微分學

前言

　　隨著解析幾何及微積分的發(fā)明而興起的現(xiàn)代數(shù)學，在其發(fā)展過程中，一批卓越的法國數(shù)學家發(fā)揮了杰出的作用，作出了奠基性的貢獻，他們像燦爛的星斗發(fā)射著耀眼的光輝，在現(xiàn)代數(shù)學史上占據(jù)著不可替代的地位，在大學教科書、各種專著及種種數(shù)學史著作中都頻繁地出現(xiàn)著他們的英名，在他們當中，包括笛卡兒、費馬、帕斯卡、達朗貝爾、拉格朗日、蒙日、拉普拉斯、勒讓德、傅里葉、泊松、柯西、劉維爾、伽羅華、龐加萊、嘉當、勒貝格、魏伊、勒雷、施瓦茲及利翁斯等等這些耳熟能詳?shù)拿?，也包括一些現(xiàn)今仍然健在并繼續(xù)作出重要貢獻的著名數(shù)學家，由于他們的出色成就和深遠影響，法國的數(shù)學不僅具有深厚的根基和領(lǐng)先的水平，而且具有優(yōu)秀的傳統(tǒng)和獨特的風格，一直在國際數(shù)學界享有盛譽。我國的現(xiàn)代數(shù)學，在20世紀初通過學習西方及日本才開始起步，并在艱難曲折中發(fā)展與成長，終能在2002年成功地在北京舉辦了國際數(shù)學家大會，在一個世紀的時間中基本上跟上了西方歷經(jīng)四個多世紀的現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展的步伐，實現(xiàn)了跨越式的發(fā)展，這一巨大的成功，根源于好幾代數(shù)學家持續(xù)不斷的艱苦奮斗，根源于我們國家綜合國力不斷提高所提供的有力支撐，根源于改革開放國策所帶來的強大推動，也根源于很多國際數(shù)學界同仁的長期鼓勵、支持與幫助，在這當中，法蘭西數(shù)學精品長期以來對我國數(shù)學界所起的積極影響，法蘭西數(shù)學的深厚根基、無比活力和優(yōu)秀傳統(tǒng)對我國數(shù)學家所起的不可低估的潛移默化作用，無疑也是一個不容忽視的因素，足以證明這一點的是：在我國的數(shù)學家中，有不少就曾經(jīng)留學法國，直接受到法國數(shù)學家的栽培和法蘭西數(shù)學傳統(tǒng)和風格的薰陶與感召，而更多的人也或多或少地通過汲取法國數(shù)學精品的營養(yǎng)而逐步走向了自己的成熟與輝煌。

內(nèi)容概要

　　《微分學》是H·嘉當根據(jù)他在20世紀五、六十年代所授課程編寫的。書中講述了巴拿赫空間中的微分學、微分方程及微分形式，還講述了變分學原理與活動標架法及對曲線和曲面論的應(yīng)用。該書包含了數(shù)學的一些純粹分支和應(yīng)用分支；正文由許多例子闡明，并且每一部分都包含一些程度不同的習題。

作者簡介

　　H·嘉當，著名的法國數(shù)學家。法國科學院院士，美國科學院外籍院士，日本、波蘭、馬德里等近1 O家科學院、皇家科學院的院士或名譽院士。曾任國際數(shù)學聯(lián)盟主席。法國布爾巴基學派的創(chuàng)始人之一?！　．嘉當在復(fù)變函數(shù)論、代數(shù)拓撲、位勢理論及同調(diào)代數(shù)等方面都有貢獻。特別是他在復(fù)變函數(shù)論從單變量向多變量發(fā)展中起了重要的作用。1980年，因其在代數(shù)拓撲、多復(fù)變量和同調(diào)代數(shù)方面的先驅(qū)性的工作和對一代數(shù)學家的激勵、領(lǐng)導(dǎo)作用而獲沃爾夫獎。

書籍目錄

上編 微分學第一章 巴拿赫空間中的微分學1.關(guān)于巴拿赫空間及連續(xù)線性映射概念的回頤1.1.向量空間E上的范數(shù)1.2.巴拿赫空間的例子1.3.巴拿赫空間中的正規(guī)收斂級數(shù)1.4.連續(xù)線性映射1.5.連續(xù)線性映射的復(fù)合1.6.賦范向量空間的同構(gòu)；賦范向量空間上的等價范數(shù)1.7.空間的例子1.8.連續(xù)多重線性映射1.9.自然等距映射2.可微映射2.1.可微映射的定義2.2.復(fù)合映射的導(dǎo)出映射2.3.導(dǎo)出映射的線性2.4.特殊映射的導(dǎo)出映射2.5.在幾個巴拿赫空間的積中取值的映射2.6.U是幾個巴拿赫空間的積中開集情形2.7.2.5及2.6段中所研究情形的組合2.8.最后的注記：可微性及C可微性的比較3.有限增量定理；應(yīng)用3.1.主要定理的敘述3.2.主要定理的特殊情形3.3.變量在巴拿赫空間中的有限增量定理3.4.有限增量定理續(xù)論3.5.習題3.6.有限增量定理的第一種應(yīng)用：可微映射序列的收斂性3.7.有限增量定理的第二種應(yīng)用：偏可微性與可微性之間的關(guān)3.8.有限增量定理的第三種應(yīng)用：嚴格可微映射概念4.C1類映射的局部反演.隱映射定理4.1.C1類的微分同胚4.2.局部反演定理4.3.局部反演定理的證明：第一步化簡4.4.命題4.3.1的證明4.5.定理4.4.1的證明4.6.有限維情形下的局部反演定理4.7.隱映射定理5.高階導(dǎo)出映射5.1.二階導(dǎo)出映射5.2.E是乘積空間情形5.3.逐階導(dǎo)出映射5.4.n次可微映射的例子5.5.泰勒公式：特別情形5.6.泰勒公式：一般情形6.多項式6.1.n次齊次多項式6.2.不一定齊次的多項式6.3.多項式的逐次“差分”6.4.E及F是賦范向量空間情形7.有限展開式7.1.定義7.2.f在點a處n次可微情形7.3.有限展開式的運算7.4.兩個有限展開式的復(fù)合7.5.計算復(fù)合映射的逐階導(dǎo)出映射8.相對極大與極小8.1.相對極小的第一個必要條件8.2.相對極小的二階條件8.3.嚴格相對極小的充分條件習題第二章 微分方程1.定義與基本定理1.1.一階微分方程1.2.n階微分方程1.3.近似解1.4.例：線性微分方程.1.5.李普希茨情形：基本引理1.6.基本引理的應(yīng)用：唯一性定理1.7.李普希茨情形下的存在定理1.8，是局部李普希茨情形1.9.線性微分方程情形1.10.對初始值的依賴性1.11.微分方程依賴于一個參變量情形2.線性微分方程2.1.通解的形式2.2.齊次線性方程研究2.3.E有有限維情形2.4.“帶右端項的”線性方程2.5.n階齊次線性微分方程情形2.6.“帶右端項的”階線性微分方程2.7.常系數(shù)線性微分方程2.8.常系數(shù)方程：E有有限維情形2.9.常系數(shù)n階線性微分方程3.一些問題3.1.含一個參變量的線性自同構(gòu)群3.2.含一個參變量之群的芽3.3.可微性問題3.4.可微性問題(續(xù))：對初始值u的可微性3.5.定理3.4.2的證明3.6.對微分方程所含一個參變量的可微性3.7.高階可微性3.8.二階微分方程情形3.9.不含自變量的微分方程3.10.“未解出的”微分方程4.首次積分與線性偏微分方程4.1.微分方程組的首次積分的定義4.2.首次積分的存在性4.3.非齊次線性偏微分方程4.4.例習題下編 微分形式第一章 微分形式1.交錯多重線性映射1.1.交錯多重線性映射的定義1.2.排列群1.3.交錯多重線性映射的性質(zhì)1.4.交錯多重線性映射的乘法1.5.外乘法的性質(zhì)1.6.n個線性形式的外乘積1.7.E有有限維情形2.微分形式2.1.微分形式的定義2.2.微分形式的運算2.3.外微分的運算2.4.外微分運算的性質(zhì)2.5.外微分的基本性質(zhì)2.6.有限維空間上的微分形式2.7.按典范寫出的微分形式的算法2.8.微分形式中的變量代換2.9.變量代換中映射的性質(zhì)2.10.按典范寫出的的計算2.11.變量代換的可遞性2.12.微分形式等于的條件2.13.龐加萊定理的證明3.一次微分形式的線積分3.1.C1類道路3.2.線積分3.3.參變量代換3.4.是映射的微分情形3.5.一次閉微分形式3.6.閉形式沿一條道路的原映射3.7.兩條道路的同倫3.8.單連通開集4.次數(shù)>1的微分形式的積分4.1.單位的可微分解4.2.平面中帶邊界的緊集4.3.微分2形式在帶邊界的緊集K上的積分4.4.平面上的斯托克斯定理4.5.定理4.4.1(斯托克斯定理)的證明4.6.重積分中的變量代換4.7.空間中的流形4.8.流形的定向4.9.微分2彤式在C1類2維定向緊流彤上的積分4.10.n重積分4.11.在流形A，上的微分形式4.12.p維流形的p維體積元素5.流形上數(shù)值函數(shù)的極大與極小5.1.第一階條件5.2.第二階條件6.弗羅貝尼烏斯定理6.1.問題的地位6.2第一存在定理6.3.第二存在定理6.4.第二存在定理證明的終結(jié)6.5基本定理6.6.用微分形式的解釋習題第二章 變分學原理1.問題的地位1.1.C1類曲線的空間1.2.曲線的泛函1.3.例1.4.極小問題1.5.極值條件的變換1.6.對于極值曲線的計算2.歐拉方程的研究：極值曲線的存在性例2.1.形下的歐拉方程2.2.例2.3.力學中的拉格朗日方程2.4.回到一般情形：與t無關(guān)情肜2.5.F是y的二次齊次式情形2.6.流形的測地線情形2.7.流形上曲線的極值問題2.8.上列情形的變換3.二維問題3.1.問題的地位3.2.極值條件的變換習題第三章 活動標架法對曲線及曲面論的應(yīng)用1.活動標架1.1.微分形式及的定義1.2.形式及所滿足的關(guān)系式1.3.標準正交標架1.4.中定向曲線的弗雷內(nèi)標架1.5.中定向曲面S上定向曲線C的達布標架1.6.測地曲率、法曲率及測地撓率的計算2.與中曲面相聯(lián)系的含三個參變量的標架族2.1.定向曲面的標架流形2.2.曲面上標架的運動方程2.3.曲面S的面積元素2.4.曲面S的第二基本二次形式2.5.已定方向上法曲率及測地撓率的計算2.6.主方向；曲率線2.7.測地曲率的微分形式2.8.標架場的應(yīng)用2.9.沿曲線的平行移動2.10.全曲率與平行移動的關(guān)系2.11.用第一基本形式計算曲面的全曲率習題索引上編：微分學索引下編：微分形式外國人名譯名對照表譯后記

編輯推薦

　　《微分學》可部分地采用為數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè)大學本科生或研究生教材，也可供廣大數(shù)學工作者及學生參考。

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