數(shù)學(xué)在19世紀(jì)的發(fā)展（第二卷）

內(nèi)容概要

　　本書是f．克萊因的名著《數(shù)學(xué)在19世紀(jì)的發(fā)展》的第二卷。與第一卷有所不同，它是專門講述不變量理論以及相對(duì)論的數(shù)學(xué)源頭，即相對(duì)論的數(shù)學(xué)史前史的，其中也包括了克萊因本人的一些研究成果。從數(shù)學(xué)上來(lái)講，狹義相對(duì)論可以說(shuō)就是在lorentz變換群下的不變量理論，而廣義相對(duì)論則可說(shuō)是在一般點(diǎn)變換群下的不變量理論。在這個(gè)意義上，相對(duì)論與克萊因的《erlangen綱領(lǐng)》在思想上是一脈相承的。相對(duì)論與19世紀(jì)數(shù)學(xué)在思想上與歷史上的聯(lián)系第一次在本書中得到了詳細(xì)的論述。
　　本書不再是按時(shí)間發(fā)展的順序講述，而是將不變量理論及其在物理學(xué)中的應(yīng)用歸攏到一起做系統(tǒng)的講述。時(shí)至今日，它仍是學(xué)習(xí)不變量理論及其應(yīng)用的一本極好的教材，對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和物理的學(xué)生和教師都有極高的參考價(jià)值，也適合對(duì)數(shù)學(xué)及科學(xué)思想文化發(fā)展感興趣的讀者閱讀。

作者簡(jiǎn)介

　　作者: F.克萊因
　　F．克萊因(F．Klein，1849—1925)19世紀(jì)后半葉至20世紀(jì)初最重要的數(shù)學(xué)家之一。他的貢獻(xiàn)最為人所知的可能是關(guān)于幾何學(xué)的埃爾朗根綱領(lǐng)，但是實(shí)際上遠(yuǎn)不止此，而是貫穿了幾何、代數(shù)、復(fù)分析、群論和數(shù)學(xué)物理等多個(gè)方面。他一直主張純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的統(tǒng)一，數(shù)學(xué)與物理、力學(xué)的統(tǒng)一，在數(shù)學(xué)內(nèi)部則主張各個(gè)分支的統(tǒng)一。他認(rèn)為自己最大的貢獻(xiàn)正是在復(fù)分析、代數(shù)與幾何的統(tǒng)一上所做出的努力。在方法論上，他的主張邏輯思維與幾何直覺的統(tǒng)一也是非常突出的。在他的后半生，因?yàn)榻】店P(guān)系不能再繼續(xù)獨(dú)創(chuàng)性的科研工作。

書籍目錄

《數(shù)學(xué)翻譯叢書》序　
編者前言　
引言　
第一章　線性不變量理論的基本概念初步　
　a　一般線性不變量理論概述　
　1　線性代換．不變量的概念　
　2　graβmann層量　
　3　關(guān)于我們的量叢(特別是graβmann層量)的幾何意義　
　4　二次型及其不變量　
　5　關(guān)于二次型的等價(jià)　
　6　由一個(gè)二次型確定仿射度量　
　7　關(guān)于含同步變量的雙線性型和含逆步變量的雙線性型　
　b　線性不變量理論的意義隨向量分析的引入而導(dǎo)致的擴(kuò)充　
　1　關(guān)于erlangen綱領(lǐng)　
　2　對(duì)三維空間的特殊考察　
　3　四元數(shù)插話　
　4　過(guò)渡到向量代數(shù)和張量代數(shù)的基本概念　
　5　向量分析(張量分析)的引入　
　6　向量學(xué)中的不變量理論表述　
　7　關(guān)于在maxwell的treatise(通論)之后向量學(xué)在各國(guó)的發(fā)展　
　第一章注釋　
第二章　力學(xué)與數(shù)學(xué)物理中的狹義相對(duì)論　
　a　經(jīng)典天體力學(xué)與galilei-newton群的相對(duì)論　
　1　從n體問(wèn)題的微分方程看群的定義和意義　
　2　關(guān)于經(jīng)典力學(xué)n體問(wèn)題的10個(gè)通積分　
　b　maxwell電動(dòng)力學(xué)和lorentz群的相對(duì)論　
?、　?dǎo)論　
　1　自由以太的maxwell方程組　
　2　正交形式下的lorentz群　
　3　返回到x，y，z，t　
　4　談電學(xué)和原子的概念在maxwell的通論發(fā)表(1873)后的發(fā)展　
　5　關(guān)于20世紀(jì)以前對(duì)maxwell理論的數(shù)學(xué)處理　
　6　關(guān)于lorentz群的發(fā)展過(guò)程　
　7　關(guān)于新學(xué)說(shuō)的進(jìn)一步的傳播．1911年及1909年以后的發(fā)展　
?、ⅰ≡谡恍问较耹orentz群的處理　
　1　相應(yīng)四維分析綱要　
　2　再談四元數(shù)　
　3　關(guān)于用積分關(guān)系式來(lái)代替maxwell方程組　
　4　四維勢(shì)以及與之相關(guān)的變分定理　
　5　我們的四維分析在具體問(wèn)題上的應(yīng)用舉例　
　6　lorentz群的相對(duì)論　
?、！』貧wlorentz群的實(shí)數(shù)關(guān)系　
　1　導(dǎo)論　
　2　幾何的輔助概念　
　3　借助進(jìn)一步的幾何運(yùn)算完善我們的物理世界圖像　
　4　關(guān)于偏微分方程　的求積簡(jiǎn)史　
　5　初等光學(xué)，特別是幾何光學(xué)，作為maxwell方程組的第一級(jí)近似　
　c　關(guān)于力學(xué)與lorentz群的相對(duì)論的相適應(yīng)　
　1　從lorentz群向galilei-newton群的極限過(guò)渡　
　2　單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)　
　3　談剛體的理論　
　結(jié)束語(yǔ)　
　第二章注釋　
第三章　以二次微分形式為基礎(chǔ)的解析點(diǎn)變換群　
　a　經(jīng)典力學(xué)的一般lagrange方程　
　引言　
　1　lagrange方程及其g∞群的引入　
　2　lagrange方程的g∞群和galilei　newton群　copernicus坐標(biāo)系和ptolemy坐標(biāo)系　
　3　簡(jiǎn)化變分原理，過(guò)渡到幾何　
　b　建立在gauβ的《disquisitiones　circa　superficies　curvas(曲面理論的一般研究)》的基礎(chǔ)之上的二維流形的內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)　
　1　概述　
　2　關(guān)于測(cè)地線的微分方程　
　3　在不變量理論框架中g(shù)aub曲面論中幾個(gè)最簡(jiǎn)單的定理和概念　
　4　談gauβ全曲率概念的引入　
　5　關(guān)于在任意給定的ds2下全曲率k的解析表示　
　6　riemann公式的證明以及幾種相應(yīng)的計(jì)算　
　7　關(guān)于兩個(gè)二元ds2之間的等價(jià)．全曲率為常量時(shí)的詳情　
　c　n維riemann流形　i．形式基礎(chǔ)　
　1　歷史簡(jiǎn)述　
　2　只有一階微分的微分形式　
　3　關(guān)于riemann全曲率的開場(chǎng)白　
　4　測(cè)地線方程以及與之相關(guān)的不變量　
　5　riemann的[ω]　
　6　riemann全曲率的計(jì)算公式　
　d　n維riemann流形　ii．正規(guī)坐標(biāo)．幾何意義　
　1　riemann正規(guī)坐標(biāo)及其所屬的ds2的結(jié)構(gòu)　
　2　限制到o的最近的鄰域．kn的一般幾何意義　
　3　位置不變量k的幾何意義　
　4　最簡(jiǎn)單的方向不變量的幾何意義．過(guò)渡到平均曲率k(n-1)　
　5　在零全曲率空間或定常全曲率空間中的等價(jià)問(wèn)題　
　e　riemann之后的若干進(jìn)一步發(fā)展　
　1　1870年前后出現(xiàn)的一些人物的個(gè)性以及他們的后續(xù)影響　
　2　beltrami的構(gòu)造不變量的方法　
　3　lipschitz與christoffel：通過(guò)微分和消元法，特別是通過(guò)“逆步微分”構(gòu)造不變量　
　4　談christoffel在1869年的論文　
　5　用無(wú)限小變換表征不變量(lie)　
　6　關(guān)于一任意張量tik的向量散度　
　結(jié)束語(yǔ)　
　第三章注釋　
附錄ⅰ　dr.　felix　klein：對(duì)新近以來(lái)幾何學(xué)研究的比較考察　
附錄ⅱ　bernhard　riemann：?jiǎn)螐?fù)變量函數(shù)一般理論基礎(chǔ)　
附錄ⅲ　bernhard　riemann：論奠定幾何學(xué)基礎(chǔ)之假設(shè)　
附錄ⅳ　bernhard　riemann：對(duì)試圖回答最著名的巴黎科學(xué)院所提出問(wèn)題的數(shù)學(xué)評(píng)述　
人名索引　
專業(yè)名詞索引　
譯后記

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁(yè)：插圖：在數(shù)學(xué)中引進(jìn)復(fù)數(shù)量的原因及其最切近的目的就在用簡(jiǎn)單量的運(yùn)算所表達(dá)的變量間相互關(guān)聯(lián)的規(guī)律理論之中，特別是，如果我們把這些規(guī)律應(yīng)用于一個(gè)擴(kuò)大了的范圍內(nèi)，即對(duì)它們所涉及的變量給以復(fù)數(shù)值，那么一種以往是隱藏著的和諧與規(guī)律性就會(huì)顯現(xiàn)出來(lái)，發(fā)生這種現(xiàn)象的情況直至現(xiàn)在還才只包括一個(gè)小小的領(lǐng)域——它幾乎全都可以歸結(jié)到兩個(gè)變量之間的那樣一種相互關(guān)聯(lián)規(guī)律，其中要么一個(gè)變量是另一個(gè)的代數(shù)函數(shù)，要么是這樣一種函數(shù)，它的微商是個(gè)代數(shù)函數(shù)——但是在這里所作的幾乎每一步不僅給那些未用復(fù)變量所得的結(jié)果一個(gè)更簡(jiǎn)單、更完整的形式，而且還為新的發(fā)現(xiàn)開辟了道路，這方面對(duì)代數(shù)函數(shù)，圓函數(shù)或者指數(shù)函數(shù)，橢圓及Abel函數(shù)的研究的歷史就是明證。下面將簡(jiǎn)短地提示一下，通過(guò)我們對(duì)這種函數(shù)的研究得到了一些什么樣結(jié)果。至今為止對(duì)這種函數(shù)的研究方法都是以一個(gè)表達(dá)式作為定義為基礎(chǔ)，這個(gè)表達(dá)式對(duì)它的自變量每一個(gè)值得出這個(gè)函數(shù)的一個(gè)值；通過(guò)我們的研究證明，由于單個(gè)復(fù)變量函數(shù)的一般特性，在這種定義中定義面塊中有一部分面塊上的規(guī)定是其余部分定義面塊的推論，而且定義面塊的范圍可縮小到為確定所必需，這大大地簡(jiǎn)化了處理。例如為了證明同一函數(shù)的兩個(gè)表達(dá)式的相等，以往我們就要將一個(gè)表達(dá)式轉(zhuǎn)變成另一個(gè)表達(dá)式，這也就是要證明，對(duì)自變量每一個(gè)值二者均一致；現(xiàn)在只要證明它們?cè)谝粋€(gè)遠(yuǎn)小得多的范圍內(nèi)一致就足夠了。

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