2010-數(shù)學(xué)所講座

內(nèi)容概要

　　中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所一批中青年學(xué)者發(fā)起組織了數(shù)學(xué)所講座，介紹現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容及其思想、方法，旨在開闊視野，增進(jìn)交流，提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)?！稊?shù)學(xué)所講座2010》根據(jù)2010年八個(gè)講座的講稿整理而成，內(nèi)容涉及數(shù)與形的關(guān)系、數(shù)和形的認(rèn)識、分析數(shù)學(xué)、數(shù)理邏輯、表示論、數(shù)學(xué)物理等?！　　稊?shù)學(xué)所講座2010》可供數(shù)學(xué)專業(yè)的高年級本科生、研究生、教師和科研人員閱讀參考，也可作為數(shù)學(xué)愛好者提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)的學(xué)習(xí)讀物。

書籍目錄

序前言1  數(shù)與形——一個(gè)說不盡的話題  1．1  引言  1．2  整數(shù)和圓周  1．3  自然數(shù)  1．4  扭結(jié)——圓周的變形  1．5  代數(shù)中的“連通性”  1．6  代數(shù)和子代數(shù)  1．7  代數(shù)中的分形維數(shù)2  形，從熟悉到陌生  2．1  一般介紹  2．2  齊次三元三次方程  2．3  齊次四元三次方程  2．4  從“形”到“數(shù)”  2．5  從“簡單”到“復(fù)雜”：Mordeu猜想的證明  參考文獻(xiàn)3  表示，隨處可見  3．1  表示論的大致劃分  3．2  表示的例子——一維的情形  3．3  模的語言  3．4  表示的例子——高維的情形  3．5  表示論的基本思想  3．6  表示論的基本問題  3．7  最基本的表示  3．8  不可約表示的分類  3．9  研究方法  3．10  歷史  3．11  結(jié)語  附記4  數(shù)，我們怎樣認(rèn)識她  4．1  引言  4．2  賦值  4．3   Ad6le環(huán)  4．4  數(shù)的代數(shù)  4．5  數(shù)的幾何  4．6  結(jié)語  參考文獻(xiàn)5  分析，長袖善舞  5．1  微分與極大值原理  5．2  積分與不等式  5．3  結(jié)語  參考文獻(xiàn)6  幾何中的分類問題一形與數(shù)  6．1  引言  6．2  歷史上的一些幾何分類問題  6．3  流形及其分類問題  6．4  結(jié)語  參考文獻(xiàn)7  形式與內(nèi)涵，萊布尼茲之夢  7．1  開篇：風(fēng)，始于青萍之末  7．2  萊布尼茲夢想篇：風(fēng)華少年覓新符  7．3  歷史發(fā)展篇：世紀(jì)知音釋舊夢  7．4  形式與內(nèi)涵篇：遂將形式賦內(nèi)涵  7．5  完備性定理篇：巧得完備冠系統(tǒng)  7．6  不完全性篇：橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同  7．7  非標(biāo)準(zhǔn)模型篇：不識廬山真面目，只緣身在此山中  7．8  結(jié)語：先賢著玄機(jī)，風(fēng)騷啟后人  參考文獻(xiàn)8  愛因斯坦場方程——黑洞從這里產(chǎn)生  8．1  牛頓力學(xué)  8．2  光學(xué)  8．3  電磁學(xué)  8．4  狹義相對論  8．5  廣義相對論  8．6  黑洞與奇點(diǎn)  8．7  宇宙加速膨脹  8．8  引力波  8．9  宇宙大爆炸  8．10  引力形變量子化參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁：   插圖：   作為人類純精神勞動(dòng)產(chǎn)物的數(shù)學(xué)，是衡量人類智慧的一把尺子。數(shù)學(xué)不僅是科學(xué)的語言，是智慧生命交流的手段，還是我們用來了解世界、分析世界的工具。雖然不同的民族有不同的語言，但我們的“科學(xué)語言”——數(shù)學(xué)是相通的。正是有賴于這種由符號和圖形構(gòu)筑的抽象語言，復(fù)雜的思想和紛繁的邏輯才得以更加清晰地被表述并流傳下來，這其中比較典型的例子是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽為早期發(fā)現(xiàn)的勾股定理創(chuàng)制的一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合的方法給出了勾股定理的詳細(xì)證明。 多年以后，畢達(dá)哥拉斯重新發(fā)現(xiàn)了中國的勾股定理，受該定理的啟發(fā)，他和他的學(xué)派發(fā)現(xiàn)了√2（即邊長為1的正方形的對角線的長度），并證明了√2是無理數(shù)。這一證明和趙爽的勾股定理的證明一樣簡潔而深刻，是數(shù)學(xué)中思辨及邏輯推理的起源。 數(shù)學(xué)的理論起源于人們對自然數(shù)1，2，3等抽象符號及其運(yùn)算法則所引發(fā)的邏輯思考。若用N表示全體自然數(shù)構(gòu)成的集合，其上的排序過程就自然地誘導(dǎo)了N上的“加法”運(yùn)算。之后，人們從實(shí)際需要出發(fā)，又引入了減法、乘法和除法等運(yùn)算，并逐步將自然數(shù)擴(kuò)充到了有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)等。當(dāng)然，數(shù)系的每一次擴(kuò)充都經(jīng)過了一個(gè)漫長的過程，而這其中往往夾雜了以幾何觀點(diǎn)對數(shù)字的重新審視（正如√2的發(fā)現(xiàn)一樣），此中緣由大概也是人們總是對看得見摸得著的東西——圖形更加偏愛吧。數(shù)與形的第一次系統(tǒng)結(jié)合是通過笛卡兒坐標(biāo)系建立起來的。笛卡兒把點(diǎn)和數(shù)對應(yīng)起來，數(shù)系則與線或平面相對應(yīng)，其中直線對應(yīng)實(shí)數(shù)系，平面代表復(fù)數(shù)系。甚至對于一般的函數(shù)y=f（x），我們都可以通過圖形來更為直觀地了解其性態(tài)，如何處增加，何處減少，何處達(dá)到極大值、極小值等。從此以后，數(shù)與形再也沒有分開過，它們的結(jié)合貫穿了數(shù)學(xué)發(fā)展的全過程。 數(shù)學(xué)因其抽象和嚴(yán)格，所以需要特殊的表達(dá)和演繹方式，集合論和公理化系統(tǒng)也就成為當(dāng)今人們普遍接受的一種數(shù)學(xué)表達(dá)。很多數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生完全源于數(shù)學(xué)家們的喜好和興趣，或是對數(shù)學(xué)自身“美”的追求。數(shù)學(xué)理論的大部分內(nèi)容，都是人類于近四百年中，在對一些類如Fermat大定理、哥德巴赫猜想等簡單問題的好奇心的驅(qū)使下發(fā)明或發(fā)現(xiàn)的。某些問題的答案是在問題提出多年以后，人們運(yùn)用了很多現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具和各數(shù)學(xué)分支的深刻聯(lián)系而獲得的。這種聯(lián)系就是“數(shù)”與“形”的有機(jī)結(jié)合，即如何在代數(shù)結(jié)構(gòu)中看到幾何，在幾何結(jié)構(gòu)中尋找代數(shù)不變量，而分析正是代數(shù)和幾何之間的一座橋梁。

編輯推薦

《數(shù)學(xué)所講座2010》將使我們對數(shù)學(xué)的有關(guān)領(lǐng)域有扼要的了解，對數(shù)學(xué)里的“真”與“美”有更多的感悟，提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)，促進(jìn)數(shù)學(xué)研究與人才培養(yǎng)工作。學(xué)術(shù)交流對促進(jìn)研究工作、培養(yǎng)人才有著十分重要的作用，尤其對以學(xué)者個(gè)人思維為主要研究方式的數(shù)學(xué)研究，作用更顯突出。國際上，學(xué)術(shù)水平很高、人才輩出的研究機(jī)構(gòu)與大學(xué)，也總是學(xué)術(shù)交流活動(dòng)十分活躍的地方?！稊?shù)學(xué)所講座2010》可供數(shù)學(xué)專業(yè)的高年級本科生、研究生、教師和科研人員閱讀參考，也可作為數(shù)學(xué)愛好者提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)的學(xué)習(xí)讀物。

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