數(shù)學在19世紀的發(fā)展（第二卷）

內(nèi)容概要

　　本書是f．克萊因的名著《數(shù)學在19世紀的發(fā)展》的第二卷。與第一卷有所不同，它是專門講述不變量理論以及相對論的數(shù)學源頭，即相對論的數(shù)學史前史的，其中也包括了克萊因本人的一些研究成果。從數(shù)學上來講，狹義相對論可以說就是在lorentz變換群下的不變量理論，而廣義相對論則可說是在一般點變換群下的不變量理論。在這個意義上，相對論與克萊因的《erlangen綱領》在思想上是一脈相承的。相對論與19世紀數(shù)學在思想上與歷史上的聯(lián)系第一次在本書中得到了詳細的論述。
　　本書不再是按時間發(fā)展的順序講述，而是將不變量理論及其在物理學中的應用歸攏到一起做系統(tǒng)的講述。時至今日，它仍是學習不變量理論及其應用的一本極好的教材，對學習數(shù)學和物理的學生和教師都有極高的參考價值，也適合對數(shù)學及科學思想文化發(fā)展感興趣的讀者閱讀。

作者簡介

　　作者: F.克萊因
　　F．克萊因(F．Klein，1849—1925)19世紀后半葉至20世紀初最重要的數(shù)學家之一。他的貢獻最為人所知的可能是關于幾何學的埃爾朗根綱領，但是實際上遠不止此，而是貫穿了幾何、代數(shù)、復分析、群論和數(shù)學物理等多個方面。他一直主張純粹數(shù)學與應用數(shù)學的統(tǒng)一，數(shù)學與物理、力學的統(tǒng)一，在數(shù)學內(nèi)部則主張各個分支的統(tǒng)一。他認為自己最大的貢獻正是在復分析、代數(shù)與幾何的統(tǒng)一上所做出的努力。在方法論上，他的主張邏輯思維與幾何直覺的統(tǒng)一也是非常突出的。在他的后半生，因為健康關系不能再繼續(xù)獨創(chuàng)性的科研工作。

書籍目錄

《數(shù)學翻譯叢書》序　
編者前言　
引言　
第一章　線性不變量理論的基本概念初步　
　a　一般線性不變量理論概述　
　1　線性代換．不變量的概念　
　2　graβmann層量　
　3　關于我們的量叢(特別是graβmann層量)的幾何意義　
　4　二次型及其不變量　
　5　關于二次型的等價　
　6　由一個二次型確定仿射度量　
　7　關于含同步變量的雙線性型和含逆步變量的雙線性型　
　b　線性不變量理論的意義隨向量分析的引入而導致的擴充　
　1　關于erlangen綱領　
　2　對三維空間的特殊考察　
　3　四元數(shù)插話　
　4　過渡到向量代數(shù)和張量代數(shù)的基本概念　
　5　向量分析(張量分析)的引入　
　6　向量學中的不變量理論表述　
　7　關于在maxwell的treatise(通論)之后向量學在各國的發(fā)展　
　第一章注釋　
第二章　力學與數(shù)學物理中的狹義相對論　
　a　經(jīng)典天體力學與galilei-newton群的相對論　
　1　從n體問題的微分方程看群的定義和意義　
　2　關于經(jīng)典力學n體問題的10個通積分　
　b　maxwell電動力學和lorentz群的相對論　
?、　д摗?br />　1　自由以太的maxwell方程組　
　2　正交形式下的lorentz群　
　3　返回到x，y，z，t　
　4　談電學和原子的概念在maxwell的通論發(fā)表(1873)后的發(fā)展　
　5　關于20世紀以前對maxwell理論的數(shù)學處理　
　6　關于lorentz群的發(fā)展過程　
　7　關于新學說的進一步的傳播．1911年及1909年以后的發(fā)展　
?、ⅰ≡谡恍问较耹orentz群的處理　
　1　相應四維分析綱要　
　2　再談四元數(shù)　
　3　關于用積分關系式來代替maxwell方程組　
　4　四維勢以及與之相關的變分定理　
　5　我們的四維分析在具體問題上的應用舉例　
　6　lorentz群的相對論　
?、！』貧wlorentz群的實數(shù)關系　
　1　導論　
　2　幾何的輔助概念　
　3　借助進一步的幾何運算完善我們的物理世界圖像　
　4　關于偏微分方程　的求積簡史　
　5　初等光學，特別是幾何光學，作為maxwell方程組的第一級近似　
　c　關于力學與lorentz群的相對論的相適應　
　1　從lorentz群向galilei-newton群的極限過渡　
　2　單個質(zhì)點的動力學　
　3　談剛體的理論　
　結束語　
　第二章注釋　
第三章　以二次微分形式為基礎的解析點變換群　
　a　經(jīng)典力學的一般lagrange方程　
　引言　
　1　lagrange方程及其g∞群的引入　
　2　lagrange方程的g∞群和galilei　newton群　copernicus坐標系和ptolemy坐標系　
　3　簡化變分原理，過渡到幾何　
　b　建立在gauβ的《disquisitiones　circa　superficies　curvas(曲面理論的一般研究)》的基礎之上的二維流形的內(nèi)蘊幾何學　
　1　概述　
　2　關于測地線的微分方程　
　3　在不變量理論框架中gaub曲面論中幾個最簡單的定理和概念　
　4　談gauβ全曲率概念的引入　
　5　關于在任意給定的ds2下全曲率k的解析表示　
　6　riemann公式的證明以及幾種相應的計算　
　7　關于兩個二元ds2之間的等價．全曲率為常量時的詳情　
　c　n維riemann流形　i．形式基礎　
　1　歷史簡述　
　2　只有一階微分的微分形式　
　3　關于riemann全曲率的開場白　
　4　測地線方程以及與之相關的不變量　
　5　riemann的[ω]　
　6　riemann全曲率的計算公式　
　d　n維riemann流形　ii．正規(guī)坐標．幾何意義　
　1　riemann正規(guī)坐標及其所屬的ds2的結構　
　2　限制到o的最近的鄰域．kn的一般幾何意義　
　3　位置不變量k的幾何意義　
　4　最簡單的方向不變量的幾何意義．過渡到平均曲率k(n-1)　
　5　在零全曲率空間或定常全曲率空間中的等價問題　
　e　riemann之后的若干進一步發(fā)展　
　1　1870年前后出現(xiàn)的一些人物的個性以及他們的后續(xù)影響　
　2　beltrami的構造不變量的方法　
　3　lipschitz與christoffel：通過微分和消元法，特別是通過“逆步微分”構造不變量　
　4　談christoffel在1869年的論文　
　5　用無限小變換表征不變量(lie)　
　6　關于一任意張量tik的向量散度　
　結束語　
　第三章注釋　
附錄ⅰ　dr.　felix　klein：對新近以來幾何學研究的比較考察　
附錄ⅱ　bernhard　riemann：單復變量函數(shù)一般理論基礎　
附錄?！ernhard　riemann：論奠定幾何學基礎之假設　
附錄ⅳ　bernhard　riemann：對試圖回答最著名的巴黎科學院所提出問題的數(shù)學評述　
人名索引　
專業(yè)名詞索引　
譯后記

章節(jié)摘錄

版權頁：插圖：在數(shù)學中引進復數(shù)量的原因及其最切近的目的就在用簡單量的運算所表達的變量間相互關聯(lián)的規(guī)律理論之中，特別是，如果我們把這些規(guī)律應用于一個擴大了的范圍內(nèi)，即對它們所涉及的變量給以復數(shù)值，那么一種以往是隱藏著的和諧與規(guī)律性就會顯現(xiàn)出來，發(fā)生這種現(xiàn)象的情況直至現(xiàn)在還才只包括一個小小的領域——它幾乎全都可以歸結到兩個變量之間的那樣一種相互關聯(lián)規(guī)律，其中要么一個變量是另一個的代數(shù)函數(shù)，要么是這樣一種函數(shù)，它的微商是個代數(shù)函數(shù)——但是在這里所作的幾乎每一步不僅給那些未用復變量所得的結果一個更簡單、更完整的形式，而且還為新的發(fā)現(xiàn)開辟了道路，這方面對代數(shù)函數(shù)，圓函數(shù)或者指數(shù)函數(shù)，橢圓及Abel函數(shù)的研究的歷史就是明證。下面將簡短地提示一下，通過我們對這種函數(shù)的研究得到了一些什么樣結果。至今為止對這種函數(shù)的研究方法都是以一個表達式作為定義為基礎，這個表達式對它的自變量每一個值得出這個函數(shù)的一個值；通過我們的研究證明，由于單個復變量函數(shù)的一般特性，在這種定義中定義面塊中有一部分面塊上的規(guī)定是其余部分定義面塊的推論，而且定義面塊的范圍可縮小到為確定所必需，這大大地簡化了處理。例如為了證明同一函數(shù)的兩個表達式的相等，以往我們就要將一個表達式轉變成另一個表達式，這也就是要證明，對自變量每一個值二者均一致；現(xiàn)在只要證明它們在一個遠小得多的范圍內(nèi)一致就足夠了。

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《數(shù)學在19世紀的發(fā)展(第2卷)》是數(shù)學翻譯叢書之一。

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