數(shù)論基礎(chǔ)

內(nèi)容概要

　　《現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：數(shù)論基礎(chǔ)》秉承了潘先生著作的一貫風格，內(nèi)容由淺入深、循序漸進，既精選緊湊，又全面深刻，同時附有大量的習題。《現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：數(shù)論基礎(chǔ)》內(nèi)容獨具一格，富有啟發(fā)性，能夠引導(dǎo)讀者迅速進入數(shù)論的核心領(lǐng)域，了解數(shù)論最基本的思想和方法。書中定理和結(jié)論的證明簡潔明快，既注重數(shù)論的技巧之美，又清晰地勾勒出數(shù)論方法的系統(tǒng)性。全書共分七章，內(nèi)容包括：整數(shù)的可除性，數(shù)論函數(shù)，素數(shù)分布的一些初等結(jié)果，同余，二次剩余與Gauss互反律，指數(shù)、原根和指標，Dirichlet特征等?！　　冬F(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：數(shù)論基礎(chǔ)》可供數(shù)學(xué)及相關(guān)專業(yè)的本科生、研究生和教師使用參考，也可供對數(shù)論感興趣的數(shù)學(xué)愛好者閱讀。

作者簡介

潘承洞（1934—1997），數(shù)學(xué)家、教育家，中國科學(xué)院院士，曾任山東大學(xué)校長，在哥德巴赫猜想等著名數(shù)論難題研究中取得卓越成就，著有《哥德巴赫猜想》和《解析數(shù)論基礎(chǔ)》等專著（與胞弟潘承彪合作）。本書原稿是潘承洞先生生前所寫的一本講義。

書籍目錄

第一章 整數(shù)的可除性 1 整除，帶余數(shù)除法 2 最大公約數(shù)，最小公倍數(shù) 3 輾轉(zhuǎn)相除法 4 一次不定方程 5 函數(shù)[x]{x} 習題 第二章 數(shù)論函數(shù) 1 數(shù)論函數(shù)舉例 2 Dirichlet乘積 3 可乘函數(shù) 4 階的估計 5 廣義Dirichlet乘積 習題 第三章 素數(shù)分布的一些初等結(jié)果 1 函數(shù)π（x） 2 Chebyshev定理 3 函數(shù)w（n）與Ω（n） 4 Bertrand假設(shè) 5 函數(shù)M（x） 6 函數(shù)L（x） 習題 第四章 同余 1 概念及基本性質(zhì) 2 剩余類及剩余系 3 同余方程的一般概念，一次同余方程 4 孫子定理 5 多項式的（恒等）同余 6 模p的高次同余方程 習題 第五章 二次剩余與Gauss互反律 1 二次剩余 2 Legendre符號 3 Jacobi符號 習題 第六章 指數(shù)、原根和指標 1 指數(shù)和原根 2原根存在定理 3模Pα（P≥2）簡化系的改造 4指標與指標組 5二項同余方程 習題 第七章 Dirichlet特征 1模為素數(shù)冪的特征的定義及其性質(zhì) 2任意模的特征的定義及其性質(zhì) 3特征和 校后記

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁：   插圖：   只有唯一解，所以除了一個t外，剩下的P一1個t（modp）均使（17）式成立。所以我們可以用g或g+P去試算，看其是否為p2的原根，因為兩者必有一個是P2的原根。下面來證明這樣的g+top是所有的Pα（α1≥1）的原根。從（16）式容易看出，這樣的t0一定滿足下面的α—1個式子， （g+top）p—1≠1（mod p2），所以為P2的原根， （g+top）P（P—1）≠1（modp3），所以為P3的原根， （g+top）p—2（p一1）≠1（mod pα），所以為pα的原根。 引理證畢。 引理4設(shè)α≥1，若g為Pα（p>2）的原根，則g和g+Pα中為奇數(shù)者是2pα的原根。 證因為g和g+Pα均為Pα的原根，所以不妨假設(shè)g為奇數(shù)，（g，2pα）=1.設(shè)g對2pα的次數(shù)為d，所以d｜ψ（2pα）=ψ（pα），但另一方面從gd≡1（mod 2pα）推出gd≡1（modpα），所以ψ（pα）｜d。因此必有d=ψ（pα）=ψ（2pα），亦即g為2pα的原根，證畢。 由上面幾個引理立即得到下面的定理。 定理11當n=2，4，Pα，2pα（P>2）時，必有原根存在。 定理12若模n有原根存在，則對模n次數(shù)為d的數(shù)的個數(shù)為ψ（d），特別地，對模n有ψ（ψ（n））個原根。 證因為g為模n的原根，所以 g0，g1，…，gψ（n）—1 為模n的一個簡化系，我們要在這ψ（n）個數(shù)中去找出次數(shù)為d的數(shù)，即在gλ，0≤λ≤ψ（n）—1中找出有多少個入，使得gλ的次數(shù)為d，由定理5，得到 δn（gλ）=δn（g）／（δn（g），λ）=ψ（n）／（ψ（n），λ）。所以δn（gλ）=d的數(shù)的個數(shù)，即為當0≤λ≤ψ（n）—1且滿足 （ψ（n），λ）=ψ（n）／d （19） 的λ的個數(shù)，由（19）式看出入必有形式λ=（ψ（n）／d）k，0≤k≤d—1，因此k必須滿足（d，k）=1，0≤k≤d—1，由此推出k的個數(shù)為ψ（d）個，亦即λ有ψ（d）個，定理得證。

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