也有一些數學家，如楊輝、朱世杰、王文素等，則在這兩方面都做了杰出的工作。三與“中國古代數學著作都是應用問題集”這一不恰當的概括相聯系，國內外數學界和學術界，包括對中國古代數學成就十分推崇的學者在內，多認為“在古代中國的數學思想中，最大的缺點是缺少嚴格求證的思想”，中國古代數學沒有形式邏輯，尤其沒有演繹邏輯?！霸趶膶嵺`到純知識領域的飛躍中，中國數學是未曾參與過的”［英］李約瑟，中國科學技術史，第3卷，科學出版社，1978年，第337~338頁。其中關于中國數學缺少“嚴格求證”的說法，是李約瑟轉引日本的中國數學史家三上義夫的話。見：YMikami（三上義夫），The Development of Mathematics in China and Japan(《中國和日本數學之發(fā)展》)，Leipzig：Teubner,1913，所謂成就都是經驗的積累，沒有推理和證明?？傊?，沒有數學理論。這種看法是不符合實際情況的。數學理論主要有兩個方面：首先是具有普適性、抽象性的正確算法。其次是關于這些算法的推理和論證以及數學定義，并且其推理和論證主要是演繹的。對前者，前已指出，在《九章算術》等著作中有大量關于一類數學問題的具有正確性、普適性和抽象性的術文，這本身就是數學理論。許多學者沒有認真考察數學著作本身，而“應用問題集”的概括造成中國古代所有術文都是具體問題的演算細草的錯覺，從而“順理成章”地得出“中國古代數學沒有理論”的錯誤看法。對后者，確實，《九章算術》等大多數中國古代數學著作都沒有數學定義、推理和論證。然而，這不是中國古代數學著作的全部，只是其中一部分，盡管是大部分。即使是以大部取代全部，也是一種以偏概全，當然是不恰當的。事實上，劉徽的《九章算術注》和賈憲的《黃帝九章算經細草》、李冶的《測圓海鏡》和《益古演段》、楊輝的《詳解九章算法》和《楊輝算法》、王文素的《算學寶鑒》等都有不同程度的定義、推理和論證。李約瑟已經指出，楊輝有演繹推理的傾向。［英］李約瑟，中國科學技術史?數學，科學出版社，1978年。實際上，劉徽《九章算術注》中的演繹推理和數學證明比楊輝高明得多，深刻得多。我們經過考察發(fā)現，現今形式邏輯教程中關于演繹推理的幾種主要形式，劉徽都嫻熟地使用過，而且沒有任何循環(huán)推理。劉徽的數學證明是相當嚴謹的。說中國古代數學沒有演繹邏輯，大約是沒有讀或者沒有讀懂劉徽的《九章算術注》。西方有遠見的學者，如以研究古希臘數學著稱的英國羅界（GLloyd）爵士多次與我討論劉徽的證明問題，他對劉徽的評價極高。GLloyd，Préface aux Neuf Chapitres:Le Classique mathmatique de la Chine ancienne et ses commentaires(中法對照本《九章算術》序),KChemla（林力娜），Guo Shuchun(郭書春)譯，Dunod Paris，2004、2005年。法國倫理與政治科學院院長EPoulle教授等認為，劉徽在數學證明及其意義的概念上有新的突破。我們認為，劉徽等數學家的數學證明表明，中國古代存在著純數學研究，也就是為數學而數學的活動。一個明顯的事實是：就實際應用而言，《九章算術》和許多數學著作提出的公式、算法，只要能夠無數次應用，并且在應用中表明它們正確就夠了，不在數學上證明它們，根本不會影響它們的應用。劉徽的《九章算術注》對《九章算術》的公式、算法進行了全面而且基本嚴謹的證明，并在證明中追求邏輯的正確、推理的明晰，這顯然是純數學的活動。楊輝、王文素等的論證工作，也屬于純數學的范疇。此外，對計算中精確度的追求，也是純數學的工作。例如，對開方不盡的情況，在劉徽之前，人們用a+A-a22a+1或a+A-a22a表示平方根的近似值。在實際應用中，一般說來，這已經足夠了。劉徽認為這不精確，提出求“微數”的思想，以十進分數逼近無理根。然而，這在實際應用中意義不大。劉徽、祖沖之將求“微數”的思想用于求圓周率，祖沖之將其精確到8位有效數字，更不是實際應用所需要的。實際上，祖沖之后1000多年間，在工藝技術和歷法的計算中，人們還大多使用“周三徑一”，除了數學著作中的計算外，甚至連徽率15750也未必使用。王恂、郭守敬制定明以前最精確的歷法《授時歷》，仍然使用圓周率3。事實上，即使使用祖率355113或8位有效數字的圓周率計算出需要的數值，沒有近現代的精密加工技術，古代加工技術所造成的誤差，會遠遠超過圓周率不精確造成的誤差。顯然，追求圓周率的精確值，不是人們日常生產、生活的需要，而是純數學活動。四20世紀70年代以前，中國數學史界一般將中國古代數學的特征概括為強烈的位值制，以計算為中心，數學理論密切聯系社會實際……這是非常明顯的，也是正確的。錢寶琮等前輩已經做了充分的論述。然而，進一步問，中國古代數學的算法有什么特點？提出并解決這個問題的是吳文俊。他說：“我國古代數學，總的說來就是這樣一種數學，構造性與機械化，是其兩大特色?！眳俏目。瑓俏目≌摂祵W機械化，山東教育出版社，1995年。本文凡引吳文俊語，均據此。構造性和機械化的思想貫穿于整個中國古代數學的始終。所謂構造性數學，是指從某些初始對象出發(fā)，通過明確規(guī)定的操作展開的數學理論。中國古代的方程術即線性方程組解法、劉徽求圓周率的程序、開方術和求高次方程正根的增乘開方法、大衍總數術即一次同余方程組解法等成就都是典型的構造性方法。所謂機械化，就是刻板化和規(guī)格化?！毒耪滤阈g》中的分數四則運算法則，開平方、開立方程序，方程術等，劉徽的求圓周率程序、解方程的互乘相消法和方程新術以及由《九章算術》的開方術發(fā)展起來的賈憲、秦九韶的增乘開方法，秦九韶的求解一次同余方程組的大衍總數術，宋元數學家設未知數列方程的天元術，元朝朱世杰等求解多元高次方程組的四元術，等等，都具有規(guī)格化的程序，是典型的機械化方法。另外，吳文俊特別重視中國傳統(tǒng)數學中幾何問題的代數化思想特征。自《九章算術》起，勾股測望問題都要化成算術、代數問題求解。到宋元時期，數學家發(fā)明了天元術，將幾何問題通過天元多項式化為一元高次方程。后來，又發(fā)展為二元術、三元術、四元術，即二元、三元、四元高次方程組。四元術的核心是四元消法，即將四元高次方程組化為三元，再化為二元，最后化為一元高次方程。這就是幾何學代數化。吳文俊從中國傳統(tǒng)數學的構造性和機械化特征得到啟發(fā)，開創(chuàng)了數學機械化理論。五吳文俊關于中國傳統(tǒng)數學特征的論述，為在理論上回答什么是世界數學發(fā)展的主流、徹底解決中國傳統(tǒng)數學屬不屬于世界數學發(fā)展的主流等問題開辟了道路。文藝復興之后，歐洲發(fā)生了資產階級革命，躍居世界前列，并向亞非及美洲擴張，使他們養(yǎng)成了歐洲中心論思想，加之近代中國數學落后，西方人一般鄙視中國古代數學。當他們從日本學者三上義夫的書［日］YMikami(三上義夫)，The Development of Mathematics in China and Japan(《中國和日本數學之發(fā)展》)，Leipzig:Teubner,1913。上知道了中國古代數學的許多成就時，由于他們固守根深蒂固的西方中心論或其變種，便不顧起碼的編年史，也不要任何證據，就說中國數學是從巴比倫、希臘甚至比中國晚出的印度等傳入的。他們編著的數學史著作，大都根本不提中國古代數學，甚至將中國與日本、瑪雅的數學一道列入“對于數學思想的主流沒有重大的影響”而略而不論。［美］MKline(克萊因),古今數學思想?序。見：古今數學思想，第1冊，上?？茖W技術出版社，1979年，Ⅴ。英國科學史家李約瑟（1900~1995）根據自己以及李儼、錢寶琮、嚴敦杰等學者的中國數學史研究成果指出，在數學上，“在公元前250年到公元1250年之間，從中國傳出去的東西比傳入中國的東西要多得多”［英］李約瑟，中國科學技術史?數學，科學出版社，1978年。，批駁了中國古代數學源于古巴比倫、古希臘和印度的謬說。吳文俊根據錢寶琮的思想，將中世紀數學發(fā)展過程概括為：中國5c印度希臘9c阿拉伯10c歐洲c表示世紀。后來，他進而指出：“貫穿在整個數學發(fā)展歷史過程中有“兩個中心思想”，一是公理化思想，一是機械化思想?！辈痪?，他又將“兩個中心思想”改成“兩條發(fā)展路線”：“一條是從希臘歐幾里得系統(tǒng)下來的；另一條是發(fā)源于中國，影響到印度，然后影響到世界的數學。”接著，他提出這兩條發(fā)展路線互為消長：“從數學有史料為依據的幾千年發(fā)展過程來看，以公理化思想為主的演繹傾向以及以機械化思想為主的算法傾向互為消長?！眱赡旰?，他更明確地指出了數學發(fā)展的主流問題：“在歷史長河中，數學機械化算法體系與數學公理化演繹體系曾多次反復互為消長交替成為數學發(fā)展中的主流。”這就在理論上回答了什么是世界數學發(fā)展的主流的問題。而“中國古代數學，乃是機械化體系的代表”，從而徹底解決了中國傳統(tǒng)數學屬于世界數學發(fā)展的主流，并且是主流的兩個主要傾向之一的問題。這就是說，在吳文俊看來，數學發(fā)展的主流并不像以往有些西方數學史家所描述的那樣——只有單一的希臘演繹模式，還有與之平行的中國式數學，而就近代數學的產生而言，后者甚至更具有決定性的（或者說是主流的）意義。李文林，古為今用的典范——吳文俊教授的數學史研究，見：林東岱、李文林、虞言林主編，數學與數學機械化，山東教育出版社，2001年。正是以中國數學為其源頭和重要組成部分的東方數學，包括數學方法和用數學解決實際問題的傳統(tǒng)，傳到歐洲，與發(fā)掘出來的古希臘數學相結合，導致數學模式和數學家的數學觀改變，重視數學計算，走向幾何問題的代數化，從而開辟了文藝復興后歐洲數學的繁榮，并開辟了通向解析幾何和微積分的道路。古希臘數學與中國傳統(tǒng)數學各有所長，厚此薄彼，褒一貶一，不是恰當的態(tài)度。正確的態(tài)度是取兩者之長，兼收并蓄。如果現代數學家既能施用古希臘的抽象方法，又長于中國式的算法，便可以同時進行深入的證明和準確的計算，對當今數學的發(fā)展可能會起到無法預料的作用。這是中西數學思想的一種新的融會貫通，可以說是較明末至清末更高的、完全不同的一種融會貫通?？傊灰私獠⒖陀^、公正地評價中國傳統(tǒng)數學，就會發(fā)現，它是世界數學主流中極其重要的一部分。六數學史是歷史學的一部分。它要求研究者站在現代數學的高度，用歷史學的方法整理此前產生的數學遺產。不言而喻，反映這些遺產的載體——原始文獻，是我們研究的主要對象，是數學史研究的出發(fā)點。因此，尊重并認真研讀原始文獻，是對數學史工作者的起碼要求。這不是杞人憂天。事實上，不認真研究原始文獻，以自己現有的知識理解甚至取代古文；對原始文獻棄而不用，只靠自己的臆測得出某些結論；讀不懂古文，便對古文亂加改竄；因原始文獻的記載與自己的觀點相左，便對古文進行曲解，甚至不加說明便隨意刪節(jié)，強古人以就我的態(tài)度……在我們的數學史研究中并不鮮見。中國數學史研究經常發(fā)生一些爭論，原因當然各異。然而，不尊重原始文獻，甚至有意無意地篡改古文，曲解古義，是一個重要原因。我們以清中葉以來學術界對《九章算術》的編纂、劉徽的割圓術及求圓周率的程序、對秦九韶大衍總數術的認識、李冶《測圓海鏡》為何而作、對天元式的認識等問題的偏頗為例說明這個問題。劉徽關于《九章算術》是“九數之流”，張蒼、耿壽昌等在秦火遺殘基礎上“各稱刪補”而成的論述不僅是最早的，而且被對《九章算術》的結構和體例的分析郭書春，古代世界數學泰斗劉徽，山東科學技術出版社，1992年。又見：繁體字修訂本，明文書局，1995年。、對《九章算術》所反映的物價的分析［日］堀毅，秦漢物價考，見：秦漢法制史論考，法律出版社，1988年，第268~307頁。所證實，因而是最正確的。自清中葉戴震整理《九章算術》（1774）時開始否定劉徽的說法清?戴震，九章算術提要，見：《武英殿聚珍版叢書》本。見：郭書春主編，中國科學技術典籍通匯?數學卷，第1冊，河南教育出版社，1993年。起，此后整整200年間，人們不再考慮劉徽的說法是不是正確，卻沿著戴震的思路走下去，提出一些或者似是而非，或者毫無根據、純屬臆測的《九章算術》成書說。事實上，1983年底張家山漢墓中與《算數書》同時出土了關于“均輸律”的竹簡李學勤，中國數學史上的重大發(fā)現，文物天地，1985，（1）。之后，劉徽的說法不再與任何歷史事實相矛盾，是不能輕易懷疑的。我們認為，今天的研究者不能將劉徽關于《九章算術》編纂的論述與近人、今人關于《九章算術》成書的一些猜測放在同等的位置上來考察。只有首先駁倒劉徽，才能再考慮其他說法。因為劉徽的話是在《九章算術》成書二三百年后，而戴震等的話則在2000多年之后。劉徽去古未遠，他不僅能師承前輩關于《九章算術》編纂的可靠說法，而且能看到比近人、今人多得多的資料。乾嘉學派特別是戴震等的考據功夫極深，但是，疑古傾向太嚴重。且不說當時大規(guī)模的文物考古發(fā)掘尚未展開，只就典籍而言，由于時代久遠及各種天災人禍，古代出現過的典籍能流傳到清中葉的百無一二；有幸流傳到清中葉的，一個人即使如戴震這樣聰明博學的大才，能讀到的亦百無一二。因此，戴震等以一己之知識，便隨意否定歷史文獻的記載，其偏頗是顯而易見的。尊重原始文獻，走出疑古，這就是結論。中國傳統(tǒng)數學在20世紀初中斷，從事中國數學史研究的學者絕大多數是受西方現代數學教育的，這就存在著一個既站在現代數學的高度，又回到中國古代的問題。然而，在研治中國數學史的時候，往往囿于自己的知識修養(yǎng)，離開原始文獻，自覺或不自覺地用我們所熟悉的希臘的或現代的方法取代中國傳統(tǒng)的方法，從而造成誤解。即使是一些造詣相當高的學者的某些嚴肅的論著在使用原始文獻方面也會造成失誤。對劉徽割圓術及求圓周率程序的理解偏頗就是一個典型的例子。劉徽為《九章算術》圓田術寫了一個很漂亮的注。這個注首先記述了前人用出入相補原理對圓田術的論證方法，當然是不嚴格的。接著，劉徽創(chuàng)造了用極限思想和無窮小分割方法嚴格證明圓田術的方法，其畫龍點睛之處是“以一面乘半徑，觚而裁之，每輒自倍。故以半周乘半徑而為圓冪”。這幾句話清楚地表明劉徽完成了對《九章算術》圓面積公式的證明。然后，劉徽指出，《九章算術》圓田術中的周、徑“謂至然之數，非周三徑一之率也”。因此需要求這個“至然之數”，就是圓周率。他在批評了前人沿用“周三徑一之率”的錯誤之后，提出了求圓周率近似值的程序。他從直徑為2尺的圓的內接正六邊形逐步割圓，計算出314寸2作為圓面積的近似值。將其代入圓田術，反求出圓周長的近似值628寸。將其與圓直徑20寸相約，便得到圓周率15750。劉徽的整個圓田術注，論點明確，論據充分，邏輯清晰，沒有任何費解之處。顯然，劉徽割圓術的主旨和他的幾個極限過程是為了證明《九章算術》的圓田術。可是，“文化大革命”前約半個世紀，幾乎所有關于劉徽割圓術的文章都沒有認識到這一點。甚至一篇逐字逐句用現代漢語翻譯圓田術注的文章勵乃驥，《九章算經》圓田題和劉徽注的今釋，數學教學，1957，（6）：1~11。對上面提到的畫龍點睛的幾句話，竟然略而不譯。并且由于這個失誤，人們對劉徽求圓周率的程序也統(tǒng)統(tǒng)搞錯了。首先，誤以為整個割圓術，特別是幾個極限過程，就是為了求圓周率。實際上，求圓周率是極限思想在近似計算中的應用，用不到極限過程。其次，誤以為求出圓面積近似值314寸2之后，使用現今中學數學教科書中的圓面積公式S=πr2求圓周率。這不僅背離了劉徽注，而且還會把劉徽置于他從未犯過的循環(huán)推理錯誤的境地。對劉徽割圓術的誤解延續(xù)時間之長，涉及范圍之廣，是罕見的。究其原因，除了離開原文并囿于自己的知識結構外，對許多作者而言，是犯了“天下文章一大抄”的錯誤。研究數學史，認真研讀原著是第一要務。在這里，沒有捷徑可走。人們常把南宋數學家秦九韶《數書九章》中求解一次同余方程組的方法稱為“大衍求一術”。實際上，這是一個誤解。秦九韶求解一次同余方程組的方法是“大衍總數術”，它包括四個部分：諸問數的定義、將不兩兩互素的問數化為相當于兩兩互素的定數的程序、求乘率的程序即“大衍求一術”、求率數即答案的程序?！按笱芮笠恍g”只是其中一部分，盡管是其相當重要甚或核心的一部分，但不是一次同余方程組解法的全部。自清中葉以來，許多推演秦九韶方法的著作清中葉之后推演秦九韶求解一次同余方程組方法的著作幾乎全部冠以“求一術”之名，如張敦仁的《求一算術》、焦循的《大衍求一術》、時曰醇的《求一術指》、黃宗憲的《求一術通解》等。及20世紀的數學史著述錢寶琮，秦九韶《數書九章》研究，見：錢寶琮等，宋元數學史論文集，科學出版社，1966年，第67~77頁。大都將“大衍求一術”說成是秦九韶的一次同余方程組解法，這是不恰當的。自清阮元（1764~1849）提出“《測圓海鏡》何為而作也？所以發(fā)揮立天元一之術也”清?阮元，重刻《測圓海鏡細草》序，見：郭書春主編，中國科學技術典籍通匯?數學卷，第1冊，河南教育出版社,1993年。的說法之后，許多中國數學史著述便將《測圓海鏡》說成是一部研究天元術的著作，而李冶的《益古演段》是一部普及天元術的著作。誠然，《測圓海鏡》和《益古演段》是現存使用天元術的最早的兩部著作，人們重視它們關于天元術的內容，這是完全正確的。但是，說它們是李冶為天元術而寫的，是不符合歷史事實的。實際上，李冶自序已經說明他的《測圓海鏡》是為了闡釋洞淵九容，而《益古演段》是在《益古集》上“移補條段，細翻圖式”，為了使初學數學者能看懂。在李冶自序中，沒有一個字談到天元術。在他的朋友和子侄輩為他的兩部書寫的序跋中，也都沒有一個字談到天元術?？梢?，《測圓海鏡》是闡釋勾股容圓的著作，《益古演段》是闡發(fā)《益古集》中田畝問題的著作，二者都不是以闡述天元術為目的的著作。天元術只是李冶在這兩部著作中使用的主要方法，當時業(yè)已成熟。對天元式的表示自清中葉以來也有一些模糊認識。應當指出，天元式主要是指含有“天元”的多項式或單項式，而不是指開方式。許多數學史著述說，在天元術中，開方式也稱為天元式，甚至稱為“天元開方式”，說“‘天元開方式’就是一元高次方程”，并在開方式中以“元”字或“太”字表示一次項或常數項。這是不恰當的。一般說來，在天元術中，經過“如積相消”，得出的開方式中的常數項或天元的一次項便不再標以“太”或“元”。有的學者在引用開方式時加上原文沒有的“元”字，是上述誤解所致。經過李儼、錢寶琮等中國數學史學科奠基者和歷代數學史工作者的努力，中國數學史研究有相當深厚的基礎和成就。在這種情況下，更應該力求準確地表述這些成就，既不夸大，也不縮小。為此，除了尊重原始文獻之外，別無他途。同時，中國傳統(tǒng)數學成就雖然輝煌，然而歷史上產生的尤其是元中葉以前的大量數學著作，流傳到現今的只是極少一部分。就是說，我們實際上只知道中國數學史的幾個“點”。如何將這些“點”串聯成“線”、“面”或“體”，成為一部完整的中國數學史，是數學史工作者的任務。李儼、錢寶琮、嚴敦杰等前輩站在現代數學的高度，用歷史學的方法研究中國古代數學的輝煌成就，為中國數學史奠定了實事求是的研究方法。吳文俊進而提出了“古證復原”的“三原則”：原則之一，證明應符合當時本地區(qū)數學發(fā)展的實際情況，而不能套用現代的或其他地區(qū)的數學成果與方法。原則之二，證明應有史實史料上的依據，不能憑空臆造。原則之三，證明應自然地導致所求證的結果或公式，而不應為了達到預知結果以致出現不合情理的人為雕琢痕跡。這里雖然講的是復原古證的問題，但對數學史研究的其他問題也是適用的。我們認為，這“三原則”的核心是尊重歷史，尊重原始文獻。只有尊重原始文獻，深入研究這些“點”，才有可能做好串聯成“線”、“面”或“體”的工作，形成完整、準確的中國數學史。這是本書力求達到的目標。正因為如此，本書凡是闡述重大成就或重要觀點，必定引征古文獻的原文藝為佐證。

內容概要

數學是中國古代最為發(fā)達的基礎科學學科之一，約公元前3世紀至公元14世紀初領先于世界先進水平。中國傳統(tǒng)數學是當時世界數學發(fā)展的主流。中國傳統(tǒng)數學的思想和方法既可用于現今的中小學數學教學，也對當前的數學研究有某些啟迪作用。本書根據對原始文獻的深刻研究，以重新劃分的中國數學發(fā)展各階段為序，試圖系統(tǒng)論述遠古至清末中國數學的主要成就、思想、理論貢獻以及重要的數學典籍、杰出的數學家，并探討其產生的社會經濟、政治、思想和文化背景，是對截止到21世紀初中國數學史研究成果的最新全面總?。本書既是數學史專業(yè)工作者的參考讀物，也適合從事數學、歷史、文化、教育工作的各界人士和愛好者閱讀。

作者簡介

郭書春，中國科學院自然科學史研究所研究員、黨委委員、學術委員會副主任、工會主席，全國數學史學會理事長、博士生導師。長期從事中國數學史研究，在《九章算術》的編纂，劉徽《九章算術注》的結構、成就，劉徽的數學體系、邏輯思想淵源、時代背景，以及賈憲、秦九韶、楊輝

書籍目錄

總序前言第一編  中國數學從興起到形成一門學科——原始社會到西周時期的數學  第一章  中國數學的興起——原始社會的數學    第一節(jié)  圖形觀念的形成      一  圖形觀念的產生      二  從方位觀念看圖形觀念      三  原始的作圖工具——規(guī)矩準繩    第二節(jié)  數概念的形成與原始的記數方法      一  數概念的產生      二  原始的記數方法    第三節(jié)  傳說中的數學人物      一  伏羲      二  黃帝和隸首      三  堯、舜、禹和倭    第四節(jié)  從原始社會晚期的社會結構看當時數學的發(fā)展  第二章  數學形成一門學科——夏、商、西周三代的數學    第一節(jié)  十進位值制記數法的形成      一  甲骨文和金文中的數字      二  十進位值制記數法    第二節(jié)  數學成為一門學科      一  社會管理和工作的需要與數學的發(fā)展      二  數學進入教學科目      三  商高及其所掌握的數學知識第二編  中國傳統(tǒng)數學框架的確立——春秋至東漢中期的數學第三編  中國傳統(tǒng)數學理論體系的完成——東漢末至唐中葉的數學第四編  中國傳統(tǒng)數學的高潮——唐中葉至元中葉的數學第五編  傳統(tǒng)數學主流的轉變與珠算的發(fā)展——元中葉至明末數學第六編  西方數學的傳入與中西數學的會通——明末至清末的數學主要參考文獻后記總跋

章節(jié)摘錄

二十進位值制記數法（一）十進位值制記數法在原始社會，各部落和氏族在各自的環(huán)境和條件以及習慣下形成多種多樣的記數方法和記數系統(tǒng)，其中十進、二進、五進、十二進、六十進等大概都有過。當氏族社會發(fā)展到它的高級階段形成部落聯盟時，交流、形成共同力量和進行公共管理等方面的需要促進了一種共用的記數法的形成?！渡袝?堯典》說帝舜時“協(xié)時月、正日，同律度量衡”，這種規(guī)范歷日和度量衡的活動，也需要先在一定范圍內規(guī)范記數法。而進入夏代奴隸制社會以后，各方國都要受夏王朝節(jié)制，對夏盡貢賦、征發(fā)等各種義務，這時統(tǒng)一歷日、度量衡和記數法的需要就更加迫切，而統(tǒng)一的歷日、度量衡和記數法的行用范圍也會更加深廣。對十進制的認知以身體的十指為基礎，十分自然，大概是中國境內各部落采用較多的記數法。據張政烺研究，存在著一種“十進制氏族組織”，居統(tǒng)治地位的氏族對被統(tǒng)治氏族的原有血緣組織進行調整，使每一氏族都含有一百個壯丁，從氏族到宗族再到部族都成為一種十進制組織，這樣每一部族便包含一百個氏族一萬個壯丁，“這便是《尚書?堯典》上所說的‘平章百姓，百姓昭明’”張政烺,古代中國的十進制氏族組織,歷史教學，1951,3(2)：13~19。4:14~17。。較為廣泛的社會基礎使十進制成為統(tǒng)一記數法的首選。至遲到殷商的時候，它已經普遍使用，并發(fā)展到比較完善的程度，這從上面討論的甲骨文和金文的準十進位值制記數法中可以看到充分的證據。據《甲骨文字典》，商周時代也用簡策來書寫。甲骨文“冊”作、諸形，正是簡牘編成冊的樣子；“典”字作、，像雙手持冊的樣子。在傳世文獻中用到的數字單位有比萬更大的億、兆、京等單位,也都是十進制，除偶爾用到廿、卅、、卌外，都不用合書。《周髀算經》載公元前11世紀商高答周公問說“數之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一”，這說明“九九”已為商高掌握?！熬啪拧迸c先進的記數法是互為表里的。從甲骨金文看，其中所用的準十進位值制記數法到算籌的十進位值制記數法，在道理上是很容易過渡的參考王青建,算籌記數思想,第七屆國際中國科學史會議文集，大象出版社，1999年，第220~225頁。。我們認為算籌記數法的形成大約有三個階段：第一階段約在商代之前，竹、木或草莖等用于計算，但用途尚不固定，我們稱為前算籌期；第二階段是商末之前，某些長條形的竹、木棍（片）被賦予一項計數的專門功能，我們稱為算籌形成期；第三階段是商末至西周末年，逐漸形成后世算籌記數制度，可以稱為算籌完善期。（二）干支記數法除十進制外，夏商西周時期還有一種記數法，就是干支法。它主要用來記時。干就是天干，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十個符號；支是地支，即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二個符號。天干可能來源于原始社會曾把一年分為十個時節(jié)的十月太陽歷，地支有人認為出于日月之會一年中有十二次陳久金,天干十日考,陳久金集,黑龍江教育出版社，1993年，第59~75頁。。干支搭配形成60種組合：甲子，乙丑，丙寅，丁卯，戊辰，己巳，庚午，辛未，壬申，癸酉；甲戌，乙亥，丙子，丁丑，戊寅，己卯，庚辰，辛巳，壬午，癸未；甲申，乙酉，丙戌，丁亥，戊子，己丑，庚寅，辛卯，壬辰，癸巳；甲午，乙未，丙申，丁酉，戊戌，己亥，庚子，辛丑，壬寅，癸卯；甲辰，乙巳，丙午，丁未，戊申，己酉，庚戌，辛亥，壬子，癸丑；甲寅，乙卯，丙辰，丁巳，戊午，己未，庚申，辛酉，壬戌，癸亥。這60個組合由于以“甲子”開頭，又稱為甲子。干支記日法是一種序數記法，它與60進制有關，但不能算作60進制，從甲子到癸亥，再往下又回到甲子，確實只用60個符號。但是，干支的記日不出現某“干支”周期的某“干支”日，因此，它決算不上是60進制。第二節(jié)數學成為一門學科從夏代進入階級社會開始，國家的社會結構對數學提出了更高的要求從而刺激了數學的進步，另外，數學在管理者和世代相傳的勞動者手中成長，從而具有更加穩(wěn)定的傳承紐帶。數學知識的積累和社會的需要，使它終于在西周時期發(fā)展成為一門學科。一社會管理和工作的需要與數學的發(fā)展原始社會晚期促進數學發(fā)展的諸多因素，在中國步入奴隸社會以后依然存在并得到了加強。夏、商、周三個王朝，國家機構日趨完善，所統(tǒng)轄的范圍越來越廣，以華夏族活動區(qū)域為中心的廣大地區(qū)的民族沖突和融合逐漸形成越來越大的社會共同體，當然也就為數學提出了越來越高的要求。特別是大的工程和戰(zhàn)爭，必然要求其領導對人力、物力有較好的方法進行安排和調配，還須要解決一些技術問題。國家龐大和復雜的管理系統(tǒng)，既對管理人員提出較高的要求，也使他們能脫離機械的體力勞動，有時間和精力完備制度，提高管理能力。同時，手工業(yè)的分工也越來越細，經過經驗的不斷總結和技藝的世代相傳，生產力和工藝水平就會越來越高。這些都會對數學的發(fā)展產生刺激作用。《史記?夏本紀》云，禹與益和后稷奉帝舜之令治水，“命諸侯百姓興人徒以傅土，行山表木，定高山大川。……左準繩，右規(guī)矩，載四時，以開九州，通九道。”這里提到要用規(guī)矩準繩等工具來測定高山大川的高低寬窄、地勢迂直，確立地域的疆界，開通道路。這就需要對工程量大小、用工人數、工具和糧食等進行估算，其中肯定會用到測望、加減乃至某種形式的乘除和比例分配方法等數學知識。這為三代的數學提供了基礎。夏商西周不僅要繼續(xù)興建水利工程，也要筑王城，夏、商都多次遷都，每次都要大興土木，西周建立不久就興修洛邑。各諸侯卿大夫也都要修筑城邑。夏商周時候的國家機構要管理大量的財物，了解國家的資源，在遇到大型工程和重大事情時，要合理調配大量人力物力。同時，國家又擁有一大批世代相傳的工匠，他們在制作產品時，都形成越來越完備的規(guī)程。這些既應用了已有的數學知識，也促進了數學的發(fā)展?！睹献?滕文公上》說：“夏后氏五十而貢，殷人七十而助，周人百畝而徹。其實皆什一也?！曊?，校數歲之中以為之常?！弊⒃疲骸懊窀迨€，貢上五畝；耕七十畝者，以七畝助公家；耕百畝者，徹取十畝以為賦。雖異名而多少同，故曰‘什一’也?！睉?zhàn)國?孟軻，孟子，十三經注疏，中華書局，1981年。夏王朝向王畿地區(qū)的平民，按耕種50畝收取5畝的實物收獲征稅。這和商代70畝收7畝、周100畝收10畝的稅率相等，都是十分之一的稅率。這里需要用比例算法?！秶Z?周語上》說“《夏書》有之曰：‘關石、和鈞，王府則有’”注云：“言征賦調鈞，則王之府藏常有也?！鄙虾煼洞髮W古籍整理研究所校點，國語，上海古籍出版社，1990年，第121頁。如是則夏代已開始征收商業(yè)稅了。在商代，平民的商品交換已經很活躍，商王室和貴族的用品也有很多是通過商品交換得到的。商代已經有貝幣作為流通的一般等價物。楊升南，商代經濟史，貴州人民出版社，1992年，第590~607頁。商品交換的發(fā)展必然刺激相關計算方法的進步。上面我們看到甲骨文已經有大到三萬的數和準十進位值制記數法，這就為商品交換時準確快捷的計算提供了基礎。戰(zhàn)爭與數學也有密切關系。三代有些戰(zhàn)爭規(guī)模很大。例如,《呂氏春秋?簡選》提到商湯伐夏桀用70輛軍車，6000人的敢死隊秦?呂不韋，呂氏春秋，《諸子集成》本，上海書店，1991年，第79頁。，加上其他的部隊，人數會多得多。甲骨文中有一些用兵人數的記載，多數為3000~5000。最多的一次是13000人，由武丁妻子的封邑提供3000人，王室的軍隊提供10000人。楊升南，商代經濟史，貴州人民出版社，1992年，第48~49頁?！妒酚?周本紀》載周武王伐紂，“率戎車三百乘，虎蕡三千人，甲士四萬五千人”，并有“諸侯兵會者車四千乘”。而據說商紂王則匆匆集結了七十萬人的軍隊。《逸周書?世俘》說，周滅商以后，“武王遂征四方，凡憝國九十有九國，馘魔億有萬七千七百七十有九，俘人三億萬有二百三十”，“凡武王俘商，得舊寶玉萬四千，佩玉億有八萬”黃懷信、張懋镕、田旭東，逸周書匯校集注，上海古籍出版社，1995年。原文“萬”前衍“十”，今從章太炎校?！胺参渫醴?，得舊寶玉萬四千，佩玉億有八萬”原文作“凡武王俘商舊玉億有百萬”，今從王念孫校。。不管這些數字是否有傳抄錯誤，它們的獲得必定用到統(tǒng)計方法，其中必定有整數運算問題。而且發(fā)動這些大規(guī)模的戰(zhàn)爭，肯定需要在戰(zhàn)前對雙方實力有合適的估計，對地勢、路程、人數、糧草、器械等有合理的安排。這就必然用到很多相關的數學方法。商代的手工業(yè)有青銅、建筑、陶瓷、紡織等各種行業(yè)楊升南，商代經濟史，貴州人民出版社，1992年。，其中肯定要用到很多數學方法。例如，建筑、木作中用到長寬、體積的計算等多種幾何方法，青銅鑄造、釀造業(yè)中都有原料的配伍問題，需要比例算法，等等。《考工記》中記錄關于各種手工業(yè)的規(guī)范，涉及大量的數學知識，其中很多可能來源于前代。歷法的制定有兩項重要工作，一是觀測，二是計算，都離不開數學。觀測天象除用肉眼外，還借助工具。立桿測影大概在原始社會時代就已經有了。商代已經采用圭表法測日影。商玉芝，殷商歷法研究，中國社會科學出版社，1987年，第87頁?！犊脊び洝贰罢Α钡臏y影法用到平分和垂直的概念。其源當遠在《考工記》形成前。商高的測望方法也與歷法的制定有關系。能在一定程度上反映西周制度的《周禮》特別強調數量化和負擔均平。其“天官冢宰”說大宰要“均萬民”，就是要讓萬民的負擔相等；小宰輔佐大宰執(zhí)用九貢九賦九式，合理調配國家的財用，并采用定期會計的方法管理財物的出入。司會“掌邦之六典八法八則之貳，以逆邦國都鄙官府之治。……掌國之官府郊野縣都之百物財用，凡在書契版圖者之貳，以逆群吏之治，而聽其會計。以參互考日成，以月要考月成，以歲會考歲成，以周知四國之治，以詔王及冢宰廢置”周?周禮，十三經注疏，中華書局，1981年。本編凡引《周禮》文字，均據此。。對國家財貨的出入，每日每月每年都要有會計并登記在冊，并以之作為考核官吏的成績?！吨芏Y》甚至還主張用統(tǒng)計方法對醫(yī)生、酒官、卜筮之類的官員進行考核。因此，周代的貴族子弟所受的教育中就有數學一門?！?/pre>


后記
《中國科學技術史》是“八五”計劃中國科學院重大課題，《數學卷》是其子課題之一，由于種種原因沒有按時完成。在陳美東先生和中國科學院自然科學史研究所領導反復動員下，我在2004年夏應允出任《中國科學技術史?數學卷》（以下簡稱《數學卷》）主編，至于我參加《數學卷》的工作，則是在1988年秋宣州梅文鼎會議期間杜石然先生約請的，二年后杜先生即退休去國。我則在90年代初完成了我承擔部分的初稿。



編輯推薦
《中國科學技術史?數學卷》是《中國科學技術史》叢書之一，此系中國科學院“八五”重點研究課題，國家自然科學基金資助，國家“九五”重點圖書出版項目。叢書共28卷，分綜合類、專史類、工具類三類，是一套系統(tǒng)、完整的中國科學技術史的大型著作。綜合類：通史卷，科學思想卷，中外交流卷，人物卷，教育、機構與管理卷。專史類：數學卷，物理學卷，化學卷，天文學卷，地學卷，生物學卷，農學卷，醫(yī)學卷，水利卷，機械卷，建筑卷，橋梁卷，礦冶卷，紡織卷，陶瓷卷，造紙與印刷卷，交通卷，軍事技術卷，度量衡卷。工具類：詞典卷，圖錄卷，年表卷，論著索引卷。





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