出版時(shí)間:2008-11 出版社:人民郵電出版社 作者:陶哲軒 頁(yè)數(shù):464 譯者:王昆揚(yáng)
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前言
此書(shū)的材料來(lái)源于2003年我在加州大學(xué)洛杉磯分校教授高等本科水平實(shí)分析系列課程的講義。本科生普遍認(rèn)為實(shí)分析是最難學(xué)的課程之一,這不僅是由于許多抽象概念(例如拓?fù)洹O限、可測(cè)性,等等)初次遇到,而且也是由于課程所要求的證明的高度嚴(yán)格性。由于認(rèn)識(shí)到這個(gè)困難,老師常常面臨困難的選擇,要么降低課程的嚴(yán)格性水平而使其容易一些,要么保持嚴(yán)格的標(biāo)準(zhǔn)而去面對(duì)眾多學(xué)生、甚至很多優(yōu)秀學(xué)生在與課程的材料進(jìn)行艱難奮斗時(shí)的求助與企盼。面對(duì)此種困境,我嘗試用一種稍許不同的方式來(lái)處理這門(mén)課程。按照典型的方式,在實(shí)分析中一系列導(dǎo)引內(nèi)容是預(yù)先假定了的,假定學(xué)生已經(jīng)熟知實(shí)數(shù),熟知數(shù)學(xué)歸納法,熟悉初等微積分,并且熟悉集合論的基礎(chǔ)知識(shí),然后一下子就進(jìn)入課程的核心內(nèi)容,例如極限概念。通常確實(shí)會(huì)給進(jìn)入課程的學(xué)生輕描淡寫(xiě)地展示一下這些預(yù)備性的知識(shí),但在絕大多數(shù)情況下,這些材料都不是認(rèn)真地?cái)⑹龅摹@?,極少有學(xué)生能夠真正地定義實(shí)數(shù),甚或真正地定義整數(shù),盡管他們可以直覺(jué)地想象這些數(shù)字并熟練地對(duì)它們進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算。我覺(jué)得這好像是失去了一個(gè)良好的機(jī)會(huì),在學(xué)生首次遇到的課程當(dāng)中,實(shí)分析(與線性代數(shù)和抽象代數(shù)一樣)是這樣的一門(mén)課,人們確實(shí)必須全力抓住一個(gè)真正嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明的本質(zhì)。正因如此,這門(mén)課程提供了一個(gè)極好的機(jī)會(huì)去回顧數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),特別是提供了一個(gè)做出實(shí)數(shù)的真正精確的解釋的機(jī)會(huì)。于是我這樣來(lái)安排這門(mén)課。在第一周,我描述分析中的一些眾所周知的“悖論”,在這些悖論中,平常的算律(例如極限與求和的交換,或求和與積分的交換)以不嚴(yán)格的方式加以使用而導(dǎo)出像0=1那樣的荒謬的結(jié)果。這就啟發(fā)我們提出這樣的要求:回到事物的開(kāi)端,甚至回到自然數(shù)的真正的定義,并且要求從頭檢驗(yàn)全部的基礎(chǔ)原理。例如,第一個(gè)習(xí)題就是(只使用Peano公理)驗(yàn)證自然數(shù)的加法是結(jié)合的(即(a+b)+c=a+(b+c)對(duì)于一切自然數(shù)a,b,c成立,見(jiàn)習(xí)題2.2.1)。那么,即使是在第一周,學(xué)生也必須使用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)寫(xiě)出嚴(yán)格的證明。當(dāng)推導(dǎo)出自然數(shù)的全部基本性質(zhì)之后,我們就轉(zhuǎn)向整數(shù)(其原始定義是自然數(shù)的形式差);一旦學(xué)生驗(yàn)證了整數(shù)的一切基本性質(zhì),我們就轉(zhuǎn)向比例數(shù)①(其原義是整數(shù)的形式比);而后我們就(經(jīng)由cauchy序列的形式極限)轉(zhuǎn)到實(shí)數(shù)。與此同時(shí),還要涉及集合論的基礎(chǔ),例如演示實(shí)數(shù)的不可數(shù)性。僅在此后f大約十講之后)我們才開(kāi)始進(jìn)入人們通常認(rèn)為的實(shí)分析的核心內(nèi)容——極限、連續(xù)性、可微性,等等。
內(nèi)容概要
本書(shū)強(qiáng)調(diào)嚴(yán)格性和基礎(chǔ)性, 書(shū)中的材料從源頭——數(shù)系的結(jié)構(gòu)及集合論開(kāi)始, 然后引向分析的基礎(chǔ)(極限、級(jí)數(shù)、連續(xù)、微分、Riemann積分等), 再進(jìn)入冪級(jí)數(shù)、多元微分學(xué)以及Fourier分析, 最后到達(dá)Lebesgue積分, 這些材料幾乎完全是以具體的實(shí)直線和歐幾里得空間為背景的。書(shū)中還包括關(guān)于數(shù)理邏輯和十進(jìn)制系統(tǒng)的兩個(gè)附錄.課程的材料與習(xí)題緊密結(jié)合, 的是使學(xué)生能動(dòng)地學(xué)習(xí)課程的材料, 并且進(jìn)行嚴(yán)格的思考和嚴(yán)密的書(shū)面表達(dá)的實(shí)踐?! ”緯?shū)適合已學(xué)過(guò)微積分的高年級(jí)本科生和研究生學(xué)習(xí)。
作者簡(jiǎn)介
陶哲軒(Terence Tao),2006年菲爾茲獎(jiǎng)得主,享譽(yù)世界的澳大利亞籍華裔天才青年數(shù)學(xué)家,現(xiàn)任美國(guó)加州大學(xué)洛杉磯分校教授。在調(diào)和分析、偏微分方程、組合數(shù)學(xué)、解析數(shù)論和表示論等多個(gè)領(lǐng)域取得了許多重要成果。他的經(jīng)歷可謂傳奇,12歲獲得國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽金牌(這項(xiàng)紀(jì)錄至今無(wú)人打破),21歲獲得普林斯頓大學(xué)博士學(xué)位,24歲成為終身教授,2007年32歲時(shí)當(dāng)選英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)士。除菲爾茲獎(jiǎng)外,他還榮獲了著名的Alan T.Waterman獎(jiǎng)(獎(jiǎng)金額50萬(wàn)美元)和Clay研究獎(jiǎng)等眾多榮譽(yù)。
書(shū)籍目錄
第一部分第1章 引論 31.1 什么是分析學(xué) 31.2 為什么要做分析 4第2章 從頭開(kāi)始:自然數(shù) 122.1 Peano公理 132.2 加法 192.3 乘法 23第3章 集合論 263.1 基本事項(xiàng) 263.2 Russell悖論(選讀) 363.3 函數(shù) 383.4 象和逆象 443.5 笛卡兒乘積 483.6 集合的基數(shù) 53第4章 整數(shù)和比例數(shù) 594.1 整數(shù) 594.2 比例數(shù) 654.3 絕對(duì)值與指數(shù)運(yùn)算 694.4 比例數(shù)中的空隙 72第5章 實(shí)數(shù) 755.1 Cauchy序列 765.2 等價(jià)的Cauchy序列 805.3 實(shí)數(shù)的構(gòu)造 825.4 給實(shí)數(shù)編序 895.5 最小上界性質(zhì) 945.6 實(shí)數(shù)的指數(shù)運(yùn)算,第I部分 98第6章 序列的極限 1026.1 收斂及極限的算律 1026.2 廣義實(shí)數(shù)系 1076.3 序列的上確界和下確界 1106.4 上極限、下極限和極限點(diǎn) 1126.5 某些基本的極限 1186.6 子序列 1196.7 實(shí)的指數(shù)運(yùn)算,第II部分 122第7章 級(jí)數(shù) 1257.1 有限級(jí)數(shù) 1257.2 無(wú)限級(jí)數(shù) 1337.3 非負(fù)實(shí)數(shù)的和 1387.4 級(jí)數(shù)的重排 1417.5 方根判別法與比例判別法 145第8章 無(wú)限集合 1498.1 可數(shù)性 1498.2 在無(wú)限集合上求和 1558.3 不可數(shù)的集合 1608.4 選擇公理 1638.5 序集 166第9章 R上的連續(xù)函數(shù) 1739.1 實(shí)直線的子集合 1739.2 實(shí)值函數(shù)的代數(shù) 1789.3 函數(shù)的極限值 1809.4 連續(xù)函數(shù) 1879.5 左極限和右極限 1909.6 最大值原理 1939.7 中值定理 1969.8 單調(diào)函數(shù) 1989.9 一致連續(xù)性 2009.10 在無(wú)限處的極限 205第10章 函數(shù)的微分 20710.1 基本定義 20710.2 局部最大、局部最小以及導(dǎo)數(shù) 21210.3 單調(diào)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 21410.4 反函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 21510.5 L'Hpital法則 217第11章 Riemann積分 22011.1 分法 22011.2 逐段常值函數(shù) 22311.3 上Riemann積分與下Riemann積分 22711.4 Riemann積分的基本性質(zhì) 23111.5 連續(xù)函數(shù)的Riemann可積性 23511.6 單調(diào)函數(shù)的Riemann可積性 23811.7 一個(gè)非Riemann可積的函數(shù) 24011.8 Riemann-Stieltjes積分 24111.9 微積分的兩個(gè)基本定理 24411.10 基本定理的推論 248第二部分第12章 度量空間 25512.1 定義和例 25512.2 度量空間的一些點(diǎn)集拓?fù)渲R(shí) 26212.3 相對(duì)拓?fù)洹?6512.4 Cauchy序列及完備度量空間 26712.5 緊致度量空間 269第13章 度量空間上的連續(xù)函數(shù) 27413.1 連續(xù)函數(shù) 27413.2 連續(xù)性與乘積空間 27613.3 連續(xù)性與緊致性 27913.4 連續(xù)性與連通性 28013.5 拓?fù)淇臻g(選讀) 283第14章 一致收斂 28714.1 函數(shù)的極限值 28714.2 逐點(diǎn)收斂與一致收斂 29014.3 一致收斂性與連續(xù)性 29414.4 一致收斂的度量 29614.5 函數(shù)級(jí)數(shù)和WeierstrassM判別法 29814.6 一致收斂與積分 30014.7 一致收斂和導(dǎo)數(shù) 30214.8 用多項(xiàng)式一致逼近 305第15章 冪級(jí)數(shù) 31215.1 形式冪級(jí)數(shù) 31215.2 實(shí)解析函數(shù) 31415.3 Abel定理 31815.4 冪極數(shù)的相乘 32115.5 指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù) 32415.6 談?wù)剰?fù)數(shù) 32715.7 三角函數(shù) 333第16章 Fourier級(jí)數(shù) 33816.1 周期函數(shù) 33816.2 周期函數(shù)的內(nèi)積 34016.3 三角多項(xiàng)式 34316.4 周期卷積 34516.5 Fourier定理和Plancherel定理 349第17章 多元微分學(xué) 35417.1 線性變換 35417.2 多元微分學(xué)中的導(dǎo)數(shù) 35917.3 偏導(dǎo)數(shù)和方向?qū)?shù) 36217.4 多元微分鏈法則 36817.5 二重導(dǎo)數(shù)與Clairaut定理 37117.6 壓縮映射定理 37317.7 多元反函數(shù)定理 37517.8 隱函數(shù)定理 379第18章 Lebesgue測(cè)度 38418.1 目標(biāo):Lebesgue測(cè)度 38518.2 第一步:外測(cè)度 38618.3 外測(cè)度不是加性的 39418.4 可測(cè)集 39618.5 可測(cè)函數(shù) 401第19章 Lebesgue積分 40419.1 簡(jiǎn)單函數(shù) 40419.2 非負(fù)可測(cè)函數(shù)的積分 40919.3 絕對(duì)可積函數(shù)的積分 41619.4 與Riemann積分比較 42019.5 Fubini定理 421附錄A 數(shù)理邏輯基礎(chǔ) 426附錄B 十進(jìn)制 446索引 453
章節(jié)摘錄
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編輯推薦
《陶哲軒實(shí)分析》的材料與習(xí)題緊密結(jié)合,目的是使學(xué)生能動(dòng)地學(xué)習(xí)課程的材料,并且進(jìn)行嚴(yán)格的思考和嚴(yán)密的書(shū)面表達(dá)的實(shí)踐?!拔覍?duì)此書(shū)的贊賞,首先是它的邏輯嚴(yán)格。從實(shí)數(shù)(甚至自然數(shù))講起,不留任何漏洞。國(guó)內(nèi)外的實(shí)分析教科書(shū),認(rèn)真講實(shí)數(shù)的實(shí)在不多。其次是陶哲軒認(rèn)真的教學(xué)態(tài)度。他的講述,貫穿嚴(yán)謹(jǐn)、透徹的精神,而其苦口婆心的態(tài)度,分外令人感動(dòng)。第三,此書(shū)是基于講義寫(xiě)成的,我贊賞它的令人讀來(lái)感到親切的風(fēng)格?!薄趵P(yáng),北京師范大學(xué)教授源自華裔天才數(shù)學(xué)家、菲爾茲獎(jiǎng)得主陶哲軒在加卅I大學(xué)洛杉磯分校教授實(shí)分析課程的講義。原著分為兩卷,中譯本將兩卷合并出版。全書(shū)從分析的源頭——數(shù)系的結(jié)構(gòu)及集合論開(kāi)始,然后引向分析的基礎(chǔ),再進(jìn)入冪級(jí)數(shù)、多元微分學(xué)以及Fourier分析,最后到達(dá)Lebesgue積分。這些材料幾乎完全是以具體的實(shí)直線和歐幾里得空間為背景的,將嚴(yán)格性和直觀性完美結(jié)合起來(lái)。而且課程的材料與習(xí)題配合無(wú)間,非常便于學(xué)習(xí)。
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