近世代數(shù)三百題

前言

由馮克勤、李尚志、查建國、章璞編寫的《近世代數(shù)引論》，歷經(jīng)三版反復(fù)修改，作為數(shù)學(xué)系本科生教材使用已二十余年。這本教材有不少較難的習(xí)題。十幾年前，我們?cè)诮虒W(xué)過程中把這些習(xí)題的解答匯集成冊(cè)，并不斷增加一些新的問題；2002年起又將手寫稿不斷完善成打印稿，當(dāng)時(shí)都是為自己教學(xué)上的方便（有些難題同學(xué)問到，我們有時(shí)也難以當(dāng)場(chǎng)作答），從未打算正式出版。近年來，不少同學(xué)和青年教師口頭或來信索要這份材料。經(jīng)過反復(fù)和認(rèn)真考慮，我們決定對(duì)原稿進(jìn)行增刪加修訂，并交付出版。近世代數(shù)研究一般的代數(shù)結(jié)構(gòu)，它是大學(xué)生代數(shù)訓(xùn)練的一門重要課程。這種訓(xùn)練不僅對(duì)于數(shù)學(xué)系學(xué)生是很基本的，而且由于數(shù)字計(jì)算和數(shù)字通信的發(fā)展，近世代數(shù)目前已成為通信和計(jì)算機(jī)科學(xué)的重要數(shù)學(xué)工具。目前我國高等學(xué)校近世代數(shù)的教學(xué)有很大改進(jìn)和完善的余地。在代數(shù)研究方面有一定實(shí)力或教師梯隊(duì)較強(qiáng)的高校，代數(shù)教學(xué)具有好的水準(zhǔn)，學(xué)生受到較為充分的近世代數(shù)訓(xùn)練。而另有部分學(xué)校的近世代數(shù)為選修課，學(xué)時(shí)少并且沒有后續(xù)課程，不少學(xué)生只是聽到一些莫名其妙的定義和定理，做一點(diǎn)形式邏輯的推導(dǎo)，沒有領(lǐng)會(huì)到這門課程的真諦；并且在考試之后，就把學(xué)到的一點(diǎn)知識(shí)幾乎忘光了。對(duì)于二年級(jí)或三年級(jí)大學(xué)生來說，學(xué)習(xí)近世代數(shù)這門課普遍感到比較抽象，但是抽象恰恰是數(shù)學(xué)的基本特性之一，也是數(shù)學(xué)訓(xùn)練的一個(gè)重要方面。在這門課程中應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生學(xué)會(huì)抽象的思維方式，如何從許多具體的數(shù)學(xué)研究對(duì)象中提煉出它們的本質(zhì)f群、環(huán)、域的定義），并且從這些本質(zhì)的共性中推導(dǎo)出其他共性（各種類型群、環(huán)、域的公共性質(zhì)），如何對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行合理的分類，學(xué)會(huì)不同研究對(duì)象之間的比較方式（即同態(tài)），并以此來研究各種對(duì)象的代數(shù)結(jié)構(gòu)。這些數(shù)學(xué)思考方式的訓(xùn)練不僅對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域是重要的，而且對(duì)于其他科學(xué)領(lǐng)域（乃至于社會(huì)生活1也是基本的。

內(nèi)容概要

由馮克勤、李尚志、查建國、章璞編寫的《近世代數(shù)引論》，歷經(jīng)三版反復(fù)修改，作為數(shù)學(xué)系本科生教材使用已二十余年。這本教材有不少較難的習(xí)題。本書則把編者們?cè)诮虒W(xué)過程中對(duì)這些習(xí)題的解答匯集成冊(cè)，并不斷增加一些新的問題。旨在幫助同學(xué)和年輕教師進(jìn)一步了解解近世代數(shù)的真諦，掌握它的思想和方法，提高抽象思維能力。

書籍目錄

第一部分  問題總匯  第1章  群論    §1  集合與映射    §2  群的概念    §3  子群和陪集分解    §4  循環(huán)群    §5  正規(guī)子群和商群    §6  置換群    §7  群在集合上的作用    §8  sylow定理    §9  自由群和群的表現(xiàn)    §10  有限生成Abel群    §11  小階群的結(jié)構(gòu)    §12  可解群和冪零群  第2章  環(huán)論    §1  基本概念    §2  環(huán)的同構(gòu)定理    §3  同態(tài)的應(yīng)用    §4  各類整環(huán)    §5  多項(xiàng)式環(huán)  第3章  域論    §1  域的擴(kuò)張    §2  分裂域    §3  有限域的結(jié)構(gòu)    §4  有限域上的不可約多項(xiàng)式    §5  有限域上的線性代數(shù)    §6  可分?jǐn)U張    §7  正規(guī)擴(kuò)張  第4章  Galois理論    §1  基本定理    §2  方程的Galois群    §3  方程的根式可解性第二部分  問題解答  第1章  群論    §1  集合與映射    §2  群的概念    §3  子群和陪集分解    §4  循環(huán)群    §5  正規(guī)子群和商群    §6  置換群    §7  群在集合上的作用    §8  Sylow定理    §9  自由群和群的表現(xiàn)    §10  有限生成Abel群    §11  小階群的結(jié)構(gòu)    §12  可解群和冪零群  第2章  環(huán)論    §1  基本概念    §2  環(huán)的同構(gòu)定理    §3  同態(tài)的應(yīng)用    §4  各類整環(huán)    §5  多項(xiàng)式環(huán)  第3章  域論    §1  域的擴(kuò)張    §2  分裂域    §3  有限域的結(jié)構(gòu)    §4  有限域上的不可約多項(xiàng)式    §5  有限域上的線性代數(shù)    §6  可分?jǐn)U張    §7  正規(guī)擴(kuò)張  第4章  Galois理論    §1  基本定理    §2  方程的Galois群    §3  方程的根式可解性參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

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《近世代數(shù)三百題》：數(shù)學(xué)類專業(yè)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)叢書。

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