數(shù)論導引

前言

Hardy和Wright的《數(shù)論導引》一書初版于1938年，是作者多年在英國牛津大學、劍橋大學、阿伯丁大學以及其他大學所作的若干數(shù)論講座講義的匯編?，F(xiàn)在出版的中文譯本是以原英文書第5版為藍本翻譯的。到今年，原書初版已整整70年了。在這70年中，數(shù)論本身已經有了長足的進展，它的理論、方法都有了巨大的發(fā)展和進步，人們在對解析數(shù)論、代數(shù)數(shù)論、超越數(shù)論以及計算數(shù)論等許多重要問題的研究中取得了令人矚目的重大成果，完整或者部分解決了一批著名的數(shù)論難題。

內容概要

　　《An Introduction to the Theory of Numbers數(shù)論導引(第5版)》是一本經典的數(shù)論名著， 取材于作者在牛津大學、劍橋大學等大學授課的講義。主要包括素數(shù)理論、無理數(shù)、費馬定理、同余式理論、連分數(shù)、用有理數(shù)逼近無理數(shù)、不定方程、二次域、算術函數(shù)、數(shù)的分劃等內容。每章章末都提供了相關的附注， 書后還附有譯者編寫的相關內容的最新進展， 便于讀者進一步學習。　　《An Introduction to the Theory of Numbers數(shù)論導引(第5版)》可供數(shù)學專業(yè)高年級學生、研究生、大學老師以及對數(shù)論感興趣的專業(yè)讀者學習參考。

作者簡介

作者：(英國)G.H.Hardy E.M.Wright 譯者：張明堯 張凡G．H．Hardy（1877-1947）享有世界聲譽的數(shù)學大師，英國分析學派的創(chuàng)始人之一。數(shù)學貢獻涉及解析數(shù)論、調和分析、函數(shù)論等方面。培養(yǎng)和指導了包括印度數(shù)學奇才拉馬努金和我國數(shù)學家華羅庚在內的眾多數(shù)學大家。E．M．Wright（1906-2005）英國著名數(shù)學家，畢業(yè)于牛津大學，曾多年擔任英國名校阿伯丁大學校長）J,JournalofGraph Theory ZentralblattfiirMathematik的名譽主編。愛丁堡皇家學會會士、倫敦數(shù)學會會士。主要研究解析數(shù)論、圖論等領域。

書籍目錄

第1章　素數(shù)(1)　11.1　整除性　11.2　素數(shù)　21.3　算術基本定理的表述　31.4　素數(shù)序列　41.5　關于素數(shù)的某些問題　51.6　若干記號　61.7　對數(shù)函數(shù)　81.8　素數(shù)定理的表述　9本章附注　10　第2章　素數(shù)(2)　112.1　Euclid第二定理的第一個證明　112.2　Euclid方法的推論　112.3　某種算術級數(shù)中的素數(shù)　122.4　Euclid定理的第二個證明　132.5　Fermat數(shù)和Mersenne數(shù)　142.6　Euclid定理的第三個證明　162.7　關于素數(shù)公式的進一步結果　172.8　關于素數(shù)的未解決的問題　182.9　整數(shù)模　192.10　算術基本定理的證明　202.11　基本定理的另一個證明　21本章附注　21　第3章　Farey數(shù)列和Minkowski定理　233.1　Farey數(shù)列的定義和最簡單的性質　233.2　兩個特征性質的等價性　243.3　定理28和定理29的第一個證明　253.4　定理28和定理29的第二個證明　253.5　整數(shù)格　263.6　基本格的某些簡單性質　273.7　定理28和定理29的第三個證明　293.8　連續(xù)統(tǒng)的Farey分割　293.9　Minkowski定理　303.10　Minkowski定理的證明　323.11　定理37的進一步拓展　33本章附注　35　第4章　無理數(shù)　374.1　概論　374.2　已知的無理數(shù)　384.3　Pythagoras定理及其推廣　384.4　基本定理在定理43至定理45證明中的應用　404.5　歷史雜談　414.6　sqrt5無理性的幾何證明　424.7　更多的無理數(shù)　43本章附注　45　第5章　同余和剩余　475.1　最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)　475.2　同余和剩余類　485.3　同余式的初等性質　495.4　線性同余式　505.5　Euler函數(shù)φ(m)　525.6　把定理59和定理61應用到三角和中　545.7　一個一般性的原理　575.8　正十七邊形的構造　58本章附注　62　第6章　Fermat定理及其推論　646.1　Fermat定理　646.2　二項系數(shù)的某些性質　656.3　定理72的第二個證明　676.4　定理22的證明　676.5　二次剩余　686.6　定理79的特例：Wilson定理　706.7　二次剩余和非剩余的初等性質　716.8　a(mod m)的階　736.9　Fermat定理的逆定理　746.10　2p-1-1是否能被p2整除　756.11　Gauss引理和2的二次特征　766.12　二次互倒律　796.13　二次互倒律的證明　816.14　素數(shù)的判定　826.15　Mersenne數(shù)的因子和Euler定理　84本章附注　84　第7章　同余式的一般性質　867.1　同余式的根　867.2　整多項式和恒等同余式　867.3　多項式(mod m)的整除性　887.4　素數(shù)模同余式的根　887.5　一般定理的某些應用　907.6　Fermat定理和Wilson定理的Lagrange證明　927.7　[1/2( p–1)]!的剩余　937.8　Wolstenholme定理　947.9　von Staudt定理　957.10　von Staudt定理的證明　97本章附注　99　第8章　復合模的同余式　1008.1　線性同余式　1008.2　高次同余式　1028.3　素數(shù)冪模的同余式　1028.4　例子　1048.5　Bauer的恒等同余式　1058.6　Bauer的同余式：p=2的情形　1078.7　Leudesdorf的一個定理　1088.8　Bauer定理的進一步的推論　1108.9　2p-1和(p-1)!關于模p2的同余式　112本章附注　114第9章　用十進制小數(shù)表示數(shù)　1159.1　與給定的數(shù)相伴的十進制小數(shù)　1159.2　有限小數(shù)和循環(huán)小數(shù)　1189.3　用其他進位制表示數(shù)　1199.4　用小數(shù)定義無理數(shù)　1209.5　整除性判別法　1229.6　有最大周期的十進制小數(shù)　1229.7　Bachet的稱重問題　1239.8　Nim博弈　1259.9　缺失數(shù)字的整數(shù)　1279.10　測度為零的集合　1289.11　缺失數(shù)字的十進制小數(shù)　1309.12　正規(guī)數(shù)　1319.13　幾乎所有的數(shù)都是正規(guī)數(shù)的證明　133本章附注　136第10章　連分數(shù)　13710.1　有限連分數(shù)　13710.2　連分數(shù)的漸近分數(shù)　13810.3　商為正的連分數(shù)　13910.4　簡單連分數(shù)　14010.5　用簡單連分數(shù)表示不可約有理分數(shù)　14110.6　連分數(shù)算法和Euclid算法　14310.7　連分數(shù)與其漸近分數(shù)的差　14510.8　無限簡單連分數(shù)　14710.9　用無限連分數(shù)表示無理數(shù)　14810.10　一個引理　15010.11　等價的數(shù)　15110.12　周期連分數(shù)　15410.13　某些特殊的二次根式　15610.14　Fibonacci數(shù)列和Lucas數(shù)列　15810.15　用漸近分數(shù)作逼近　161本章附注　165　第11章　用有理數(shù)逼近無理數(shù)　16611.1　問題的表述　16611.2　問題的推廣　16711.3　Dirichlet的一個論證方法　16811.4　逼近的階　17011.5　代數(shù)數(shù)和超越數(shù)　17111.6　超越數(shù)的存在性　17211.7　Liouville定理和超越數(shù)的構造　17311.8　對任意無理數(shù)的最佳逼近的度量　17511.9　有關連分數(shù)的漸近分數(shù)的另一個定理　17611.10　具有有界商的連分數(shù)　17711.11　有關逼近的進一步定理　18011.12　聯(lián)立逼近　18211.13　e的超越性　18211.14　π的超越性　186本章附注　189第12章　k(1), k(i), k(p)zhongde算術基本定理　12.1　代數(shù)數(shù)和代數(shù)整數(shù)　19112.2　有理整數(shù)、Gauss整數(shù)和k(p)中的整數(shù)　19112.3　Euclid算法　19312.4　將Euclid算法應用到k(1)中的基本定理　19312.5　關于Euclid算法和基本定理的歷史注釋　19512.6　Gauss整數(shù)的性質　19512.7　k(i)中的素元　19712.8　k(i)中的算術基本定理　19912.9　k(p)中的整數(shù)　201本章附注　204第13章　某些Diophantus方程　20513.1　Fermat大定理　20513.2　方程x2+y2=z2　20513.3　方程x4+y4=z4　20613.4　方程x3+y3=z3　20813.5　方程x3+y3=3z3　21113.6　用有理數(shù)的三次冪之和表示有理數(shù)　21313.7　方程x3+y3+z3=t3　215本章附注　218　第14章　二次域(1)　22014.1　代數(shù)數(shù)域　22014.2　代數(shù)數(shù)和代數(shù)整數(shù), 本原多項式　22114.3　一般的二次域k(√m 22214.4　單位和素元　22314.5　k(√2）中的單位　22514.6　基本定理不成立的數(shù)域　22714.7　復Euclid域　22814.8　實Euclid域　23014.9　實Euclid域(續(xù))　232本章附注　234　第15章　二次域(2)　23515.1　k(i)中的素元　23515.2　k(i)中的Fermat定理　23615.3　k(o)中的素元　23715.4　k(sqrt 2)和k(sqrt 5)中的素元　23815.5　Mersenne數(shù)M4n+3的素性的Lucas判別法　24115.6　二次域算術上的一般性注釋　24315.7　二次域中的理想　24415.8　其他的域　247本章附注　248第16章　算術函數(shù)φ(n),μ(n),d(n),σ(n),r(n)　24916.1　函數(shù)φ(n)　24916.2　定理63的進一步證明　25016.3　M\oius函數(shù)　25016.4　Moius反轉公式　25216.5　進一步的反轉公式　25316.6　Ramanujan和的估計　25316.7　函數(shù)d(n)和σk(n)　25516.8　完全數(shù)　25616.9　函數(shù)r(n)　25716.10　r(n)公式的證明　258本章附注　259　第17章　算術函數(shù)的生成函數(shù)　26117.1　由Dirichlet級數(shù)生成算術函數(shù)　26117.2　ζ函數(shù)　26217.3　ζ(s)在s→1時的性狀　26317.4　Dirichlet級數(shù)的乘法　26517.5　某些特殊算術函數(shù)的生成函數(shù)　26717.6　Moius公式的解析說明　26817.7　函數(shù)A\(n)　27117.8　生成函數(shù)的進一步例子　27317.9　r(n)的生成函數(shù)　27417.10　其他類型的生成函數(shù)　275本章附注　277　第18章　算術函數(shù)的階　27918.1　d(n)的階　27918.2　d(n)的平均階　282　　18.3　σ(n)的階　28518.4　φ(n)的階　28618.5　φ(n)的平均階　28718.6　無平方因子數(shù)的個數(shù)　28818.7　r(n)的階　289本章附注　291第19章　分劃　29219.1　加性算術的一般問題　29219.2　數(shù)的分劃　29219.3　p(n)的生成函數(shù)　29319.4　其他的生成函數(shù)　29519.5　Euler的兩個定理　29619.6　進一步的代數(shù)恒等式　29819.7　F(x)的另一個公式　29919.8　Jacobi定理　30019.9　Jacobi恒等式的特例　30219.10　定理353的應用　30419.11　定理358的初等證明　30519.12　p(n)的同余性質　30619.13　Rogers-Ramanujan恒等式　30819.14　定理362和定理363的證明　31019.15　Ramanujan連分數(shù)　312本章附注　314　第20章　用兩個或四個平方和表示數(shù)　31620.1　Waring問題：數(shù)g(k)和G(k)　31620.2　平方和　31720.3　定理366的第二個證明　31820.4　定理366的第三個和第四個證明　31920.5　四平方定理　32020.6　四元數(shù)　32220.7　關于整四元數(shù)的預備定理　32420.8　兩個四元數(shù)的最高右公約數(shù)　32620.9　素四元數(shù)和定理370的證明　32720.10　g(2)和G(2)的值　32920.11　定理369的第三個證明的引理　32920.12　定理369的第三個證明：表法個數(shù)　33020.13　用多個平方和表示數(shù)　333本章附注　334第21章　用立方數(shù)以及更高次冪,表示數(shù)　33621.1　四次冪　33621.2　三次冪：G(3)和g(3)的存在性　33721.3　g(3)的界　33821.4　更高次冪　33921.5　g(k)的一個下界　34021.6　G(k)的下界　34121.7　受符號影響的和：數(shù)v(k)　34421.8　v(k)的上界　34521.9　Prouhet-Tarry問題：數(shù)P(k,j)　34721.10　對特殊的k和j, P(k,j)的估計　34921.11　Diophantus分析的進一步問題　351本章附注　354　第22章　素數(shù)(3)　36022.1　函數(shù)θ(x)和ψ(x)　36022.2　θ(x)和ψ(x)的階為x的證明　36122.3　Bertrand假設和一個關于素數(shù)的“公式”　36322.4　定理7和定理9的證明　36622.5　兩個形式變換　36722.6　一個重要的和　36822.7　∑p-1與∏(1–p-1)37022.8　Mertens定理　37222.9　定理323和定理328的證明　37422.10　n的素因子個數(shù)　37622.11　ω(n)和Ω(n)的正規(guī)階　37722.12　關于圓整數(shù)的一個注解　37922.13　d(n)的正規(guī)階　38022.14　Selberg定理　38122.15　函數(shù)R(x)和V(ξ)　38322.16　定理434、定理6和定理8證明的完成　38622.17　定理335的證明　38922.18　k個素因子的乘積　38922.19　區(qū)間中的素數(shù)　39222.20　關于素數(shù)對p,p+2分布的一個猜想　393本章附注　395第23章　Kronecker定理　39723.1　一維的Kronecker定理　39723.2　一維定理的證明　39823.3　反射光線的問題　40023.4　一般定理的表述　40223.5　定理的兩種形式　40323.6　一個例證　40523.7　Kronecker定理的Lettenmeyer證明　40523.8　Kronecker定理的Estermann證明　40723.9　Kronecker定理的Bohr證明　40923.10　一致分布　411本章附注　413　第24章　數(shù)的幾何　41424.1　基本定理的導引和重新表述　41424.2　簡單的應用　41524.3　定理448的算術證明　41724.4　最佳不等式　41924.5　關于ξ2+ξ2的最佳不等式　42024.6　關于ξ2+η2 的最佳不等式　42124.7　關于非齊次型的一個定理　42324.8　定理455的算術證明　42524.9　Tchebotaref定理　42624.10　Minkowski定理(定理446)的逆定理　428本章附注　432　附錄　436參考書目　438特殊符號以及術語索引　441常見人名對照表　444總索引　446補遺　457

章節(jié)摘錄

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媒體關注與評論

“這本引人入勝的書……對這一學科進行了生動、詳盡的敘述，而且沒有用到太多高深的理論?！薄　　狹athematical Gazette（數(shù)學公報）　　“……一本非常重要的著作……相信它一定能繼續(xù)保持長久、旺盛的生命力……”　　——Mathematical Reviews（數(shù)學評論）

編輯推薦

作為數(shù)論領域的一部傳世名著，《An Introduction to the Theory of Numbers數(shù)論導引(第5版)》自出版以來一直備受學界推崇，被很多知名大學（如牛津大學、麻省理工學院、加州大學伯克利分校、斯坦福大學等）指定為教材或參考書，具有廣泛而深入的影響?！禔n Introduction to the Theory of Numbers數(shù)論導引(第5版)》特色：內容翔實，框架清晰。提供了大量的史料和最新文獻。討論了一些尚未解決的數(shù)論難題。

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