大學數(shù)學

前言

提高大學數(shù)學教學質(zhì)量的關鍵在于教師，但一套較好的教材也是重要的,隨著我國大學數(shù)學教學內(nèi)容改革的逐步深入，當前不少高等學校在基礎數(shù)學教學內(nèi)容的改革方面有了一些進展，例如單純“面向專業(yè)”的觀念有所淡化，代數(shù)課程的內(nèi)容和學時有所增加，開設了一些新的課程，如“數(shù)學實驗”和“隨機數(shù)學”等；相應地有一批新教材出版．本套教材也在試用了兩年多以后，進行了部分修訂．這就是《大學數(shù)學》的第二版．在保持原有的指導思想和風格的前提下，這一套教材由原來的五本：《一元微積分》、《多元微積分及其應用》、《代數(shù)與幾何》、《隨機數(shù)學》及《數(shù)學實驗》改編、擴充為七本，即：《微積分(一)》、《微積分(二)》、《多元微積分及其應用》、《流形上的微積分》、《代數(shù)與幾何》、《隨機數(shù)學》及《數(shù)學實驗》，其中《流形上的微積分》是新編入的．其它幾本修訂的大致情況如下：《微積分(一)》以原來的《一元微積分》中的第一篇，即“直觀基礎上的微積分”為其主要內(nèi)容，力求做到“返璞歸真”，除了進一步強調(diào)了計算和應用之外，還增加了一些對“極限”的樸素描述?！段⒎e分(二)》是把原來《一元微積分》中的第二篇，即“理性微積分”的內(nèi)容作一些修改而成．其中為了使讀者能更好體會數(shù)學分析中的一些基本手法，對用階梯函數(shù)逼近的辦法來處理定積分(即函數(shù)集擴張的思想)又作了一些改進?！抖嘣⒎e分及其應用》是把原書加以適當精簡而成．原書中“復變函數(shù)”部分重新改寫以求突出重點和更加精練；原書的“微分幾何”部分移到《代數(shù)與幾何》。以上三本教材的習題也都作了調(diào)整?！读餍紊系奈⒎e分》與前面三本微積分教材合在一起，就顯示了微積分從古典一直到現(xiàn)代的基本面貌，而且也是一個理解當代數(shù)學和物理的一個不可缺少的臺階．雖然目前它并不屬于數(shù)學基礎課的范圍，但可供對此有興趣的學生選修．此外，對從事微積分教學而在這方面有所欠缺的教師來講，不妨順便補上這一課。《代數(shù)與幾何》內(nèi)容的變動是適當精簡了代數(shù)的內(nèi)容，增加了“行列式的幾何意義”；幾何部分則增加了“微分幾何”的基本內(nèi)容。

內(nèi)容概要

　　《大學數(shù)學》是普通高等教育“十五”國家級規(guī)劃教材，是高等教育出版社2000年版“大學數(shù)學”系列教材的第二版。 《大學數(shù)學》主要講授定義在拓撲空間和微分流形上的連續(xù)函數(shù)、光滑函數(shù)和光滑影射，并介紹處理它們之間的關系的原理和方法。全書由4章組成：拓撲結構，光滑結構，外微分式及其積分，黎曼流形上的微分算子等。 《大學數(shù)學》可作為高等學校理工科各專業(yè)的教材，也可供其他專業(yè)人員參考。

書籍目錄

第一章　拓撲結構1．1　n維歐氏空間1．1．1n維歐氏向量空間1．1．2n維歐氏空間上的距離函數(shù)1．1．3n維歐氏空間中的球狀鄰域1．1．4n維歐氏空間中點列的極限1．1．5n維歐氏空間上的連續(xù)函數(shù)1．1．6從n維歐氏空間到m維歐氏空間的連續(xù)映射1．2　拓撲空間1．2．1拓撲1．2．2拓撲基1．2．3由拓撲直接派生的基本概念1．2．4拓撲子空間1．2．5連續(xù)映射1．3　常見的拓撲空間1．3．1度量空間1．3．2乘積空間1．3．3商空間1．4　重要的拓撲性質(zhì)1．4．1分離性公理1．4．2緊致性1．4．3局部緊致性1．4．4連通性和道路連通性1．4．5局部連通性和局部道路連通性1．5　習題一第二章　光滑結構2．1　微分流形2．1．1拓撲流形2．1．2局部坐標的變換2．1．3光滑微分結構2．1．4光滑流形的例子2．2　光滑函數(shù)2．2．1光滑函數(shù)的定義2．2．2截斷函數(shù)2．2．3單位分解定理2．2．4光滑映射2．3　切空間2．3．1切向量2．3．2切空間2．3．3自然基底2．3．4切向量的分量2．3．5光滑映射的切映射2．3．6切映射的坐標表示2．4　子流形2．4．1浸入子流形2．4．2R中的正則曲線和正則曲面2．4．3光滑函數(shù)的水平面2．5　光滑切向量場2．5．1光滑切向量場2．5．2作為微分算子的光滑切向量場2．5．3Poisson括號積2．5．4在光滑映射下相關的光滑切向量場2．6　習題二第三章　外微分式及其積分3．1　外形式3．1．1對偶向量空間3．1．2對偶基底3．1．3線性函數(shù)的分量的坐標變換公式3．1．4多重線性函數(shù)3．1．5r次外形式3．1．6反對稱化算子3，1．7外形式的外積3．1．8外形式的坐標表達式3．1．9外多項式3．1．10向量空間的線性映射在外形式空間上的誘導映射3．2　外微分式3．2．1余切向量和余切空間3．2．2r次外微分式3．2．3外微分3．2．4外微分的運算規(guī)則3．2．5外微分的求值公式3．2．6拉回映射3．3　可定向光滑流形和帶邊區(qū)域3．3．1向量空間的定向3．3．2可定向光滑流形3．3．3可定向性的判別準則3．3．4帶邊區(qū)域3．3．5有向光滑流形在帶邊區(qū)域的邊界上的誘導定向3．4　外微分式的積分3．4．1外微分式的支撐集包含在坐標域內(nèi)的情形3．4．2一般情形3．4．3積分的性質(zhì)3．4．4在浸入子流形上的積分3．5　Stoke-s定理3．5．1Stokes定理的敘述3．5．2Stokes定理的證明3．5．2．1情形UnaD=Φ的證明3．5．2．2情形unaD≠Φ的證明3．6　習題三第四章　黎曼流形上的微分算子4．1　黎曼流形4．1．1歐氏向量空間4．1．2黎曼流形的定義4．1．3黎曼流形的例子4．1．4R中的正則曲面4．2　梯度算子4．2．1歐氏向量空間與其對偶空間的自然同構4．2．2歐氏向量空間V和V的自然同構在任意的基底下的表示4．2．3黎曼流形上的梯度算子4．3　光滑切向量場的協(xié)變微分4．3．1R上的光滑切向量場的微分4．3．2黎曼流形上的光滑切向量場的協(xié)變微分4．3．3光滑切向量場的分量的協(xié)變導數(shù)及其坐標變換公式4．4　散度算子和Laplace算子4．4．1光滑切向量場的散度4．4．2散度的局部坐標表達式4．4．3Laplace算子4．4．4單位球面上的Laplace算子4．5　黎曼流形上的外微分學4．5．1n維歐氏向量空間中的Hodge星算子4．5．2Hodge星算子在非單位正交基底下的表達式4．5．3Hodge星算子在外微分式上的作用4．5．4R中的場論公式4．5．5有向黎曼流形上的Hodge星算子和余微分算子4．6習題四參考文獻索引

章節(jié)摘錄

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