代數(shù)學基礎與有限域

前言

　　有理數(shù)域、實數(shù)域和復數(shù)域都是我們比較熟悉的數(shù)域，這些域有個共同的特點，就是它們的元素個數(shù)都是無限的。我們這本書要向大家介紹的有限域，則只含有限多個元素。有限域是現(xiàn)代代數(shù)學的重要分支之一。有限域的理論最早可追溯到費爾馬（FERMAT 1601—1665）、歐拉（EULER 1707—1783）和高斯（GAUSS 1777—1855），他們實質研究了一種稱之為有限素域的有限域。有限域的一般理論則主要是從伽羅華（GALOIS 1811—1832）的工作開始。1830年，他在p元有限域的基礎上，采用域擴張方法構造出全部可能的有限域，證明了每個有限域的元素個數(shù)一定是某個素數(shù)的冪，而且對每個素數(shù)冪，本質上也只有一個相應的有限域。

內容概要

本書系統(tǒng)介紹了有限域的基本內容和基本知識。全書共分為七章，第一章介紹代數(shù)學的基礎知識，第二章介紹有限域的結構，第三章介紹有限域上的多項式，第四章介紹有限域上的離散對數(shù)問題，第五章介紹有限域上的橢圓由線，第六章介紹偽隨機序列，第七章介紹有限域在編碼學和密碼學等方面的應用。每章的后面均附有習題，有些習題是對正文內容的補充，以供學生復習鞏固書中所學內容。    本書可作為數(shù)學、信息科學或其他相關專業(yè)的研究生教材，也可作為相關領域中的教學、科研人員以及工程技術人員的參考書。

書籍目錄

第一章 代數(shù)學基礎  1.1 群  1.2 環(huán)與理想　1.3 多項式環(huán)　1.4 域和擴域　習題第二章 有限域的結構　2.1 有限域的特征性質　2.2 不可約多項式的根　2.3 跡，范數(shù)和基　2.4 單位根和割圓多項式　2.5 有限域元素的表示　習題第三章 有限域上的多項式　3.1 多項式的階和本原多項式　3.2 不可約多項式　3.3 不可約多項式的構造　3.4 有限域上多項式因式分解　習題第四章 有限域上的離散對數(shù)問題　4.1 有限域上的離散對數(shù)問題　4.2 Shanks算法　4.3 Pohlig-Heliman算法　4.4 Pollardp方法　4.5 指數(shù)演算方法　習題第五章 有限域上的橢圓曲線　5.1 橢圓曲線上的群結構　5.2 橢圓曲線的射影坐標表示　5.3 橢圓曲線上的有理點　5.4 橢圓曲線密碼學　習題第六章 偽隨機序列　6.1 二元序列的偽隨機性　6.2 線性移位寄存器序列　6.3 Berlekamp Massey算法　6.4 線性遞歸-陣列　習題第七章 有限域的應用　7.1 糾錯碼簡介　　7.1.1 線性碼　　7.1.2 循環(huán)碼　7.2 有限域與分組密碼　　7.2.1 分組密碼概述　　7.2.2 AES分組密碼算法　習題參考文獻索引

圖書封面

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