微分方程與數學物理問題

前言

　　現代數學有著300多年的歷史。最初，在數學建模中，我們主要使用微分方程。在物理、工程科學、生物數學等領域的數學建模問題中，經常會產生非線性微分方程?！　〗裉欤砉た茖W生和研究者經常會遇到怎么求解在數學建模中產生的微分方程的問題。有時，這些問題可以從數值方法加上hoc的方法來求得其解。盡管我們總結了超過400種形式的關于二次微分方程的積分方法，但是，在一般的情況下，我們還是不能從這些方法中求得所有微分方程的解?！　∪欢?，由基礎的自然規(guī)律和技術問題所產生的微分方程可以由李群分析方法求得其解。例如，李群可以將上述的400種形式的方程簡化為4種形式。群分析理論的發(fā)展給出了大量的證據證明：當其他的一些積分方法失效的時候，群理論是求解微分方程的通用工具。事實上，群理論是求解非線性微分方程解析解的唯一的通用和有效的方法。那些舊的積分方法在很大程度上依賴于微分方程是線性的以及存在常系數。但群分析理論在處理線生和非線性方程的問題是等同，對于常系數和變系數都是同樣的處理。

內容概要

　　現代數學有著300多年的歷史。最初，在數學建模中，我們主要使用微分方程。在物理、工程科學、生物數學等領域的數學建模問題中，經常會產生非線性微分方程。今天，理工科學生和研究者經常會遇到怎么求解在數學建模中產生的微分方程的問題。有時，這些問題可以從數值方法加上hoc的方法來求得其解。盡管我們總結了超過400種形式的關于二次微分方程的積分方法，但是，在一般的情況下，我們還是不能從這些方法中求得所有微分方程的解。

作者簡介

　　伊布拉基莫夫，瑞典科學家，被公認為是在微分方程對稱分析方面世界上最具權威的專家之一。他發(fā)起并構建了現代群分析理論和應用方面很多新的發(fā)展。

書籍目錄

校訂者序前言第一章 數學分析中的幾個話題1.1 初等數學1.1.1 數字，變量和初等函數1.1.2 二次與三次方程1.1.3 相似圖形的面積.以橢圓為例1.1.4 二次代數曲線1.2 微分和積分運算1.2.1 微分法則1.2.2 中值定理1.2.3 微分形式的不變性1.2.4 積分法則1.2.5 泰勒級數1.2.6 復變量1.2.7 函數的近似表達式1.2.8 雅可比行列式、函數無關性、多重積分的換元法1.2.9 函數的線性無關.朗斯基行列式1.2.10 積分1.2.11 曲線族的微分方程1.3 向量分析1.3.1 向量代數1.3.2 矢量函數1.3.3 向量場1.3.4 三個經典的積分定理1.3.5 拉普拉斯方程1.3.6 行列式的微分1.4 微分代數的符號1.4.1 微分變量.全微分1.4.2 乘積和復合函數的高階微分1.4.3 多元微分函數1.4.4 微分方程的空間曲面1.4.5 換元法求導1.5 變分法1.5.1 最小作用量原理1.5.2 多元歐拉一拉格朗日方程習題一第二章 數學物理問題2.1 導言2.2 自然現象2.2.1 人口模型2.2.2 生態(tài)學：放射性的廢棄物2.2.3 開普勒（kepler）定律，牛頓萬有引力定律2.2.4 地表的自由落體運動2.2.5 流星體2.2.6 雨水模型2.3 物理學和工程學2.3.1 牛頓冷卻模型2.3.2 機械振動，鐘擺2.3.3 傳動軸的失效2.3.4 vanderPol方程2.3.5 電報方程2.3.6 電動力學2.3.7 狄拉克方程2.3.8 流體動力學2.3.9 Navier.Stokes方程2.3.10 灌溉系統(tǒng)模型2.3.11 磁流體動力學2.4 擴散現象2.4.1 線性熱傳導方程2.4.2 非線性熱傳導方程2.4.3 Burgers方程和Korteweg.-deVries方程2.4.4 經濟學數學模型2.5 生物數學2.5.1 巧妙的蘑菇2.5.2 腫瘤的生長模型2.6 波現象2.6.1 繩索的微小振動2.6.2 振動膜2.6.3 極小曲面2.6.4 振動細長桿和板2.6.5 非線性波2.6.6 Chaplygin和Tricomi方程習題二第三章 常微分方程：經典方法3.1 簡介和基礎方法3.1.1 微分方程，初值問題3.1.2 方程y（n）=f（X）的積分3.1.3 齊次方程3.1.4 齊次性的不同種類3.1.5 降階3.1.6 微分線性化3.2 一階方程3.2.1 可分離變量方程3.2.2 全微分方程3.2.3 積分因子（A.Clairaut，1739）3.2.4 里卡蒂方程3.2.5 伯努利方程3.2.6 齊次線性方程3.2.7 非齊次線性方程.常數變易法3.3 二階線性方程3.3.1 齊次方程：疊加性3.3.2 齊次方程：等價性質3.3.3 齊次方程：常系數3.3.4 非齊次方程：常數變易法3.3.5 貝塞爾方程和貝塞爾函數3.3.6 超幾何方程3.4 高階線性方程3.4.1 齊次方程.基礎解系3.4.2 非齊次方程.常數變易法3.4.3 常系數方程3.4.4 歐拉方程3.5 一階方程組3.5.1 方程組的一般屬性3.5.2 首次積分3.5.3 常系數的線性方程組3.5.4 方程組的常數變易法習題三第四章 一階偏微分方程4.1 簡介4.2 齊次線性方程4.3 非齊次方程的特解4.4 擬線性方程4.5 齊次方程組習題四第五章 二階線性偏微分方程5.1 多元方程5.1.1 固定點的分類5.1.2 伴隨線性微分算子5.2 含兩個自變量的方程的分類5.2.1 特征值，三種類型方程5.2.2 雙曲型方程的標準形式5.2.3 拋物線型方程的標準形式……第六章 非線性常微分方程第七章 非線性偏微分方程第八章 廣義函數或分布第九章 不變原理和基本解參考答案參考文獻索引

編輯推薦

　　《微分方程與數學物理問題》包含特為初學者，簡明和自包含的基本經典方法的介紹，輕松進入李群分析方法的學習，《微分方程與數學物理問題》所描述的方法有著廣泛的應用，友好的描述方式和實用的例子使《微分方程與數學物理問題》擁有眾多的讀者群。

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