微分幾何講義

前言

　　本書(shū)主要部分源于鐘家慶兄的筆記，當(dāng)時(shí)我和孫理察每周兩講，由于孩子都還在襁褓中，準(zhǔn)備工作有一定的困難，但是作者二人興致勃勃，在準(zhǔn)備這些講座時(shí)還發(fā)展了一些新的定理。以后到了圣地亞哥，我有十五個(gè)博士生在課上聽(tīng)講，很遺憾的是沒(méi)有學(xué)生留有完整的講稿。以后張恭慶和丁偉岳重整這部分講稿時(shí)，已不能將當(dāng)時(shí)作者二人的講辭全部還原，這是很可惜的。事隔二十年，作者二人已無(wú)從追憶當(dāng)年創(chuàng)作的細(xì)節(jié)。所幸國(guó)內(nèi)學(xué)者包括當(dāng)時(shí)做筆記的幾位學(xué)者和我們的學(xué)生，確也在這本書(shū)上得到一些好處，宛然成一流派，稱(chēng)為幾何分析。遺憾的是書(shū)中有一部分精要的地方未受到重視，尤其是李偉光和我發(fā)展的在拋物方程的不等式，在國(guó)外由美國(guó)的Hamilton、蘇聯(lián)的Perelman得出幾何學(xué)上的深入發(fā)展，解決了一些重要的問(wèn)題。畢竟幾何分析的一個(gè)主要目標(biāo)是了解幾何結(jié)構(gòu)，不特分析而已矣。盼望本書(shū)讀者能夠了解這一點(diǎn)。講稿在中國(guó)先行出版，到九十年代才出版英文版，并加上幾篇我的個(gè)人著作，以補(bǔ)不足。這次中文新版增加了三篇我近年的文章和演講辭：(幾何學(xué)的未來(lái)發(fā)展》、《幾何與分析回顧》、《復(fù)幾何的歷史及前景》，另對(duì)原中文版第一、二、三、六章作了較大的改動(dòng)，使本書(shū)漸臻完善。

內(nèi)容概要

本書(shū)是在作者一系列演講的講稿基礎(chǔ)上整理而成的，已成為整體微分幾何方面的一本經(jīng)典著作。它以拓?fù)?、代?shù)幾何為基礎(chǔ)，以分析為主要工具，論述了幾何學(xué)中的某些線(xiàn)性和非線(xiàn)性問(wèn)題。本書(shū)內(nèi)容包括：比較定理與梯度估計(jì)、負(fù)曲率流形上的調(diào)和函數(shù)、Reimann流形上的特征值問(wèn)題、ReImann流形上的熱核、純量曲率的共形形變、局部共形平坦流形等。書(shū)中還包括了丘成桐教授撰寫(xiě)的幾何中的非線(xiàn)性分析、幾何中未解決的問(wèn)題、幾何學(xué)未來(lái)的發(fā)展、幾何與分析回顧、復(fù)幾何的歷史及前景等綜合性論述與演講辭，宏觀和精辟地描述了幾何學(xué)中的重要問(wèn)題，展示了該學(xué)科的歷史和未來(lái)發(fā)展前景。    本書(shū)可供高等院校數(shù)學(xué)系高年級(jí)學(xué)生、研究生作教學(xué)用書(shū)，也可供現(xiàn)代幾何和分析方面的教師及研究人員參考。

書(shū)籍目錄

第一章  比較定理與梯度估計(jì)  1.1  比較定理  1.2  分裂定理  1.3  梯度估計(jì)  1.4  具非負(fù)Ricci曲率的完備Riemann流形第二章　負(fù)曲率流形上的調(diào)和函數(shù)  2.1　幾何邊界S(**)及Dirichlet問(wèn)題的可解性  2.2　Harnack不等式與Poisson核  2.3　Martin邊界與Martin積分表示  2.4　Harhack不等式的證明  2.5　更一般流形上的調(diào)和函數(shù)  2.6　次調(diào)和函數(shù)與次中值公式  附錄  整體Green函數(shù)的存在性第三章　特征值問(wèn)題  3.1　特征值的基本性質(zhì)  3.2　Riemann流形的熱核  3.3　第一特征值上界估計(jì)  3.4　第一特征值下界估計(jì)  3.5　高階特征值的估計(jì)  3.6　結(jié)點(diǎn)集與特征值的重?cái)?shù)　3.7　相鄰兩特征值之空隙　3.8　與曲面有關(guān)的特征值問(wèn)題第四章　Riemann流形上的熱核  4.1　熱方程的梯度估計(jì)  4.2　Harnack不等式與熱核的估計(jì)  4.3　熱核估計(jì)的應(yīng)用第五章　純量曲率的共形形變  5.1　三維情形  5.2　Yamalbe問(wèn)題與共形不變量A(M)  5.3　共形正規(guī)坐標(biāo)與Green函數(shù)的漸近展開(kāi)  5.4　Yamabe問(wèn)題的解決  附錄  Sobolev不等式中的最佳常數(shù)第六章  局部共形平坦流形      6.1　共形變換與局部共形平坦流形  6.2　共形不變量  6.3　局部共形平坦流形在Sn上的嵌入  6.4　局部共形平坦流形的拓?fù)? 6.5　與偏微分方程的關(guān)系  參考文獻(xiàn)(第一至第六章)第七章　問(wèn)題集  7.1　曲率及流形上的拓?fù)? 7.2　曲率與復(fù)結(jié)構(gòu)  7.3　子流形  7.4　譜  7.5　與測(cè)地線(xiàn)有關(guān)的問(wèn)題  7.6　極小子流形  7.7　廣義相對(duì)論和Yang—Milh方程　參考文獻(xiàn)第八章　幾何中的非線(xiàn)性分析第九章　幾何中未解決的問(wèn)題附錄I　幾何學(xué)的未來(lái)發(fā)展附錄II　幾何與分析回顧附錄III　復(fù)幾何的歷史及前景索引

圖書(shū)封面

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