大學數(shù)學

前言

　　本書第二版主要是考慮到目前國內(nèi)非數(shù)學專業(yè)的大學數(shù)學課程中，各校有關(guān)“代數(shù)與幾何”的課時相差較大，為了便于使用本教材的教師合理地取舍教材內(nèi)容進行教學，我們把教材內(nèi)容線性代數(shù)與空間解析幾何部分分為三個檔次：第一檔次是不打*的節(jié)，這是教學的基本要求，其中有些用小字排印的內(nèi)容可以不作為基本要求，例如，分塊矩陣的初等變換，正交矩陣中的Q—R分解，Hadamard不等式等；第二檔次是用大字排印的打*的節(jié)，例如，2．6子空間的交與和，直和，2．9正交子空間，正交補；第三檔次是用小字排印的打*的節(jié)，例如，7．2二次曲線一般方程化為標準方程及其分類，8．4二次曲面的分類，7．7中的雙線性函數(shù)，1. 4中的序關(guān)系，偏序集，全序集，但其中的第二數(shù)學歸納法原理應作為教學基本要求，讓學生有所了解并會用．這三個檔次中的第二、三檔次對課時少的學校都可以不作為教學的基本要求，僅供學有余力且有興趣的學生課外自己閱讀?！　∨c第一版相比，我們對1．10基本代數(shù)結(jié)構(gòu)——群、環(huán)、域的基本概念作了較大的修改，去掉了較多內(nèi)容，只保留了最基本的概念，其中有些例子也用了小字．另外，增加了n階行列式的幾何意義(用小字排印，可不作基本要求)。 　　與第一版相比，還有一個較大的變化是把多元微積分中的微分幾何的基礎知識——“空間曲線與空間曲面”安排為本書的第9章，主要的考慮是把大學數(shù)學中有關(guān)幾何幾門課(空間解析幾何，微分幾何，射影幾何，非歐幾何)的內(nèi)容都集中在一起，以便于更好地安排教學。 　　本書第1～8章由居余馬修訂，第9章由蕭樹鐵編寫并修訂，第10～11章由蕭樹鐵、李海中修訂．書稿最后由主編蕭樹鐵教授審定。 　　編者于清華園 　　二OO二年十二月 　　多年來，我國高校非數(shù)學專業(yè)的數(shù)學基礎課只有微積分以及為之服務的一點解析幾何．80年代開始，由于計算機解題的需要，一些學校陸續(xù)增加了“線性代數(shù)”課．它的內(nèi)容主要是行列式、線性方程組和矩陣運算．而對于線性代數(shù)的核心內(nèi)容——線性空間及其上的線性映射則涉及很少．面對21世紀培養(yǎng)高素質(zhì)人才的需要，這種數(shù)學基礎課的結(jié)構(gòu)是難以適應的．建立一個以微積分、代數(shù)、幾何和隨機數(shù)學為基本內(nèi)容的數(shù)學基礎課新體系的任務隨著新世紀的來臨就顯得急迫了．教育部為此從1995年起就開始立項研究．本書就是在此背景下進行的一個嘗試。 　　這本教材包含了代數(shù)和幾何兩部分．關(guān)于其內(nèi)容，有以下幾點考慮： 　　一、關(guān)于代數(shù)與幾何內(nèi)容的整體安排 　　把代數(shù)與幾何合寫成一本教材．這種做法可能會削弱幾何的訓練，但也可使代數(shù)與幾何更好地結(jié)合，互相滲透，互相促進．代數(shù)為研究幾何問題提供有效的方法；幾何為抽象的代數(shù)結(jié)構(gòu)和方法提供形象的幾何模型和背景，基于這樣的考慮，本書大致分為四個部分?！　〉谝徊糠质堑谝徽轮嘘U述的基礎知識——集合、關(guān)系、運算與映射及代數(shù)結(jié)構(gòu)的基本概念．其重點是關(guān)系和運算，特別要讓學生了解運算的對象是多種多樣的，而不是局限于數(shù)的運算．這里討論了：映射(是一種一元運算)的一般概念；集合運算；命題運算；幾何向量的運算；n元向量的線性運算及高斯消元法中的矩陣初等行運算．它們不僅拓寬了學生對“運算”概念的認識，而且也啟發(fā)學生以后在探索新問題時要善于把實際問題變?yōu)閿?shù)學問題；同時也是學習本書必備的基礎．關(guān)于群、環(huán)、域，重點是群的概念，這里主要是讓學生初步了解從數(shù)學結(jié)構(gòu)上區(qū)分各種數(shù)學問題的異同，知道近世代數(shù)主要是討論各種代數(shù)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)． 　　第二部分是由第二章至第五章所闡述的線性代數(shù)的基本內(nèi)容——線性空間與內(nèi)積空間、線性映射、矩陣和行列式。 　　第三部分是由第六章至第八章所組成，它們是線性代數(shù)與幾何相結(jié)合的內(nèi)容：線性方程組的解的理論與線性圖形(平面與空間直線)的位置關(guān)系和度量關(guān)系；特征值與特征向量、正交變換、二次型與二次曲線、二次曲面的不變量及其分類。 　　第四部分是由第九章與第十章所介紹的“仿射與射影幾何”及“非歐幾何”的兩個初等模型。 　　二、關(guān)于線性代數(shù)的內(nèi)容和體系 　　線性代數(shù)的內(nèi)容大致可分為兩部分：一部分是以算法為主的求解線性方程組和矩陣運算(包括特征值與特征向量、矩陣的三種標準形及二次型)．另一部分則主要是研究線性空間和內(nèi)積空間的結(jié)構(gòu)，以及有限維線性空間上的線性映射．由于后者是前者的理論框架，是線性代數(shù)的核心內(nèi)容，而且它也是近代數(shù)學普遍使用的基本語言．為使學生較全面深入地掌握和理解線性代數(shù)，提高學習現(xiàn)代數(shù)學新知識的能力，我們認為必須加強線性空間和線性映射的教學，除了增加必要的課時，還要突出它們的核心地位．為此，我們沒有采用國內(nèi)現(xiàn)行線性代數(shù)教材的傳統(tǒng)模式，而是直接從討論線性空間的結(jié)構(gòu)和研究線性映射入手，展開線性代數(shù)的內(nèi)容．通過有限維線性空間的線性映射的數(shù)值表示，建立了線性映射與矩陣的對應關(guān)系，從而矩陣的基本運算的定義也由相應的線性映射的運算所確定；至于線性方程組的求解問題也對應于已知線性映射的像求完全原像(或核)的問題；矩陣的相似標準形問題也就是從線性映射在不同基下對應的矩陣構(gòu)成的等價類中找一個最簡單的代表元的問題．如此，線性空間和線性映射的概念就貫穿始終，起到了統(tǒng)領(lǐng)全局的核心作用．當然這樣的課程體系，初學者在開始學習時會有些困難，感到抽象和不容易理解，但是只要教學得法，按照“從特殊到一般，從具體到抽象”的原則，從具體的模型、背景和實例抽象為一般的概念，學生還是不難接受的．學完整個課程，學生最終會較好和較深入地掌握線性代數(shù)的內(nèi)容，能熟練使用線性空間和線性映射的語言，特別是一開始就接觸公理化的定義和方法，對學生以后自學現(xiàn)代數(shù)學新知識是大有裨益的． 　　此外，我們在第六至第八章中還盡量把代數(shù)與幾何有機地結(jié)合起來，例如，特征值的概念是由二次曲線在正交變換下的不變量引出來的，然后再利用特征值與特征向量的概念研究一般的二次型，把二次曲面的一般方程化為標準方程，并對二次曲面作正交分類。 　　關(guān)于行列式，我們也采用了公理化的定義，也就是把n階行列式定義為n重反對稱線性函數(shù)，這樣定義不僅方便快捷，而且與全書的風格協(xié)調(diào)，同時證明行列式的一些重要性質(zhì)(如：detA=detAT、行列式按一列(行)的展開定理、｜AB｜=｜A｜｜B｜等)時，充分利用了矩陣的工具，使證明更為簡明。 　　三、關(guān)于幾何，除上述內(nèi)容外我們還選擇了“仿射與射影幾何”、“非歐幾何簡介”．目的是加深讀者對“形”的理解和認識。 　　在仿射幾何中，研究了仿射變換下的不變性質(zhì)(如共線性、平行性)和不變量(如簡單比)，對二次曲線作了更簡單的仿射分類?！　　　≡谏溆皫缀沃校覀儼褮W氏(仿射)平面擴大為射影平面，引進齊次坐標來研究射影平面上的幾何問題，研究了對偶原理和射影變換下的不變量(交比)，并對二次曲線作了射影分類． 　　在非歐幾何簡介中，我們介紹了非歐幾何中兩個典型的模型．橢圓幾何的球面模型和雙曲幾何的龐加萊模型．它們除了有重要的應用價值外，還希望能通過對這種人類重要文化遺產(chǎn)的認識，培養(yǎng)學生的理性和審美意識。 　　使用本教材所需課時大約在80左右，如果課時少，可根據(jù)實際情況適當取舍內(nèi)容。 　　本教材的編寫工作是在蕭樹鐵教授領(lǐng)導下進行的，第1～8章由居余馬、第10～11章由李海中編寫，書稿最后經(jīng)蕭教授審定，高教出版社胡乃同同志對本書的出版作了認真仔細的編輯工作，對此我們深表感射。 　　更新非數(shù)學專業(yè)的數(shù)學基礎課的課程體系和教學內(nèi)容的工作是十分艱巨的，在代數(shù)部分我們雖然已經(jīng)歷了九年的教學實踐，但探索仍是初步的，缺陷和不妥之處在所難免，懇請同行專家和讀者賜教和指正。 　　編者于清華園 　　一九九九年九月  

內(nèi)容概要

　　《大學數(shù)學（代數(shù)與幾何）》是教育部“十五”國家級規(guī)劃教材，是高等教育出版社2000年版“大學數(shù)學”系列教材的第二版。與第一版相比，本書第二版保持了原有的風格和基本內(nèi)容。適當精簡了代數(shù)的內(nèi)容，增加了“行列式的幾何意義”；幾何部分則增加了“微分幾何”的基本內(nèi)容。 

書籍目錄

第1章 集合關(guān)系運算結(jié)構(gòu) 1．1 集合子集冪集直積 1．2 二元關(guān)系及其性質(zhì) 1．3 等價關(guān)系等價類商集 1．4 序關(guān)系偏序集全序集數(shù)學歸納法原理 1．5 運算與映射 1．6 命題運算量詞 1．7 幾何向量的運算空間直角坐標系 1．8 n元向量的線性運算高斯消元法 1．9 平面方程與空間直線方程 1．10 基本代數(shù)結(jié)構(gòu)——群、環(huán)、域的基本概念 習題 第2章 線性空間內(nèi)積空間 2．1 線性空間的定義及其簡單性質(zhì) 2．2 線性子空間 2．3 線性相關(guān)性 2．4 有限維線性空間的基和維數(shù)向量組的秩 2．5 向量的坐標 2．6 子空間的交與和直和 2．7 內(nèi)積空間 . 2．8 歐氏空間的單位正交基 2．9 正交子空間正交補 附錄 雙重連加號∑∑連乘號ii 習題 第3章 線性映射 3．1 線性映射的定義及例 3．2 線性映射的像和核 3．3 線性映射的運算空間l(v1，v2) 3．4 有限維線性空間的線性映射線性映射的秩 3．5 線性空間的同構(gòu) 習題 第4章 矩陣 4．1 矩陣的定義 4．2 線性映射的矩陣表示 4．3 矩陣的加法與數(shù)量乘法 4．4 矩陣的乘法 4．5 可逆矩陣 4．6 矩陣的轉(zhuǎn)置 4．7 矩陣的初等變換和初等矩陣 4. 8 矩陣的秩相抵標準形 4．9 分塊矩陣 4．10 基的變換矩陣與坐標變換 習題 第5章 行列式 5．1 n階行列式的定義 5．2 行列式按一列(行)的展開式 5．3 方陣乘積的行列式 5．4 cramer法則 習題 第6章 線性方程組與線性幾何 6．1 齊次線性方程組 6．2 非齊次線性方程組 6．3 線性圖形的幾何問題 習題 第7章 特征值與特征向量矩陣的標準形 7．1 正交變換與正交矩陣 7．2 二次曲線一般方程化為標準方程及其分類 7．3 線性變換在不同基下的矩陣表示相似矩陣 7．4 特征值與特征向量 7．5 可對角化的條件相似標準形 7．6 實對稱矩陣的對角化 7．7 雙線性函數(shù)二次型 7．8 實二次型的標準形實對稱矩陣的相合標準形 7．9 正定二次型與正定矩陣其它有定二次型 習題 第8章 常見曲面及二次曲面的分類 8．1 球面柱面錐面旋轉(zhuǎn)面 8．2 空間曲線的方程 8．3 二次曲面 8．4 二次曲面的分類 習題 第9章 空間曲線與空間曲面 9．1 向量函數(shù)及其微積分 9．2 曲線的弧長和弗雷耐標架 9．3 曲線的曲率撓率弗雷耐公式 9．4 特殊的空間曲線 9．5 曲面的表示切平面參數(shù)變換 9．6 曲面的第一基本形式 9．7 曲面上曲線的法曲率曲面的第二基本形式 習題 第10章 平面正交變換仿射變換射影變換 10．1 平面正交變換 10．2 平面的仿射變換 10．3 射影平面與齊次坐標 10．4 射影映射和射影變換 習題 第11章 非歐幾何學簡介 11．1 球面幾何 11．2 雙曲幾何的龐加萊模型 索引 

編輯推薦

　　《大學數(shù)學（代數(shù)與幾何）》是南開大學濱海學院、北京航空航天大學北海學院、天津大學仁愛學院、大連理工大學城市學院等十幾所院校根據(jù)目前獨立學院教學現(xiàn)狀，結(jié)合多年在獨立學院的教學經(jīng)驗聯(lián)合編寫而成?！洞髮W數(shù)學（代數(shù)與幾何）》分為上、下冊。上冊主要內(nèi)容有：函數(shù)、極限與連續(xù)，導數(shù)與微分，微分中值定理與導數(shù)的應用，不定積分，定積分及其應用。書中每節(jié)配有A、B兩套習題，并附有習題答案。《大學數(shù)學（代數(shù)與幾何）》體現(xiàn)教學改革及教學內(nèi)容的優(yōu)化，針對獨立學院理工類專業(yè)的教學需求，適當降低理論深度，突出數(shù)學知識實用的分析和運算方法，著重基本技能的訓練而不過分追求技巧，突出基本訓練的題目，解決課程體系的系統(tǒng)性、嚴密性與應用型人才培養(yǎng)需求的關(guān)系，有利于學生的可持續(xù)發(fā)展，并體現(xiàn)新的教學理念?！　”鞠盗薪滩目勺鳛楠毩W院理工類專業(yè)的大學數(shù)學教材，也可供有關(guān)人員學習參考。

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