重分形

內(nèi)容概要

重分形分析是20世紀(jì)80年代以來分形幾何最重要的成果，已成為分形幾何的核心課題之一，它廣泛應(yīng)用于動力系統(tǒng)、湍流、降雨量模型、地震和昆蟲數(shù)量的空間分布、金融時間序列模型及交通網(wǎng)絡(luò)模型。重分形：理論及應(yīng)用側(cè)重將重分形分析理論應(yīng)用于統(tǒng)計，特別是用統(tǒng)計學(xué)的觀點來估計分形維數(shù)是其他書所未涉及的獨到的貢獻(xiàn)。
重分形：理論及應(yīng)用第一部分介紹背景和重分形測度的不同定義，特別是用格覆蓋和點中心球覆蓋的兩種構(gòu)造。第二部分介紹大偏差下的重分形公式，主要討論通過大偏差理論得到上述兩種構(gòu)造的“重分形機(jī)制”。第三部分討論Rényi維數(shù)的估計、性質(zhì)及其應(yīng)用。獨特的是將偏差分為內(nèi)在與外在兩類形式，并通過理論及實例指出：內(nèi)在偏差由概率分布的內(nèi)在性質(zhì)引起，外在偏差由取樣與所采用的統(tǒng)計方法形成，從而給出了一些實用的方法與技巧。同時給出豐富的應(yīng)用實例，特別詳細(xì)討論了地震位置空間點模型。附錄部分概括介紹了各種維數(shù)的定義和大偏差理論。
這是一本將重分形理論應(yīng)用于統(tǒng)計的非常好的參考書?？晒?shù)學(xué)及相關(guān)專業(yè)高年級本科生、研究生及科研教學(xué)人員參考。

作者簡介

作者：（美國）戴維?哈特（David Harte） 譯者：華南理工大學(xué)分形課題組

書籍目錄

目錄中文版序前言符號表插圖列表第一部分 引言和預(yù)備知識第1章 動機(jī)和背景1.1 引言1.2 分形集和重分形測度1.3 動力系統(tǒng)1.4 湍流1.5 降雨量1.6 地震模型1.7 其他應(yīng)用1.8 重分形概念1.9 全書概述第2章 重分形公式2.1 引言2.2 廣義Rényi維數(shù)的發(fā)展歷史2.3 廣義Rényi格維數(shù)2.4 廣義Rényi點中心維數(shù)2.5 重分形譜和重分形公式2.6 格點情形的基本結(jié)論的復(fù)習(xí)2.7 點中心情形的結(jié)論的復(fù)習(xí)第3章 多項分布測度3.1 引言3.2 局部性態(tài)3.3 全局平均和Legendre變換3.4 分形維數(shù)3.5 點中心構(gòu)造第二部分 大偏差下的重分形公式第4章 基于格點的重分形4.1 引言4.2 大偏差公式4.3 均勻空間樣本測度4.4 樣本測度組成的族4.5 Hausdorff維數(shù)第5章 點中心情形的重分形5.1 引言5.2 大偏差體系5.3 一族樣本測度5.4 Hausdorff維數(shù)5.5 格構(gòu)造和點中心構(gòu)造之間的關(guān)系第6章 倍增級聯(lián)過程6.1 引言6.2 Moran級聯(lián)過程6.3 隨機(jī)級聯(lián)6.4 其他級聯(lián)過程第三部分 Rényi維數(shù)的估計第7章 q階點間距離和內(nèi)在偏差7.1 第三部分的引言7.2 邊界效應(yīng)7.3 邊界的重數(shù)7.4 FY(y)的分解7.5 可微分布第8章 點中心Rényi維數(shù)估計(q≥2)8.1 引言8.2 推廣的Grassberger-Procaccia運算法則8.3 Takens估計8.4 Hill估計8.5 自舉估計過程8.6 討論和例子第9章 偏差的外在來源9.1 引言9.2 強(qiáng)加的邊界的影響9.3 四舍五入的影響9.4 噪音的影響第10章 維數(shù)估計的應(yīng)用10.1 引言10.2 進(jìn)一步的估計和詮釋10.3 空間與時間點模式10.4 動力系統(tǒng)10.5 一個過程是隨機(jī)的,還是決定性的?10.6 具有冪律性質(zhì)的隨機(jī)過程第11章 地震分析11.1 引言11.2 數(shù)據(jù)來源11.3 引起偏差的影響11.4 結(jié)果11.5 結(jié)果的比較和結(jié)論第四部分 附錄附錄A 集合的性質(zhì)和維數(shù)A.1 自相似集A.2 Hausdorff維數(shù)A.3 盒維數(shù)A.4 Packing維數(shù)附錄B 大偏差B.1 導(dǎo)論B.2 Cramér定理B.3 G?rtner-Ellis定理參考文獻(xiàn)譯后記《現(xiàn)代數(shù)學(xué)譯叢》已出版書目插圖列表圖1.1 Cantor測度的構(gòu)造圖1.2 Cantor測度的特征圖1.3 ξ=ξ∞時的Logistic映射的尺度刻畫圖1.4 ξ=3.569945672時的Logistic映射圖1.5 Lorenz吸引子圖1.6 Wellington地震深度截面圖1.7 Wellington地震震中:淺事件圖1.8 Wellington地震震中:深事件圖3.1 b=10時,多項分布測度的θ(q)圖3.2 Cantor測度:?(y)的Legendre變換圖3.3 Cantor測度:函數(shù)yq圖3.4 Cantor測度:θ(q)的Legendre變換圖6.1 Moran分形集圖6.2 對數(shù)-正態(tài)級聯(lián)的重分形譜圖7.1 當(dāng)q=2時,正規(guī)分布的關(guān)聯(lián)積分圖7.2 當(dāng)q=2時,一致分布的關(guān)聯(lián)積分圖7.3 預(yù)Cantor測度的關(guān)聯(lián)積分圖7.4 Cantor測度的關(guān)聯(lián)積分圖7.5 p0=0.5時,Cantor測度對應(yīng)的Ф(y)圖8.1 p0=0.5時,Cantor測度的D2變化圖8.2 一致分布的D2估計圖8.3 p0=0.5時,Cantor測度的D2估計圖8.4 p0=0.2時,Cantor測度的D2估計圖8.5 p0=0.5時,Cantor測度的維數(shù)估計圖8.6 p0=0.2時,Cantor測度的維數(shù)估計圖9.1 一致隨機(jī)變量:邊界的影響(Hill估計)圖9.2 一致隨機(jī)變量:四舍五入的影響(D2的Hill估計)圖9.3 Cantor測度加白噪聲(D2的Hill估計)圖10.1 有或沒有間隔的多項分布測度圖10.2 當(dāng)p0=0.2時,Cantor測度的θ(q)的估計圖10.3 當(dāng)p0=0.2時,Cantor測度的?(y)的估計圖10.4 模擬Moran級聯(lián)過程圖10.5 對模擬Moran級聯(lián)過程的D2的估計圖10.6 α=β時,Beta分布的維數(shù)估計圖10.7 當(dāng)ξ逼近ξ∞時,對Logistic映射的D2估計圖10.8 當(dāng)ξ=3.569945672時,對Logistic映射的維數(shù)估計圖10.9 Lorenz吸引子的維數(shù)估計圖10.10 Lorenz吸引子:各種延遲長度圖10.11 Lorenz吸引子:平均相互信息圖10.12 Lorenz吸引子的嵌入的D2估計圖10.13 白噪聲的嵌入的D2估計圖10.14 分式Brown運動圖10.15 2維分式Brown運動的路徑圖11.1 關(guān)東地震震中:深地震(經(jīng)度和緯度)圖11.2 關(guān)東地震震中:中等深度地震(經(jīng)度和緯度)圖11.3 關(guān)東地震震中:淺地震(經(jīng)度和緯度)圖11.4 關(guān)東地震深度的截面圖11.5 惠靈頓維數(shù)估計:淺地震(平均點間距和Hill估計)圖11.6 惠靈頓維數(shù)估計:深地震(平均點間距和Hill估計)圖11.7 關(guān)東維數(shù)估計:淺地震(平均點間距和Hill估計)圖11.8 關(guān)東維數(shù)估計:中等深度地震(平均點間距和Hill估計)圖11.9 關(guān)東維數(shù)估計:深地震(平均點間距和Hill估計)

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁：   插圖：   為重分形理論發(fā)展提供物理直觀的一個主要領(lǐng)域是關(guān)于湍流中能量耗散的描述，F(xiàn)alconer（1990，518.3）提供了一個水從水龍頭平滑地或慢慢地流出的例子。隨著水流量的增加，水流變得混亂和不規(guī)則，伴隨有不同尺度的、速度變換的漩渦，級聯(lián)模型基于動能在一個大的尺度上引入系統(tǒng)（例如，暴風(fēng)雪、攪拌一碗水），但是在小尺度上只能以熱的形式耗散。在小尺度上，黏性的作用、粒子間的摩擦力變得重要了，這些模型都假設(shè)能量通過一系列減小的漩渦所耗散，直到它充分小到能以熱的形式耗散。 Monin和Yaglom（1971）給出了關(guān)于一個很好的湍流理論發(fā)展的歷史介紹，下面很多內(nèi)容都曾在該書中出現(xiàn)。湍流理論起源于19世紀(jì)末期Reynolds的工作，Reynolds數(shù)定義為R=UL／v，其中v和L分別刻畫流中的速度和長度，v是流體的動力黏性。因此，R是流體中作用的慣性力和粘滯力的比值，慣性力使能量從大尺度分量轉(zhuǎn)移到小尺度分量（多相性），而粘滯力可以磨光小尺度的多相性，因此R值充分小的流將是薄片狀的，充分大的可能是湍流，在20世紀(jì)20年代，Richardson發(fā)展了一種定性的結(jié)果，他假設(shè)發(fā)展的湍流由許多不同階的漩渦組成（也就是紊亂性或多相性）。由于更大漩渦穩(wěn)定性的缺失，漩渦產(chǎn)生了，相應(yīng)地，也失去它們的穩(wěn)定性，生成更小的漩渦，在這一過程中，它們的能量被轉(zhuǎn)移，因此形成一個級聯(lián)型的過程，一旦尺度變到充分小，則R充分小，因此就有了很薄的流，過程中動能轉(zhuǎn)化為熱能。 20世紀(jì)30年代，Taylor引入齊次和各向同性湍流的概念，即滿足下述條件：有限空間一時間點上的流體力學(xué)量的所有有限維概率分布在任何正交變換下是不變的。但在實數(shù)情形，齊性和各向同性的假設(shè)不能滿足（例如邊界條件），它們對Reynolds數(shù)充分高的小尺度情形時的性質(zhì)提供了一個有用的描述。

編輯推薦

《重分形:理論及應(yīng)用》只是針對統(tǒng)計學(xué)家的事實上，從統(tǒng)計學(xué)的觀點來估計分形維數(shù)是其他書所未涉及的我嘗試著把偏差的形式分為兩類：內(nèi)在的和外在的，并描述了它們對維數(shù)估計的影響內(nèi)在偏差是由概率分布的內(nèi)在性質(zhì)引起的，而外在偏差是指由取樣和其他方法性的困難所形成的特征，將通過己知的數(shù)學(xué)和統(tǒng)計模型給出這些偏差的例子?！吨胤中?理論及應(yīng)用》是一本將重分形理論應(yīng)用于統(tǒng)計的非常好的參考書，可供數(shù)學(xué)及相關(guān)專業(yè)高年級本科生、研究生及科研教學(xué)人員參考。

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