代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與有限域

前言

　　有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域都是我們比較熟悉的數(shù)域，這些域有個(gè)共同的特點(diǎn)，就是它們的元素個(gè)數(shù)都是無(wú)限的。我們這本書(shū)要向大家介紹的有限域，則只含有限多個(gè)元素。有限域是現(xiàn)代代數(shù)學(xué)的重要分支之一。有限域的理論最早可追溯到費(fèi)爾馬（FERMAT 1601—1665）、歐拉（EULER 1707—1783）和高斯（GAUSS 1777—1855），他們實(shí)質(zhì)研究了一種稱(chēng)之為有限素域的有限域。有限域的一般理論則主要是從伽羅華（GALOIS 1811—1832）的工作開(kāi)始。1830年，他在p元有限域的基礎(chǔ)上，采用域擴(kuò)張方法構(gòu)造出全部可能的有限域，證明了每個(gè)有限域的元素個(gè)數(shù)一定是某個(gè)素?cái)?shù)的冪，而且對(duì)每個(gè)素?cái)?shù)冪，本質(zhì)上也只有一個(gè)相應(yīng)的有限域。

內(nèi)容概要

本書(shū)系統(tǒng)介紹了有限域的基本內(nèi)容和基本知識(shí)。全書(shū)共分為七章，第一章介紹代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，第二章介紹有限域的結(jié)構(gòu)，第三章介紹有限域上的多項(xiàng)式，第四章介紹有限域上的離散對(duì)數(shù)問(wèn)題，第五章介紹有限域上的橢圓由線，第六章介紹偽隨機(jī)序列，第七章介紹有限域在編碼學(xué)和密碼學(xué)等方面的應(yīng)用。每章的后面均附有習(xí)題，有些習(xí)題是對(duì)正文內(nèi)容的補(bǔ)充，以供學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固書(shū)中所學(xué)內(nèi)容。    本書(shū)可作為數(shù)學(xué)、信息科學(xué)或其他相關(guān)專(zhuān)業(yè)的研究生教材，也可作為相關(guān)領(lǐng)域中的教學(xué)、科研人員以及工程技術(shù)人員的參考書(shū)。

書(shū)籍目錄

第一章 代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)  1.1 群  1.2 環(huán)與理想　1.3 多項(xiàng)式環(huán)　1.4 域和擴(kuò)域　習(xí)題第二章 有限域的結(jié)構(gòu)　2.1 有限域的特征性質(zhì)　2.2 不可約多項(xiàng)式的根　2.3 跡，范數(shù)和基　2.4 單位根和割圓多項(xiàng)式　2.5 有限域元素的表示　習(xí)題第三章 有限域上的多項(xiàng)式　3.1 多項(xiàng)式的階和本原多項(xiàng)式　3.2 不可約多項(xiàng)式　3.3 不可約多項(xiàng)式的構(gòu)造　3.4 有限域上多項(xiàng)式因式分解　習(xí)題第四章 有限域上的離散對(duì)數(shù)問(wèn)題　4.1 有限域上的離散對(duì)數(shù)問(wèn)題　4.2 Shanks算法　4.3 Pohlig-Heliman算法　4.4 Pollardp方法　4.5 指數(shù)演算方法　習(xí)題第五章 有限域上的橢圓曲線　5.1 橢圓曲線上的群結(jié)構(gòu)　5.2 橢圓曲線的射影坐標(biāo)表示　5.3 橢圓曲線上的有理點(diǎn)　5.4 橢圓曲線密碼學(xué)　習(xí)題第六章 偽隨機(jī)序列　6.1 二元序列的偽隨機(jī)性　6.2 線性移位寄存器序列　6.3 Berlekamp Massey算法　6.4 線性遞歸-陣列　習(xí)題第七章 有限域的應(yīng)用　7.1 糾錯(cuò)碼簡(jiǎn)介　　7.1.1 線性碼　　7.1.2 循環(huán)碼　7.2 有限域與分組密碼　　7.2.1 分組密碼概述　　7.2.2 AES分組密碼算法　習(xí)題參考文獻(xiàn)索引

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