重溫微積分

前言

本書(shū)是為那些讀過(guò)一次微積分而又想多學(xué)一點(diǎn)數(shù)學(xué)（特別是現(xiàn)代數(shù)學(xué)）的讀者寫(xiě)的。寫(xiě)這樣一本書(shū)的出發(fā)點(diǎn)是以下三種考慮：首先，微積分的“基本問(wèn)題”或者說(shuō)“基本矛盾”是什么？長(zhǎng)期以來(lái)，許多人認(rèn)為是ε-δ。對(duì)此我有些懷疑。初學(xué)微積分在ε-δ問(wèn)題上感到困難。但是即令掌握了它，也不能說(shuō)就懂得了微積分。再說(shuō)，所謂“基本問(wèn)題”或“基本矛盾”，按習(xí)慣的說(shuō)法是指貫穿始終，帶動(dòng)乃至決定微積分的主要內(nèi)容的問(wèn)題或矛盾。一門(mén)學(xué)問(wèn)是否一定需要有一個(gè)或幾個(gè)主要矛盾，借以展開(kāi)這門(mén)學(xué)問(wèn)，恐怕是可疑的事?？墒俏蚁?，科學(xué)的目的在于探討宇宙的規(guī)律，而從古希臘以來(lái)，就認(rèn)為這種規(guī)律乃是數(shù)學(xué)的規(guī)律。于是隨著人類(lèi)社會(huì)的發(fā)展，科學(xué)面臨的重大問(wèn)題不斷改變，科學(xué)以及作為它的不可少部分的數(shù)學(xué)就從一個(gè)階段發(fā)展到另一個(gè)階段。例如在資本主義出現(xiàn)的時(shí)代，了解天體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律恐怕是人類(lèi)面臨的重大問(wèn)題。說(shuō)應(yīng)用，它帶動(dòng)了動(dòng)力學(xué)、航海學(xué)……；說(shuō)思想，它促成了一次人類(lèi)的思想大解放，使哥白尼、伽利略成了思想解放的巨人。正是在這個(gè)背景下，出現(xiàn)了牛頓、萊布尼茨……以及微積分。不妨說(shuō)，這構(gòu)成了一個(gè)研究宇宙規(guī)律，掌握乃至應(yīng)用這些規(guī)律的一個(gè)大平臺(tái)。牛頓等人的理論，有自己的問(wèn)題和對(duì)象，有自己的方法，給了我們一個(gè)研究和處理問(wèn)題的框架。其中一個(gè)核心問(wèn)題是如何處理無(wú)窮小量。因此要有ε-δ。隨著社會(huì)的發(fā)展，例如電磁現(xiàn)象、物質(zhì)的分子構(gòu)造又相繼擺到我們面前。科學(xué)和數(shù)學(xué)又有了新問(wèn)題和新方法。例如處理電磁理論，單只是“無(wú)窮小量分析”（這里借用了自歐拉時(shí)代就沿用的名稱(chēng)）就不夠用了。例如我們不得不討論向量、張量、外微分形式；不得不考慮坐標(biāo)系（參考系）的變化；不得不研究許多本質(zhì)上屬于拓?fù)鋵W(xué)的問(wèn)題。我想把這“一套”東西當(dāng)作一個(gè)新框架來(lái)看待。這樣來(lái)寫(xiě)一本書(shū)，我們就必然涉及許多物理問(wèn)題。數(shù)學(xué)既不是它的“加工訂貨”的產(chǎn)物，也不簡(jiǎn)單是工具或語(yǔ)言，而是與物理學(xué)以不同角度，用不同方法，但是又互相攜手，共同研究大自然。我想，應(yīng)該使許多大學(xué)生知道這是多么吸引人的事業(yè)。并且希望他們中間有些人能走上這條道路，這是第一點(diǎn)。

內(nèi)容概要

　　《重溫微積分》根據(jù)作者多年來(lái)為各種不同程度的大學(xué)生和研究生講課及討論班上報(bào)告的內(nèi)容整理而成。第一章對(duì)極限理論的發(fā)展作了歷史的回顧。以下六章分別討論函數(shù)、微分學(xué)、積分學(xué)、傅里葉分析、實(shí)分析與點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)以及微分流形理論。每一章都強(qiáng)調(diào)有關(guān)理論的基本問(wèn)題、基本理論和基本方法的歷史的背景，其與物理科學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，其現(xiàn)代的發(fā)展與陳述方式特別是它與其他數(shù)學(xué)分支的關(guān)系。同時(shí)對(duì)一些數(shù)學(xué)和物理學(xué)中重要的而學(xué)生常常不了解的問(wèn)題作了闡述。因此，它涉及了除微積分以外的許多數(shù)學(xué)分支：主要有實(shí)和復(fù)分析、微分方程、泛函分析、變分法和拓?fù)鋵W(xué)的某些部分。同樣對(duì)經(jīng)典物理學(xué)-牛頓力學(xué)和電磁學(xué)作了較深入的討論。其目的則是引導(dǎo)學(xué)生去重新審視和整理自己已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，并為學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí)——例如數(shù)學(xué)物理做準(zhǔn)備。　　《重溫微積分》適合于已學(xué)過(guò)微積分的基本知識(shí)的大學(xué)生和研究生進(jìn)一步自學(xué)更現(xiàn)代的數(shù)學(xué)之用，也可以作為討論班的材料?！吨販匚⒎e分》還適合需要較多數(shù)學(xué)的各專(zhuān)業(yè)的人員以及高等學(xué)校教師參考之用。

書(shū)籍目錄

序 第一章 變量的數(shù)學(xué)—從直觀(guān)與思辨到成熟的數(shù)學(xué)科學(xué) 第二章 函數(shù) §1 增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型：指數(shù)與對(duì)數(shù) §2 周期運(yùn)動(dòng)和三角函數(shù) §3 進(jìn)入復(fù)域 §4“ 函數(shù) ”概念夠用了嗎? 第三章 微分學(xué) §1 微分學(xué)的基本思想 §2 什么是微分? §3 泰勒公式.莫爾斯引理.插值公式 §4 解析函數(shù)與C函數(shù) §5 反函數(shù)定理和隱函數(shù)定理 §6 變分法大意 §7 不可求導(dǎo)的函數(shù) 第四章 積分學(xué) §1 這樣評(píng)論黎曼公正嗎? §2 勒貝格積分的初步介紹 §3 勒貝格積分的初步介紹(續(xù)) §4 平方可積函數(shù) §5 高斯積分 §6 分部積分法.廣義函數(shù).索伯列夫(Sobolev)空間 §7 復(fù)積分  第五章 傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉積分 §1 傅里葉級(jí)數(shù)——從什么是譜談起 §2 傅里葉變換 §3 急減函數(shù)與緩增廣義函數(shù) 第六章 再論微積分的基礎(chǔ) §1 實(shí)數(shù)理論 §2 度量空間和賦范線(xiàn)性空間 §3 拓?fù)淇臻g 附錄 布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理的初等證明 第七章 微分流形上的微積分 §1 向量和張量 §2 微分流形 §3 多重線(xiàn)性代數(shù)介紹 §4 外微分形式 §5 微分形式在流形上的積分 §6 結(jié)束語(yǔ)—麥克斯韋方程組 簡(jiǎn)介

章節(jié)摘錄

插圖：讀者都讀過(guò)了一本通常的微積分教本，這樣就會(huì)知道這是一門(mén)很有用的科學(xué)，盡管從這類(lèi)教FJ中他很少能見(jiàn)到新的例子。再說(shuō)，一門(mén)科學(xué)是否很有用也不是只靠幾個(gè)例子能說(shuō)明的。讀者們會(huì)懂得了微積分中有許多解決問(wèn)題的方法。如果不是遇到了很難的題目，或很細(xì)致的定理，微積分不是一門(mén)很難念的課程，而應(yīng)該是很生動(dòng)的。但是很多讀者都對(duì)微積分的數(shù)學(xué)方法很不以為然。具體地說(shuō)就是很不習(xí)慣ε-δ之類(lèi)的語(yǔ)言，很不滿(mǎn)意于對(duì)許多概念的過(guò)分仔細(xì)的分析。所以，本書(shū)打算這樣開(kāi)始：首先從歷史發(fā)展的軌跡說(shuō)明微積分何以有這樣不“友好”的“界面”（uasers-mfriendlly-interface）？但是本章并不是一個(gè)比較全面的微積分學(xué)歷史的介紹，所以許多重要的人和事都沒(méi)有講。我們的目的只在于說(shuō)明何以會(huì)有ε-δ這樣令常人望而生畏的東西。說(shuō)明這正已科學(xué)進(jìn)步的結(jié)果，是數(shù)學(xué)科學(xué)區(qū)別于其它科學(xué)最明顯的特點(diǎn)。本章結(jié)束以后，我們將再就微積分的若干主要領(lǐng)域介紹這種語(yǔ)言與方法是如何更有效地表述了微積分的主要思想，如何更有效也刻畫(huà)了宇宙的規(guī)律，同時(shí)在這個(gè)過(guò)程中深化了自己，發(fā)展了自己（包括自己的語(yǔ)言與方法）?！俺醯葦?shù)學(xué)是常量的數(shù)學(xué)，高等數(shù)學(xué)是變量的數(shù)學(xué)”。這是老生常談了，而且大體也是正確的。變量的數(shù)學(xué)在刻畫(huà)自然界，乃至人類(lèi)社會(huì)生活中取得了何等輝煌的勝利，這都是人所共知的了。但是什么是變量的數(shù)學(xué)？因?yàn)閷ⅰ白儭钡母拍钜霐?shù)學(xué)又引起了何等深刻的變化？乃至于什么是“變”或“變量”？這些問(wèn)題是值得我們?nèi)ミM(jìn)一步思考的。我們將從歷史的發(fā)展來(lái)看一下，這些問(wèn)題是如何進(jìn)入數(shù)學(xué)家的視野的。當(dāng)代數(shù)學(xué)的一個(gè)最主要的起源地是希臘。希臘文明的所謂古典時(shí)期（即公元前6世紀(jì)至前3世紀(jì)），數(shù)學(xué)就已經(jīng)形成了一個(gè)獨(dú)立的學(xué)科。在那時(shí)，數(shù)學(xué)與哲學(xué)的關(guān)系是密不可分的，希臘人對(duì)許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的處理還有濃厚的思辨色彩。然而就是這樣，關(guān)于變量和變化的數(shù)學(xué)問(wèn)題已開(kāi)始孕育了。簡(jiǎn)略地回溯一下這段歷史，有助于我們?nèi)ンw會(huì)為什么微積分會(huì)有今天這樣的形狀，為什么我們不得不絞盡腦汁來(lái)對(duì)付ε-δ。也會(huì)體會(huì)到，兩千多年前提出的問(wèn)題至今仍未完全“解決”。但是，這樣做，就不得不進(jìn)入哲學(xué)的領(lǐng)域。這是我們力不能及的。所以，我們只能作一些淺顯的介紹，而建議有興趣的讀者去讀一些比較專(zhuān)門(mén)的著作。我們?cè)赶蜃x者推薦兩本書(shū)。

編輯推薦

《重溫微積分》是由高等教育出版社出版的。

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