系統(tǒng)包含原理及其應(yīng)用

內(nèi)容概要

本書(shū)首先介紹了系統(tǒng)包含原理中系統(tǒng)狀態(tài)、輸入和輸出包含的一般概念，給出了包含原理在電力系統(tǒng)和自動(dòng)車組系統(tǒng)重疊分散控制中的應(yīng)用，以及在空間系統(tǒng)應(yīng)用中模型降階的方法。其次，提出了系統(tǒng)對(duì)偶包含的概念，說(shuō)明了約束類和聚集類包含條件的對(duì)偶性，使得系統(tǒng)控制器與觀測(cè)器的設(shè)計(jì)可以通過(guò)對(duì)偶性相互轉(zhuǎn)換。最后，將系統(tǒng)包含原理推廣到了子系統(tǒng)的包含，從而可以研究在任意信息結(jié)構(gòu)約束變化下，系統(tǒng)的多重疊分散控制和系統(tǒng)分散的一致性協(xié)調(diào)控制。
本書(shū)是以控制科學(xué)與工程及其相關(guān)學(xué)科攻讀碩士學(xué)位和博士學(xué)位的研究生為主要對(duì)象。同時(shí)，書(shū)中內(nèi)容也可為相關(guān)學(xué)科領(lǐng)域的學(xué)者、教師、研究人員和工程技術(shù)人員提供參考。

書(shū)籍目錄

前言
第1章　緒論
 1.1系統(tǒng)包含的意義
 1.2系統(tǒng)包含的一個(gè)引例
 1.3本書(shū)結(jié)構(gòu)
第2章　線性隨機(jī)離散時(shí)變系統(tǒng)的包含原理
 2.1系統(tǒng)的包含問(wèn)題
 2.1.1系統(tǒng)的描述
 2.1.2系統(tǒng)的包含
 2.1.3系統(tǒng)另一類形式的包含條件
 2.2觀測(cè)器的包含
 2.2.1觀測(cè)器的描述
 2.2.2觀測(cè)器的包含
 2.2.3觀測(cè)器另一類形式的包含條件
 2.2.4觀測(cè)器性能指標(biāo)的包含
 2.3觀測(cè)器的包含
 2.3.1濾波器的描述
 2.3.2濾波器的包含
 2.3.3卡爾曼濾波器的包含
 2.4控制器的包含
 2.4.1動(dòng)態(tài)控制器與閉環(huán)系統(tǒng)
 2.4.2動(dòng)態(tài)控制器的包含
 2.4.3控制器的兩種特殊情況
 2.4.4控制器另一類形式的包含條件
 2.4.5動(dòng)態(tài)反饋控制器的包含
 2.5控制器性能指標(biāo)的包含
 2.5.1閉環(huán)系統(tǒng)的包含
 2.5.2性能指標(biāo)的包含
 2.5.3LQG最優(yōu)控制性能指標(biāo)的包含
 2.6本章小結(jié)
　　……
第3章　電力系統(tǒng)的重疊分散LQG控制
第4章　自動(dòng)車組系統(tǒng)的重疊分散控制
第5章　系統(tǒng)的對(duì)偶性與對(duì)偶包含原理
第6章　具有特殊結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的包含
第7章　一般結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的包含
參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁(yè):第1章  緒  論 1.1  系統(tǒng)包含的意義 一般來(lái)說(shuō)，除特殊情況外，復(fù)雜系統(tǒng)和大系統(tǒng)是由其各個(gè)部分或子系統(tǒng)組成的。系統(tǒng)可呈現(xiàn)出以子系統(tǒng)為節(jié)點(diǎn)、互聯(lián)關(guān)系為連接的具有網(wǎng)絡(luò)化的、相互關(guān)聯(lián)的動(dòng)態(tài)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)形式。正是系統(tǒng)的各個(gè)部分或者子系統(tǒng)之間的動(dòng)態(tài)互聯(lián)，使得系統(tǒng)的整體結(jié)構(gòu)、運(yùn)行過(guò)程和內(nèi)在性質(zhì)趨于復(fù)雜。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中的某一部分，或是狀態(tài)變量，或是輸入、輸出，或是子系統(tǒng)本身，都可能成為系統(tǒng)其他部分所共有的互聯(lián)部分，我們稱之為系統(tǒng)的重疊部分。從這一角度來(lái)看，系統(tǒng)具有的重疊結(jié)構(gòu)是系統(tǒng)趨于復(fù)雜化的因素之一。系統(tǒng)的包含原理可以作為分析系統(tǒng)重疊結(jié)構(gòu)的工具，同時(shí)也可以作為推廣應(yīng)用到系統(tǒng)一般結(jié)構(gòu)的分析，特別是系統(tǒng)具有信息結(jié)構(gòu)約束變化的分析。 系統(tǒng)的包含原理，作為簡(jiǎn)化系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)的方法之一，在復(fù)雜系統(tǒng)和大系統(tǒng)的研究領(lǐng)域內(nèi)，已經(jīng)逐步引起相關(guān)學(xué)科學(xué)者和研究生們的注意和興趣。系統(tǒng)的包含原理有兩個(gè)方面，即系統(tǒng)的擴(kuò)展與收縮。就子系統(tǒng)具有重疊互聯(lián)結(jié)構(gòu)組成的系統(tǒng)而言，利用系統(tǒng)的包含原理將描述原系統(tǒng)的狀態(tài)空間擴(kuò)展，得到各個(gè)子系統(tǒng)近似解耦的更為廣大的擴(kuò)展空間。對(duì)應(yīng)擴(kuò)展空間的系統(tǒng)，我們稱為擴(kuò)展系統(tǒng)。在滿足系統(tǒng)包含原理相關(guān)的擴(kuò)展條件下，擴(kuò)展系統(tǒng)狀態(tài)方程的解包含了原系統(tǒng)狀態(tài)方程的解，即擴(kuò)展系統(tǒng)包含了原系統(tǒng)的所有性質(zhì)。這樣，根據(jù)我們熟知的系統(tǒng)常規(guī)設(shè)計(jì)方法，在擴(kuò)展空間中，可以分別為各個(gè)解耦的子系統(tǒng)進(jìn)行獨(dú)立的、分散的觀測(cè)器設(shè)計(jì)和控制器設(shè)計(jì)。然后，通過(guò)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)矩陣的補(bǔ)償，在滿足系統(tǒng)包含原理相關(guān)的收縮條件下，將擴(kuò)展空間中分別設(shè)計(jì)的各個(gè)子系統(tǒng)的觀測(cè)器和控制器整合收縮回原系統(tǒng)空間，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)原系統(tǒng)的重疊分散動(dòng)態(tài)控制器的設(shè)計(jì)。這類系統(tǒng)動(dòng)態(tài)控制器的設(shè)計(jì)，可作為復(fù)雜系統(tǒng)和大系統(tǒng)的分散控制和一致性協(xié)調(diào)控制的方法之一。就復(fù)雜系統(tǒng)和大系統(tǒng)的模型降階而言，利用系統(tǒng)包含原理相關(guān)的收縮條件，完全或不完全地將描述原系統(tǒng)的狀態(tài)空間收縮到更為簡(jiǎn)約的狀態(tài)空間，從而得到原系統(tǒng)近似的收縮空間。對(duì)應(yīng)收縮空間的系統(tǒng)，我們稱為收縮系統(tǒng)。同樣，根據(jù)系統(tǒng)常規(guī)的設(shè)計(jì)方法，在收縮空間中可以為收縮系統(tǒng)分別進(jìn)行觀測(cè)器和控制器的動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)。一方面，在滿足系統(tǒng)包含原理相關(guān)的擴(kuò)展條件下，可以將設(shè)計(jì)結(jié)果擴(kuò)展回并且應(yīng)用于原系統(tǒng)；另一方面，也可以直接將設(shè)計(jì)結(jié)果作為原系統(tǒng) 的降階動(dòng)態(tài)控制器而應(yīng)用于原系統(tǒng)。這類系統(tǒng)的模型簡(jiǎn)化和動(dòng)態(tài)控制器的設(shè)計(jì)，不失為復(fù)雜系統(tǒng)和大系統(tǒng)模型降階及其控制的選擇方法之一，特別是降階動(dòng)態(tài)控制器的設(shè)計(jì)方法具有一定的啟示作用。 系統(tǒng)包含原理開(kāi)拓性的理論研究和應(yīng)用研究工作，始見(jiàn)于20世紀(jì)60年代末（Aoki，1968，1971，1978；Isaksen，etal，1973；Ikeda，etal，1981，1984，1986；Ohta，etal，1984；Siljak，1991）。1968年，Aoki針對(duì)大系統(tǒng)的高維階次，提出了類似于系統(tǒng)狀態(tài)向量線性變換的廣義線性變換――聚集（aggregation）方法（Aoki，1968），用以嘗試降低描述系統(tǒng)模型的階次。聚集的概念與隨后陸續(xù)提出的非聚集（dis-aggregation）和約束（restriction）等概念，為系統(tǒng)的包含原理奠定了基礎(chǔ)。 針對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)和大系統(tǒng)，Ikeda和Siljak等提出了動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的包含原理，并發(fā)現(xiàn)包含原理特別有利于具有重疊互聯(lián)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)，以及系統(tǒng)模型降階的設(shè)計(jì)。這些基于系統(tǒng)包含原理的研究工作包括： ①系統(tǒng)最優(yōu)控制性能指標(biāo)的包含與其不變性（Ikeda，etal，1981；Chen，1994）。 ②動(dòng)態(tài)確定性線性系統(tǒng)關(guān)于包含原理約束和聚集的兩類特殊包含條件（Ike-da，etal，1984）。 ③將系統(tǒng)中狀態(tài)的包含逐步推廣到輸入的包含、輸出的包含（Ikeda，etal，1986；Iftar，etal，1990，1998；Iftar，1993a，1993b；Siljak，1991；Chen，1994；Bakule，etal，2000a，2000b；Stankovic，etal，2001），并進(jìn)一步推廣到子系統(tǒng)的包含（Chen，etal，2005，2007，2012）。 ④約束類和聚集類包含條件在系統(tǒng)不同擴(kuò)展空間中的收縮性問(wèn)題（Hodzic，etal，1986，Chen，etal，2004）。 ⑤線性隨機(jī)系統(tǒng)的包含原理（Hodzic，etal，1983；Krtolica，etal，1991；Chen，1994）。 ⑥線性隨機(jī)離散時(shí)變系統(tǒng)和線性連續(xù)時(shí)變系統(tǒng)的包含原理（Chen，1994；陳雪波，等，1997；Stankovic，2004）。 ⑦非線性系統(tǒng)包含原理的基本形式（Siljak，1991；Siljak，etal，1995）。 系統(tǒng)包含原理的應(yīng)用范圍很寬，并且還在擴(kuò)展。除了包含原理在大系統(tǒng)降階模型中的應(yīng)用（Sezer，etal，1982；Chen，1994）以外，諸如重疊互聯(lián)電力系統(tǒng)的自動(dòng)發(fā)電控制（Siljck，1978；Calovic，etal，1978；Calovic，1984；Chen，1994；Chen，etal，1996，2002a，2002b，2002c，2005，2007，2012；Stankovic，etal，1999）、經(jīng)濟(jì)社會(huì)系統(tǒng)（Aoki，1976）、自動(dòng)車組系統(tǒng)（Levine，etal，1966；Isaksen，etal，1973；Papageor-giou，1984；Stankovic，etal，2000；陳雪波，2001）、多控制器系統(tǒng)（Siljak，1980；Pala-cios-Quinonero，etal，2010；Chen，etal，2005，2007，2012）、大型空間結(jié)構(gòu)系統(tǒng)（Yousuff，etal，1987；Young，1990；Chen，1994）、高層建筑的結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制（Pala-cios-Quinonero，etal，2010，2011）等，都可以在系統(tǒng)的擴(kuò)展和收縮框架下進(jìn)行分析、研究和設(shè)計(jì)。 在理論方面，本書(shū)的意義在于以線性隨機(jī)離散時(shí)變動(dòng)態(tài)系統(tǒng)為例，闡述了系統(tǒng)包含原理的理論、相關(guān)的包含條件和定理證明。書(shū)中將以連續(xù)時(shí)不變動(dòng)態(tài)系統(tǒng)為背景的包含原理，推廣到以線性隨機(jī)離散時(shí)變動(dòng)態(tài)系統(tǒng)為背景的包含原理（Chen，1994）。不僅如此，在線性隨機(jī)離散時(shí)變描述的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)情況下，本書(shū)還將包含原理中系統(tǒng)狀態(tài)的包含，推廣到系統(tǒng)狀態(tài)、輸入和輸出的包含。特別的，通過(guò)狀態(tài)、輸入和輸出包含的排列組合，得到不同于狀態(tài)包含的約束類和聚集類對(duì)偶的包含條件，作為概括性的、具有一般性的包含原理的基本包含結(jié)構(gòu)。這樣，系統(tǒng)狀態(tài)的包含不僅與其自身的重疊互聯(lián)結(jié)構(gòu)有關(guān)，還分別與對(duì)應(yīng)系統(tǒng)狀態(tài)的輸入和輸出的重疊互聯(lián)結(jié)構(gòu)有關(guān)。根據(jù)系統(tǒng)包含原理的約束類和聚集類狀態(tài)的基本包含條件，可以分別推出系統(tǒng)不同類型的包含條件。因此，在系統(tǒng)的原空間與系統(tǒng)的擴(kuò)展空間之間、系統(tǒng)的原空間與收縮空間之間，可以通過(guò)不同類型的包含條件或收縮條件進(jìn)行系統(tǒng)的擴(kuò)展或收縮。在系統(tǒng)擴(kuò)展和收縮的框架中，可以方便地進(jìn)行系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)。為了設(shè)計(jì)復(fù)雜系統(tǒng)和大系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)控制器，本書(shū)不僅考慮了系統(tǒng)觀測(cè)器的包含問(wèn)題，即觀測(cè)器的擴(kuò)展與收縮，離散時(shí)間情況下預(yù)估器和濾波器的包含問(wèn)題，以及作為狀態(tài)估計(jì)性能指標(biāo)的包含問(wèn)題，而且還考慮了動(dòng)態(tài)控制器在隨機(jī)情況下系統(tǒng)狀態(tài)反饋的包含問(wèn)題和輸出反饋的包含問(wèn)題。 在更為廣泛的意義上，本書(shū)還介紹了將系統(tǒng)中狀態(tài)、輸入和輸出的包含，推廣到以子系統(tǒng)作為系統(tǒng)重疊部分的子系統(tǒng)的包含（Chen，etal，2005，2007，2012）。實(shí)際上，如果在系統(tǒng)中的一個(gè)子系統(tǒng)與任意其他兩個(gè)以上的子系統(tǒng)互聯(lián)，這個(gè)子系統(tǒng)就可以被認(rèn)為是其本身分別與其他子系統(tǒng)組成的基本互聯(lián)子系統(tǒng)對(duì)的重疊部分。通過(guò)基于包含原理的多重疊分解方法，或稱為對(duì)對(duì)分解方法，將每一對(duì)基本互聯(lián)子系統(tǒng)分解。作為研究復(fù)雜系統(tǒng)和大系統(tǒng)的基本單元，基本互聯(lián)子系統(tǒng)可以揭示系統(tǒng)互聯(lián)結(jié)構(gòu)及其變化的本質(zhì)。這一概念的提出，特別有利于一類復(fù)雜系統(tǒng)，如群體系統(tǒng)的群聚與分散一致性的協(xié)調(diào)控制研究。 在應(yīng)用方面，本書(shū)的意義在于結(jié)合實(shí)例應(yīng)用闡述系統(tǒng)的包含原理。例如，以電力系統(tǒng)的自動(dòng)發(fā)電控制（automatic generation control，AGC）為例，通過(guò)兩區(qū)域或四區(qū)域重疊互聯(lián)電力系統(tǒng)的模型描述、系統(tǒng)分析與分散控制或協(xié)調(diào)控制的設(shè)計(jì)，揭示了系統(tǒng)包含原理應(yīng)用的方法。針對(duì)線性離散時(shí)變隨機(jī)情況下描述的重疊互聯(lián)電力系統(tǒng)，研究系統(tǒng)的最優(yōu)控制二次性能指標(biāo)的包含關(guān)系和系統(tǒng)最優(yōu)LQG控制器的收縮性，將包含原理作為設(shè)計(jì)重疊互聯(lián)電力系統(tǒng)AGC分散控制器的主要手段。我們知道，系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器和狀態(tài)反饋控制器具有對(duì)偶關(guān)系，系統(tǒng)包含的約束類條件和聚集類條件也具有對(duì)偶關(guān)系。因此，在不同類型的包含條件中，討論系統(tǒng)觀測(cè)器和控制器的設(shè)計(jì)，可以選擇在同一擴(kuò)展空間內(nèi)既有利于觀測(cè)器的收縮又有利于控制器收縮的包含條件的動(dòng)態(tài)控制器設(shè)計(jì)。更一般的情形是，具有系統(tǒng)狀態(tài)觀測(cè)和狀態(tài)反饋的閉環(huán)控制系統(tǒng)包含，包括了系統(tǒng)各個(gè)部分的包含情況。在此框架內(nèi)，可以利用閉環(huán)系統(tǒng)的包含條件，來(lái)獲得系統(tǒng)狀態(tài)、輸入和輸出的包含，系統(tǒng)觀測(cè)器、控制器以及性能指標(biāo)的包含。因此，充分利用閉環(huán)系統(tǒng)的擴(kuò)展性和收縮性，可以構(gòu)造具有重疊互聯(lián)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的重疊分散控制方法。同樣，自動(dòng)車組系統(tǒng)的重疊分散控制、空間系統(tǒng)降階模型的建立和群體系統(tǒng)一致性的協(xié)調(diào)控制，也都為系統(tǒng)的包含原理提供了應(yīng)用的范例。 1.2  系統(tǒng)包含的一個(gè)引例 為了便于理解系統(tǒng)的包含問(wèn)題，我們給出一個(gè)在狀態(tài)空間描述下，具有狀態(tài)、輸入和輸出包含的系統(tǒng)的包含問(wèn)題，說(shuō)明系統(tǒng)包含的擴(kuò)展、收縮、重疊和分解等概念。 ～  考慮一對(duì)線性連續(xù)時(shí)不變系統(tǒng)S和S，分別表示為 S ：x ?＝ Ax + Bu ，　y ＝ Cx  ～? ～ ～ S：x～＝ Ax ～+ Bu ～ ，　y ～＝ C ～ x ～ （1-1）其中，x（t）∈Rn ，u（t）∈Rm 和y（t）∈Rl 分別表示系統(tǒng)S在時(shí)間t∈R的狀態(tài)、輸入 ～～  ～～  和輸出向量；x～（t）∈Rn ，u ～（t）∈Rm ，y ～（t）∈Rl 分別為系統(tǒng)S在時(shí)間t∈R的狀態(tài)、輸入和輸出向量。 ～  ～～  系統(tǒng)的系數(shù)矩陣A，B，C和A，B，C具有適當(dāng)?shù)木S數(shù)。一般情況下，總有n≤ ～  n～，m ≤ m ～，l≤l。在初始時(shí)刻t0、初始狀態(tài)向量x0和確定的控制輸入u條件下，稱x（t；t0，x0，u）和y［x（t）］分別表示系統(tǒng)S狀態(tài)方程和輸出方程的唯一解；同樣，在初始時(shí)刻t0、初始狀態(tài)向量x～0和確定的控制輸入u ～ 條件下，稱x～（t；t0，x～0，u ～）和 ～  y ～［x ～（t）］分別是系統(tǒng)S狀態(tài)方程和輸出方程的唯一解。 ～  系統(tǒng)S和S系數(shù)矩陣之間具有如下關(guān)系，即 A～＝VAU+MA，　B～＝VBQ+MB，　C～＝TCU+MC（1-2）其中，MA，MB和MC是具有適當(dāng)維數(shù)的補(bǔ)償矩陣；V，U，R，Q，T和S分別是維數(shù)為 ～～  n ～× n ，n × n ～，m ～× m ，m × m ～，l×l和l×l的滿秩變換矩陣，且滿足UV＝In，QR＝Im和ST＝Il（In，Im和Il是具有下標(biāo)維數(shù)的單位矩陣）。 ～～  定義1-1　系統(tǒng)S包含系統(tǒng)S，即S車S，如果存在一組滿秩矩陣｛V，U，R，S｝，且滿足UV＝In，使得對(duì)于任意初始條件x0∈Rn 和任意輸入u ∈ Rm ，當(dāng)x～0＝ Vx0 和u～＝Ru時(shí)，對(duì)于所有的t≥t0，有x（t；t0，x0，u）＝Ux～（t；t0，x～0，～ u）和y［x（t）］＝Sy～ ［～ x（t）］。 ～～  定義1-1說(shuō)明如果系統(tǒng)S包含系統(tǒng)S，則S包含了S所有的性質(zhì)和信息，如系 ～～  統(tǒng)的穩(wěn)定性和最優(yōu)性能指標(biāo)等。我們稱系統(tǒng)S是系統(tǒng)S的一個(gè)擴(kuò)展，稱S是S的一個(gè)收縮，系統(tǒng)的擴(kuò)展和收縮滿足式（1-2）。式（1-2）所代表系統(tǒng)的包含關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的包含條件之一，如約束條件，可以由下述定理給出（Ikeda，etal，1986；Siljak，1991；Stankovic，etal，1999）。 ～  定理1-1　系統(tǒng)S是系統(tǒng)S的一個(gè)典型約束，存在一組滿秩矩陣（V，R，T），使得 VA ＝ A～V，VB＝B～R，TC＝C～V （1-3）  或 MAV＝0，MBR＝0，MCV＝0（1-4）  例1-1　考慮一個(gè)由兩個(gè)子系統(tǒng)S1和S2重疊互聯(lián)系統(tǒng)S的擴(kuò)展問(wèn)題。系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為 在系統(tǒng)方程（1-5）中，虛線劃分的向量xi（t）∈Rni ，ui（t）∈Rmi 和yi（t）∈ Rli ，i＝1，2，3分別組成了維數(shù)為n＝∑＝31 ni ，m ＝ ∑＝31 mi 和l ＝ i∑＝31 li 的系統(tǒng)S 的 狀態(tài)、輸入和輸出向量x（t）∈Rn ，u（t）i∈ Rm 和y （it）∈Rl ，其中x2（t），u2（t）和y2（t）分別是子系統(tǒng)S1和S2狀態(tài)、輸入和輸出向量的重疊部分；常系數(shù)矩陣中的虛線標(biāo)明了系統(tǒng)的重疊部分為子系統(tǒng)S1和S2所共有，各個(gè)子矩陣Aij，Bii和Cii具有適當(dāng)?shù)木S數(shù)。 通過(guò)定理1-1，我們可以將系統(tǒng)S擴(kuò)展為 ?  x1  ?  S～： x2  ?  x2  ?  x3  ＝ A11 A12 0  A13 x1  B11 0  0  0  u1   A21 A22 0  A23 x2  0  B22 0  0  u2   A21 0  A22 A23 x2  +  0  0  B22 0  u2   A31 0  A32 A33 x3  0  0  0  B33 u3    y3  y1C11 0  0  0   y2 0  C22 0  0   y2 ＝ 0  0  C22 0   0  0  0  C33   x1 x2  （1-6）  x2 x3  從式（1-6）中可以看到子系統(tǒng)S1和S2已近似解偶，或者說(shuō)我們可以從中獲得解偶的子系統(tǒng)，即 ?  Si ：? xi AiiAi，i+1 xi  Bii0 ui  ＝ + Ai+1，iAi+1，i+1 xi+1 ui+10Bi+1，i+1xi+1 Cii0 xi yi  ，i＝1，2（1-7）＝  0Ci+1，i+1 xi+1 yi+1 在擴(kuò)展過(guò)程中，我們選擇擴(kuò)展變換矩陣，即 V＝blockdiagIn1，In2 In2，In3 T ，U＝blockdiagIn1，12 In212 In2，In3 R＝blockdiagIm1，Im2 Im2，Im3 T ，Q＝blockdiagIm1，12 Im212 Im2，Im3 T＝blockdiagIl1，Il2 Il2，Il3 T ，S＝blockdiagIl1，12 Il212 Il2，Il3    （1-8） 特別的，選擇補(bǔ)償矩陣為 0A12-A1200A22-A220 MA ＝ 12  0-A22A2200-A32A320 00 00  0B22-B220 MB ＝ 12  0-B22B220 00 00 00 00  0C22-C220 （1-9） MC ＝ 12  0-C22C220 0000  例1-1是根據(jù)定理1-1，將系統(tǒng)S的重疊部分展開(kāi)并得到解偶的兩個(gè)子系統(tǒng)的過(guò)程，我們稱之為重疊分解。重疊分解以系統(tǒng)的包含原理為理論基礎(chǔ)，并將作為系統(tǒng)重疊分散控制的基本方法。

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《系統(tǒng)包含原理及其應(yīng)用》是以控制科學(xué)與工程及其相關(guān)學(xué)科攻讀碩士學(xué)位和博士學(xué)位的研究生為主要對(duì)象。同時(shí)，書(shū)中內(nèi)容也可為相關(guān)學(xué)科領(lǐng)域的學(xué)者、教師、研究人員和工程技術(shù)人員提供參考。

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