常微分方程定性方法的應(yīng)用

前言

　　本書內(nèi)容側(cè)重于常微分方程定性方法在理論研究方面的應(yīng)用，它與作者在北京大學數(shù)學系多年從事的常微分方程教學和研究工作有密切的聯(lián)系，可作為同行教師和研究生的教學參考書．　　第一章從常微分方程的一些古典的定理開始，其實它們也是現(xiàn)代動力系統(tǒng)理論的基礎(chǔ)．作者在教學工作中有機會反復(fù)思考這些內(nèi)容，像嚼橄欖一樣品嘗到其中滋味．簡單的概念可以是理論發(fā)展的軸心．例如，常微分方程的初值問題從分析解的局部性質(zhì)到全局性質(zhì)，從研究運動的確定過程到隨機過程，貫串于常微分方程理論發(fā)展的整個歷史．所謂確定過程是指初值問題解的存在和唯一性，它在有限時間內(nèi)蘊含解對初值的穩(wěn)定性．這意味著常微分方程初值問題的解在有限時間內(nèi)是可以預(yù)報的．另外，解的存在和唯一性也蘊含一般差分計算的收斂性，這為差分方法在常微分方程的應(yīng)用提供了最簡單的條件．而所謂隨機過程說的是：Poincar6發(fā)現(xiàn)某些微分方程初值問題的解在無限時間內(nèi)是不可預(yù)報的，其原因在于這種解在無限時間內(nèi)對初值是敏感的(從而是不穩(wěn)定的)．這也是現(xiàn)代混沌學的核心．　　第二章介紹了有關(guān)向量場和不動點定理的基本知識，其中Poincar6Bohl不動點定理和Poincare-Birkhoff扭轉(zhuǎn)定理是重點內(nèi)容，因為它們在本書有多次的應(yīng)用．其次，我們按Poincar6指數(shù)的定義就閉曲線上的向量場證明了。Poincar6-Bendixson的指數(shù)公式，而且在閉曲面上對Poincar6-Hopf的指數(shù)公式給出一個非傳統(tǒng)的證明．另外，我們還介紹了Littlewood關(guān)于Brouwer不動點定理的推廣。　　第三章的主要內(nèi)容是拓撲動力系統(tǒng)的基礎(chǔ)知識，其核心思想是運動的各種回復(fù)性，它們是周期性不同的推廣．首先是在Poisson意義下的所謂P-式回復(fù)運動以及相關(guān)的準極小集；其次是由Birkhoff發(fā)現(xiàn)的所謂B-式回復(fù)運動及其與極小集的聯(lián)系，包括對Poincar6-Bendixson定理的推廣；最后是概周期運動，其中一個經(jīng)典的定理是：B-式回復(fù)運動是概周期的當且僅當它對軌線的閉包是Liapunov穩(wěn)定的．　　然后，作為古典動力系統(tǒng)的發(fā)展，我們按wiggins的定義介紹了混沌運動的基本知識，它的特征是對初值的敏感性．因此，混沌運動不是概周期的運動．值得注意，混沌運動是準極小集內(nèi)的P一式回復(fù)運動，但重要的問題是逆命題何時成立?

內(nèi)容概要

　　《常微分方程定性方法的應(yīng)用》內(nèi)容側(cè)重于常微分方程定性方法在理論研究中的應(yīng)用，它與作者在北京大學數(shù)學系多年從事的常微分方程教學和研究工作有密切的聯(lián)系，適合于同行教師和研究生們的教學用書。全書共有六章，分別為：常微分方程基礎(chǔ)知識，Poincare指數(shù)及其應(yīng)用，拓撲動力系統(tǒng)與混沌，對幾個公開問題的探討，Duffing微分方程的非共振性和對幾個特殊微分方程的分析。

書籍目錄

第一章 常微分方程基礎(chǔ)知識1．初值問題2．peano現(xiàn)象3．liapunov穩(wěn)定性4．peano存在定理的補充5．初值問題的差分計算參考文獻i第二章 poincare指數(shù)及其應(yīng)用1．向量場的poincare指數(shù)2．閉曲面上poincare-hopf的奇點指數(shù)公式3．poincare指數(shù)的應(yīng)用4．poincare-birkhoff扭轉(zhuǎn)定理5．poincare映射的不動點參考文獻ii第三章 拓撲動力系統(tǒng)與混沌1．常微分方程定義的動力系統(tǒng)2．p-式回復(fù)運動3．b-式回復(fù)運動4．概周期運動5．特殊情形的極小集.6．massera定理的推廣7．動力系統(tǒng)的復(fù)雜性參考文獻iii第四章 對幾個公開問題的探討1．reeb問題2．birkhoff猜測3．morse猜測4．二維流形上的morse猜測和各態(tài)歷經(jīng)定理5．bernfeld-haddock猜測6．kolmogorov問題7．閉曲面上的強混合流參考文獻iv第五章 duffing方程的非共振性1．during方程的周期振動2．時間映射3．超二次位勢的during方程4．次二次位勢的during方程5．半線性during方程——隔離共振點6．半線性during方程——接觸共振點7．半線性during方程——橫跨共振點8．時間映射的極限變差參考文獻v第六章 對幾個特殊微分方程的分析1．brillouin電子束的周期聚焦2．lotka-volterra周期生態(tài)系統(tǒng)3．小振幅與大振幅的高頻振動4．高階duffing方程5．弱耦合系統(tǒng)6．小阻尼的半線性duffing方程7．在粗周期攝動下的保守振子參考文獻vi索引

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