醫(yī)用高等數(shù)學(xué)

內(nèi)容概要

本教材包含一元函數(shù)微積分、多元函數(shù)微積分、概率論基礎(chǔ)、線性代數(shù)初步等幾個(gè)部分。一元函數(shù)微積分部分以極限、連續(xù)、微分、積分為主線展開(kāi)討論，（常）微分方程本質(zhì)上也是一元函數(shù)的積分；多元函數(shù)微積分部分在簡(jiǎn)單介紹空間解析幾何知識(shí)的基礎(chǔ)上，以二元函數(shù)為對(duì)象，介紹極限與連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)與全微分、極值、二重積分等知識(shí)；概率論部分，在介紹了事件與概率等基本概念之后，以古典概型為基礎(chǔ)，講述概率的加法與乘法公式，進(jìn)而討論了常見(jiàn)隨機(jī)變量的概率分布及其數(shù)字特征；線性代數(shù)部分，主要講述行列式的性質(zhì)與運(yùn)算、矩陣的初等變換、線性方程組的解等內(nèi)容。
本教材可供基礎(chǔ)、臨床、預(yù)防、口腔等醫(yī)學(xué)類專業(yè)及藥學(xué)各專業(yè)使用，也可供相關(guān)教學(xué)及研究人員參考。

作者簡(jiǎn)介

熊安明、葛琳、劉智、劉濤、洪俊田

書(shū)籍目錄

第一章 函數(shù)與極限第一節(jié) 函數(shù)第二節(jié) 極限第三節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性習(xí)題一第二章 導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念第二節(jié) 函數(shù)的求導(dǎo)法則第三節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)第四節(jié) 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第五節(jié) 微分習(xí)題二第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié) 微分中值定理 洛必達(dá)法則第二節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與極值第三節(jié) 函數(shù)曲線的凹凸性與拐點(diǎn)第四節(jié) 函數(shù)圖形的描繪習(xí)題三第四章 不定積分第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)第二節(jié) 換元積分法第三節(jié) 分部積分法第四節(jié) 有理函數(shù)的積分習(xí)題四第五章 定積分的概念與性質(zhì)第一節(jié) 定積分的概念和性質(zhì)第二節(jié) 微積分基本公式第三節(jié) 定積分的換元積分法和分部積分法第四節(jié) 定積分的應(yīng)用第五節(jié) 反常積分習(xí)題五第六章 微分方程基礎(chǔ)第一節(jié) 微分方程的基本概念第二節(jié) 一階微分方程第三節(jié) 可降階的高階微分方程第四節(jié) 二階常系數(shù)線性齊次微分方程第五節(jié) 微分方程在醫(yī)學(xué)上的應(yīng)用習(xí)題六第七章 多元函數(shù)微積分第一節(jié) 極限與連續(xù)第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)與全微分第三節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)第四節(jié) 多元函數(shù)的極值第五節(jié) 二重積分習(xí)題七第八章 概率論基礎(chǔ)第一節(jié) 隨機(jī)事件與概率第二節(jié) 概率基本公式第三節(jié) 隨機(jī)變量及其概率分布第四節(jié) 隨機(jī)變量的數(shù)字特征習(xí)題八第九章 線性代數(shù)初步第一節(jié) 行列式第二節(jié) 矩陣第三節(jié) 矩陣的初等變換第四節(jié) 線性方程組解的結(jié)構(gòu)第五節(jié) 特征值與特征向量習(xí)題九習(xí)題參考答案附錄1 泊松分布P(ξ=m)=λm/m!e-λ的數(shù)值表附錄2 正態(tài)分布函數(shù)Φ(x)=1/2π∫x-∞e-t2/2dt的數(shù)值表

章節(jié)摘錄

第一章 函數(shù)與極限函數(shù)描述變量之間的關(guān)系，它是對(duì)運(yùn)動(dòng)變化的客觀事物間數(shù)量關(guān)系的抽象概括．極限刻畫(huà)變量的變化趨勢(shì)，采用極限方法研究函數(shù)是高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的本質(zhì)區(qū)別．本章主要內(nèi)容包括函數(shù)、極限和函數(shù)連續(xù)性等基本概念，以及它們的主要性質(zhì)．第一節(jié)  函　  數(shù)一、函數(shù)的概念1．常量與變量在某一變化過(guò)程中可能會(huì)遇到各種不同的量，其中有的量始終保持同一數(shù)值，稱為常量；有的量可以取不同的數(shù)值，稱為變量．一個(gè)量是常量還是變量是相對(duì)的，即它取決于具體的變化過(guò)程．例如，重力加速度這個(gè)物理量，如果研究的是某地自由落體的運(yùn)動(dòng)屬性，則視它為常量；如果研究的是這個(gè)物理量本身（與地球位置的關(guān)系），則視它為變量．2．函數(shù)的概念設(shè)x，y是同一變化過(guò)程中的兩個(gè)變量，如果對(duì)于變量x的每一個(gè)允許的取值，按照一定的規(guī)律，變量y總有一個(gè)確定的值與之對(duì)應(yīng)，則稱y為x的函數(shù)．記為y＝f（x）．變量x稱為自變量，變量y稱為因變量．自變量x允許值的集合稱為函數(shù)的定義域，如果x0是函數(shù)定義域中的一點(diǎn)，也說(shuō)成函數(shù)f（x）在x0有定義，且把它對(duì)應(yīng)的因變量的值稱為函數(shù)值，記為f（x0）或y|x＝x0，即y|x＝x0＝f（x0），所有函數(shù)值的集合稱為函數(shù)的值域．對(duì)應(yīng)法則和定義域是函數(shù)概念中的兩大要素，只有當(dāng)二者完全相同時(shí)才認(rèn)為兩個(gè)函數(shù)是相同的函數(shù)．根據(jù)具體的情況，對(duì)應(yīng)法則即函數(shù)關(guān)系，可以使用解析式、圖像、表格等表示．二、初等函數(shù)  分段函數(shù)1．基本初等函數(shù)冪函數(shù) y＝xa （a∈R）；指數(shù)函數(shù)　  y＝ax （a＞0，a≠1）；對(duì)數(shù)函數(shù)　  y＝logax（a＞0，a≠1）；三角函數(shù)　  y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx，y＝cotx等；反三角函數(shù)  y＝arcsinx，y＝arccosx，y＝arctanx，y＝arccotx等．這五種基本初等函數(shù)再加上常數(shù)函數(shù)y＝C（C為常數(shù)）統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)．2． 復(fù)合函數(shù)設(shè)y＝f（u）是變量u的基本初等函數(shù)，而u＝φ（x）是變量x的基本初等函數(shù)，如果變量x取某些值時(shí)，相應(yīng)地u使y有定義，則稱y是x的復(fù)合函數(shù)，記為y＝f［φ（x）］．變量u稱為中間變量．例1  設(shè)y＝lgu，u＝arccosv，v＝x+1，寫(xiě)出y關(guān)于x的復(fù)合函數(shù)．解  通過(guò)對(duì)u，v依次進(jìn)行變量代換知，y關(guān)于x的復(fù)合函數(shù)是y＝lgarccos（x+1），其定義域?yàn)椋?2，0）．例2  設(shè)f（x）＝x2 ，  g（x）＝x 1+1 ，試求f［f（x）］，f［g（x）］，g［f（x）］，g［g（x）］．解  f［f（x）］＝［f（x）］2 ＝ x4；f［g（x）］＝［g（x）］2 ＝ x 1+1 2；g［f（x）］＝1+1 f （x）＝ x21+1 ；1 x +1 g［g （x）］＝g（x）+1＝ x +2 ． 注意：如果兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的定義域?yàn)榭占?，則此復(fù)合函數(shù)無(wú)意義（或稱它們不能復(fù)合）．例如，y＝lnu，u＝sinx-1，因任意x都使得u＝sinx-1≤0，lnu無(wú)意義，它們不能復(fù)合．例3  將下列復(fù)合函數(shù)分解為簡(jiǎn)單函數(shù)．（1）y＝lnsin（x2 -1）；（2）y＝asin（bx+c）+1+ b eax ．解  （1）函數(shù)由y＝lnu，u＝sinv，v＝x2 -1復(fù)合而成，由sinv＞0知，2kπ＜x2 -1＜（2k+1）π，即2kπ+1＜x＜（2k+1）π+1，  （k＝0，1，2，3，.）．（2）整體上不是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，它是y＝y(tǒng)1+y2兩個(gè)復(fù)合函數(shù)的和．函數(shù)y1＝asin（bx+c），由y1＝asinu1，u1＝bx+c復(fù)合而成．函數(shù)y2＝1+ b eax ，由y2＝ub 2，u2＝1+ev ，v ＝ ax 復(fù)合而成．3． 初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算或復(fù)合所得到的僅用一個(gè)解析式表達(dá)的函數(shù)，稱為初等函數(shù)．例如，y＝x3+ ln x +x2+1，y＝xtanx+sin（ex + 1） 等都是初等函數(shù)．4．分段函數(shù)有些函數(shù)，自變量x在定義域的不同區(qū)間段內(nèi)取值時(shí)，需要用到不同的解析式，這種需要由幾個(gè)初等函數(shù)才能表達(dá)的函數(shù)稱為分段函數(shù)．例如，絕對(duì)值函數(shù)xx≥0，y ＝ | x| ＝-xx＜0；符號(hào)函數(shù)1 x ＞ 0， y ＝ sgn x ＝0x＝0，-1x＜0；它們都不能用一個(gè)解析式描述．分段函數(shù)一般不屬于初等函數(shù)．求值時(shí)要注意根據(jù)自變量的值選擇相應(yīng)的解析式．例4  設(shè)函數(shù)|sinx||x|＜π，3φ（x）＝0 | x| ≥ π．3求φ 6π ，φ -4π ，φ（-2）．1sin π解  φ6π＝＝；62π2sin -π＝；φ-4 ＝42φ（-2）＝0．三、函數(shù)的幾種特性1． 有界性設(shè)I是函數(shù)f（x）的某個(gè)定義區(qū)間，如果存在一個(gè)正數(shù)M，使對(duì)所有的x∈I，恒有|f（x）|≤M，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I內(nèi)有界，否則稱函數(shù)f（x）在I內(nèi)無(wú)界（注：定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間）．例如，tanx在-4π ，+ 4π 內(nèi)有界，但在-2π ，+ 2π 內(nèi)無(wú)界．2． 單調(diào)性設(shè)x1，x2是函數(shù)f（x）的某定義區(qū)間（a，b）內(nèi)的任意兩點(diǎn)，且x1＜x2．若f（x1）＜f（x2），則稱f（x）在（a，b）內(nèi)是單調(diào)遞增的；若f（x1）＞f（x2），則稱f（x）在（a2，xb）內(nèi)是單調(diào)遞減的．2例如，在（-∞，+∞）內(nèi)是單調(diào)遞增的；x在（-∞，0）內(nèi)是單調(diào)遞減的，在（0，+∞）內(nèi)是單調(diào)遞增的．3． 奇偶性設(shè)函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，如果f（-x）＝f（x）恒成立，則稱f（x）為偶函數(shù)；如果f（-x）＝-f（x）恒成立，則稱f（x）為奇函數(shù)．奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱．例如，x2-x4 ，2x +2-x ，cosx都是偶函數(shù)；x3-x5 ，2x -2 -x ，sinx都是奇函數(shù)；但x3-x4 ，2x + x2，arccosx都是非奇非偶函數(shù)．4． 周期性設(shè)x是函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意一點(diǎn)，如果存在一個(gè)正數(shù)l，使得f（x+l）也有定義，且等式f（x+l）＝f（x）恒成立，則稱f（x）為周期函數(shù)，滿足這個(gè)等式的最小正數(shù)l稱為函數(shù)的最小正周期．例如，sinx，cos2x都是周期函數(shù)，它們的最小正周期為2π，π．注意：有界性與單調(diào)性是函數(shù)的局部特性，而奇偶性與周期性是其整體特性．思考與討論1．下面各組函數(shù)是否為相同的函數(shù)，為什么？（1）f（x）＝lgx2，g（x）＝2lgx；（2）f（x）＝1，g（x）＝sec2 x-tan2 x ；（3）f（x）＝eln x ，g（x）＝x；（4）f（x）＝arcsinx，g（x）＝π-arccosx．22．下列函數(shù)哪些是奇函數(shù)？哪些是偶函數(shù)？哪些是非奇非偶函數(shù)？（1）f（x）＝arctan（sinx）；（2）f（x）＝lg2 x ；（3）f（x）＝lncosx．3．下列函數(shù)哪些是周期函數(shù)，對(duì)于周期函數(shù)，指出其周期．（1）y＝arctan（tanx）；（2）y＝xcosx；（3）y＝sin1 ；（4）y＝sin2 x ．x第二節(jié)  極　  限一、極限的概念實(shí)際問(wèn)題會(huì)出現(xiàn)這種情況：函數(shù)在某點(diǎn)不一定有定義，但自變量無(wú)限靠近該點(diǎn)時(shí)，函數(shù)的變化趨勢(shì)卻存在一定規(guī)律性，這種函數(shù)變化趨勢(shì)的問(wèn)題，就是極限概念所要描述和解答的問(wèn)題．對(duì)于函數(shù)y＝f（x），自變量x的變化趨勢(shì)包括其絕對(duì)值無(wú)限增大（記為x→∞）和其值無(wú)限靠近某個(gè)常數(shù)（記為x→x0）兩種情形，下面分別討論這兩種情況下函數(shù)y＝f（x）的變化趨勢(shì)．并且討論數(shù)列｛an｝當(dāng)n趨向正無(wú)窮大（n→∞）時(shí)，an的變化趨勢(shì)．1．x →∞ 時(shí)函數(shù)的極限考察函數(shù)f（x）＝1 x 當(dāng)x→∞時(shí)的變化趨勢(shì)，如下表．x±1±10±100±1000±10000±100000.→∞±1±0．1±0．01±0．001±0．0001±0．00001.→0f（x）可以看出，當(dāng)|x|無(wú)限增大（即x→±∞）時(shí)，函數(shù)f（x）＝1 x 無(wú)限趨向0．如圖11，觀察｜x｜無(wú)限增大時(shí)曲線的走向，也說(shuō)明了這點(diǎn)．定義1  設(shè)函數(shù)f（x）當(dāng)｜x｜大于某一正數(shù)時(shí)有定義，如果｜x｜無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)f（x）無(wú)限趨向某一常數(shù)A，就稱當(dāng)x趨向無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)f（x）以A為極限（或收斂于A），記為lim f（x）＝A  或  f（x）→A（x→∞）．x →∞上述變化趨勢(shì)用極限表示就是lim 1 ＝0．如果|x|無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)x →∞ xf（x）不趨向某個(gè)常數(shù)，就稱x→∞時(shí)，f（x）的極限不存在（或稱發(fā)散）．極限不存在通常有兩種情形：一是函數(shù)值在某個(gè)范圍內(nèi)波動(dòng)，如函數(shù)y＝sin x，當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)值在-1與+1之間波動(dòng)；一是函數(shù)值趨向無(wú)窮大，如函數(shù)y＝x2，當(dāng)x→∞時(shí)，y無(wú)限增大．這種情況我們通常記為lim x2＝∞  或  x2 →∞（x→∞）．x →∞｜x｜無(wú)限增大即x→∞，包含x→±∞兩種情形，某些函數(shù)不可以籠統(tǒng)地討論．例如，觀察函數(shù)arctan x的變化情況，我們發(fā)現(xiàn)lim arctan x ＝ π，  lim arctan x＝-π ．x →+ ∞ 2 x →-∞ 2僅當(dāng)自變量x沿x軸正方向無(wú)限增大（或沿x軸負(fù)方向絕對(duì)值無(wú)限增大）時(shí)，函數(shù)f（x）無(wú)限趨向某常數(shù)A，則稱A為函數(shù)f（x）的單側(cè)極限，……

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