e的故事

前言

第一次接觸圓周率π，應(yīng)該是在我9歲或者10歲的時(shí)候。那一天我應(yīng)邀參觀父親朋友的一家工廠。廠房中堆滿了各種工具和機(jī)器，彌漫著濃重的汽油味。我對這些冷冰冰的家伙毫無興致，感到百無聊賴。主人似乎敏銳地察覺到了這一點(diǎn)，便把我領(lǐng)到一臺有幾個(gè)調(diào)速輪的大機(jī)器邊，然后告訴我：不管輪子多大多小，它們的周長與直徑之間的比值總是固定的——約為37 。我一下對這個(gè)詭異的數(shù)充滿了好奇，再聽他告訴我任何人都無法精確地得到這個(gè)比值而只能近似求解時(shí)，更是覺得不可思議。這個(gè)數(shù)非常重要，因此人們專門用一個(gè)符號——希臘字母π——來表示它。我不禁問自己，為什么像圓這么簡單的形狀，會跟這么怪異的數(shù)有關(guān)聯(lián)呢？那時(shí)的我當(dāng)然不知道這個(gè)怪異的數(shù)已經(jīng)困擾了科學(xué)家們近4000 年，與它相關(guān)的某些問題甚至到現(xiàn)在都未曾得到解決。 幾年后，我升入高二學(xué)習(xí)代數(shù)，另一個(gè)奇怪的數(shù)勾起了我的興趣。那時(shí)，對數(shù)是代數(shù)課程中至關(guān)重要的一部分。在那個(gè)還不知計(jì)算器為何物的年代，對數(shù)表對那些學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的人來說是不可或缺的。多么令人生畏的表格啊，封皮是綠色的，由以色列教育部發(fā)行！要完成幾百個(gè)練習(xí)題，還無時(shí)無刻不提醒自己別查漏一行或查錯(cuò)一列，真是無聊之至。我們使用的對數(shù)稱為“常用對數(shù)”，它們以10為底，說它們“常用”倒也非常自然。不過書中竟還附了一頁“自然對數(shù)表”。我問老師，還有什么數(shù)比10作為對數(shù)的底更“自然”的呢？老師告訴我，還有一個(gè)用字母e 表示的數(shù)，其值約為2.71828，它是高等數(shù)學(xué)的基石。為何是這個(gè)奇怪的數(shù)呢？高三學(xué)習(xí)微積分的時(shí)候我才找到了答案。這也就意味著圓周率π還有一位同門兄弟，而且它們的值非常接近，所以人們對它們之間的比較在所難免。后來又經(jīng)過了幾年的大學(xué)學(xué)習(xí)，我才搞明白這倆兄弟之間的關(guān)系確實(shí)很密切，而且它們的關(guān)系因?yàn)榱硪粋€(gè)符號i的存在而顯得更加撲朔迷離。這里說的i就是著名的“虛數(shù)單位”，即1的平方根。至此，這部“數(shù)學(xué)劇”的所有主角已悉數(shù)登場。圓周率的故事早已廣為流傳，一來是因?yàn)樗臍v史可以追溯到遠(yuǎn)古時(shí)代，二來則是由于人們無需太高深的數(shù)學(xué)知識就可以很好地理解它。或許至今還沒有任何一本書比彼得·貝克曼（Petr Beckmann）的《π的歷史》（A History of π）更通俗易懂、恰到好處。常數(shù)e的知名度則要遜色很多，這不僅僅是因?yàn)樗某霈F(xiàn)更晚，更因?yàn)樗c微積分緊密相關(guān)（一般認(rèn)為微積分是通往高等數(shù)學(xué)的大門）。據(jù)我所知，目前還沒有哪本有關(guān)e 的歷史的書能夠與貝克曼的書相媲美，希望本書能夠填補(bǔ)這一缺憾。我希望略具數(shù)學(xué)知識的讀者都能讀懂本書所講述的e的故事。文中我盡量減少純數(shù)學(xué)內(nèi)容，并將一些證明和推導(dǎo)放在附錄中。此外，我還會偶爾涉及一些有趣的歷史事件，并簡要介紹許多在e的發(fā)展史上發(fā)揮過重要作用的人物，其中有些人教科書中很少提及。最重要的是，我還想與大家分享從物理、生物到藝術(shù)、音樂等多個(gè)領(lǐng)域中與指數(shù)函數(shù)ex有關(guān)的各種有意思的現(xiàn)象，這些現(xiàn)象遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了數(shù)學(xué)的范疇。本書的風(fēng)格與傳統(tǒng)微積分教科書多有不同。比如為了證明函數(shù)y=ex 的導(dǎo)數(shù)與其自身相等，大多數(shù)教科書都是首先通過復(fù)雜的推導(dǎo)得到公式d(ln x)/dx=1/x，然后利用反函數(shù)的求導(dǎo)法則得到想要的結(jié)果。我一直認(rèn)為推導(dǎo)過程沒必要這么復(fù)雜，因?yàn)榭梢灾苯油茖?dǎo)出dex/dx=ex（而且速度也要快得多）。具體做法是，首先證明指數(shù)函數(shù)y=bx的導(dǎo)數(shù)與bx成正比，然后尋找合適的b值使得比例常數(shù)為1（推導(dǎo)過程見附錄4）。對于高等數(shù)學(xué)中常見的表達(dá)式cos x + i sin x，我將其簡寫為cis x（讀作“ciss x”），希望這種極簡潔的寫法將被人們廣泛使用。關(guān)于圓函數(shù)和雙曲線函數(shù)的類比關(guān)系，最漂亮的一個(gè)結(jié)果是1750年左右文森佐·黎卡提（Vincenzo Riccati）發(fā)現(xiàn)的：從幾何上將這兩個(gè)函數(shù)中的獨(dú)立變量解釋為面積，可以使兩個(gè)函數(shù)在形式上的相關(guān)性更為直觀。教科書中很少會提及這一點(diǎn)，本書將在第12章和附錄7中討論。 我在研究期間發(fā)現(xiàn)了一個(gè)顯而易見的事實(shí)：在微積分誕生之前至少半個(gè)世紀(jì)，常數(shù)e就已經(jīng)在數(shù)學(xué)家圈子里廣為流傳了，至少在1616年①出版的愛德華·賴特（Edward Wright ）翻譯成英文的約翰·納皮爾（John Napier ）的對數(shù)著作中已經(jīng)提到了常數(shù)e。怎么會這樣呢？一種可能的解釋就是，數(shù)字e的出現(xiàn)與復(fù)利的計(jì)算公式有關(guān)。一定有某個(gè)人（我們無法知道是誰，也不知道什么時(shí)候）發(fā)現(xiàn)了這個(gè)有趣的現(xiàn)象：假設(shè)本金為P，年利率為r，t年中每年對P計(jì)算n次復(fù)利（n可以無限增加），則由公式S=P(1+r/n)nt計(jì)算得到的總資金S趨于某一極限值。而當(dāng)P=1，r=1且t=1時(shí)，這個(gè)極限值約等于2.718 。這一來源于經(jīng)驗(yàn)總結(jié)而非嚴(yán)格數(shù)學(xué)推導(dǎo)的結(jié)果，必定深深地震驚了17世紀(jì)初那些還不知道極限概念的數(shù)學(xué)家。因此，數(shù)e和指數(shù)函數(shù)ex很有可能源自于一個(gè)平凡的生活實(shí)例：存款生息。然而我們必須看到，另外一些問題（比如雙曲線y=1/x下方區(qū)域的面積）也能引出這個(gè)常數(shù)，這就給e的真實(shí)起源蒙上了一層神秘的面紗。我們對e的另一用途——用作自然對數(shù)的底數(shù)——要熟悉得多，但這是到了18世紀(jì)前半葉才由歐拉（Leonhard Euler）完成的，他的工作確立了指數(shù)函數(shù)在微積分中的核心地位。 盡管很多資料中的信息常有所沖突，尤其是一些重大發(fā)現(xiàn)的先后順序，往往眾說紛紜，但我在本書中還是會竭盡所能地提供盡可能準(zhǔn)確的人名和日期。17世紀(jì)初是數(shù)學(xué)空前發(fā)展的時(shí)期，常常會出現(xiàn)這樣的情況：多位科學(xué)家彼此獨(dú)立地形成相似的想法，并在幾乎同一時(shí)間得到相近的結(jié)果。那個(gè)時(shí)期將研究成果發(fā)表于科學(xué)期刊上的做法并不流行，因此一些偉大發(fā)現(xiàn)都是通過書信、小冊子或小范圍發(fā)行的書流傳于世的，這也使得我們很難判定到底誰才是真正的發(fā)現(xiàn)者或發(fā)明者。這種混亂的狀態(tài)在微積分創(chuàng)立問題的爭論上達(dá)到了頂峰——一些頂尖數(shù)學(xué)家陷入彼此攻擊的論戰(zhàn)中，英國的數(shù)學(xué)在牛頓之后的近一個(gè)世紀(jì)時(shí)間內(nèi)一直發(fā)展緩慢，不能不說與此有很大關(guān)系。作為一名從事過大學(xué)各年級數(shù)學(xué)教學(xué)工作的教師，我非常清楚很多學(xué)生對數(shù)學(xué)這門課程持消極態(tài)度。造成這種態(tài)度的原因是多方面的，但有一點(diǎn)可以確定，那就是我們的教學(xué)方式太深?yuàn)W、太枯燥。我們總是向?qū)W生灌輸各種公式、定義、定理和證明，卻很少提及這些內(nèi)容的歷史發(fā)展過程，讓人感覺這些內(nèi)容就像上帝在《十誡》中發(fā)出的神諭一樣，是直接傳承給我們的，具有不容置疑的神秘感。了解數(shù)學(xué)的發(fā)展史有助于消除這種神秘感。我在課堂上就常常穿插一些數(shù)學(xué)史，簡單介紹與公式、定理有關(guān)的數(shù)學(xué)家的故事。本書也在一定程度上采用了這種方法，希望能夠達(dá)到預(yù)期的效果。在這里我要特別感謝妻子Dalia在本書撰寫過程中給予我無限的幫助和支持，以及兒子Eyal，他幫我繪制了書中的插圖。沒有他們，也就不會有這本書。——Eli Maor 1993 年1月7日于伊利諾伊州斯科基市

內(nèi)容概要

　　本書從對數(shù)和微積分的歷史入題，講述了關(guān)于e的許多精彩故事，包括一些有趣的歷史人物、歷史事件和傳說，以及數(shù)學(xué)、物理、生物、音樂等眾多領(lǐng)域中與指數(shù)函數(shù)ex密切相關(guān)的各種現(xiàn)象，與這些故事同時(shí)介紹的，還有一些著名公式、定理和法則的證明和推導(dǎo)過程。通過閱讀本書，讀者將能極大地拓展知識面。　　本書適合略具數(shù)學(xué)知識的讀者閱讀。

作者簡介

作者：（以色列）馬奧爾（Eil Maor） 譯者：周昌智 毛兆榮Eli Maor 知名科普作家，以色列理工學(xué)院博士，曾在芝加哥洛約拉大學(xué)教授數(shù)學(xué)史課程。著有暢銷書《三角之美：邊邊角角的趣事》、《勾股定理：悠悠4000年的故事》、《無窮之旅：關(guān)干無窮大的文化史》等。在各國期刊上發(fā)表過大量論文，涉及應(yīng)用數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教育等領(lǐng)域。

書籍目錄

第1章　約翰·納皮爾　第2章　認(rèn)知　　對數(shù)運(yùn)算　第3章　財(cái)務(wù)問題　第4章　若極限存在，則達(dá)之　　一些與e有關(guān)的奇妙的數(shù)　第5章　發(fā)現(xiàn)微積分的先驅(qū)　第6章　大發(fā)現(xiàn)的前奏　　不可分元的應(yīng)用　第7章　雙曲線的求積　第8章　一門新科學(xué)的誕生　第9章　偉大的論戰(zhàn)　　記法的發(fā)展史　第10章　ex：導(dǎo)數(shù)與自身相等的函數(shù)　　跳傘者　　感覺可以量化嗎　第11章　eθ：神奇螺線　　約翰·塞巴斯蒂安·巴赫與約翰·伯努利的歷史性會面　　e的故事：一個(gè)常數(shù)的傳奇藝術(shù)界和自然界中的對數(shù)螺線　第12章　(ex+e-x)/2：懸掛的鏈子　　驚人的相似性　　與e有關(guān)的有趣公式　第13章　eix：“最著名的公式”　　e的歷史中有趣的一幕　第14章　ex+iy：化虛數(shù)為實(shí)數(shù) 　一個(gè)非同尋常的發(fā)現(xiàn)　第15章　e究竟是怎樣的一個(gè)數(shù)　附錄　　附錄1　關(guān)于納皮爾對數(shù)的一些說明　　附錄2　lim(1+1/n)n在n→∞時(shí)的存在　　附錄3　微積分基本定理的啟發(fā)式推導(dǎo)　　附錄4　在h→0 時(shí)lim(bh-1)/h=1 與lim(1+h)1/h=b之間的互逆關(guān)系　　附錄5　對數(shù)函數(shù)的另一種定義　　附錄6　對數(shù)螺線的兩個(gè)性質(zhì)　　附錄7　雙曲線函數(shù)中參數(shù)φ的解釋　　附錄8　e的小數(shù)點(diǎn)后100 位　參考文獻(xiàn)　

章節(jié)摘錄

插圖：所以，那些新發(fā)現(xiàn)的公式雖有利于深刻理解無限運(yùn)算的本質(zhì)，卻沒有太大實(shí)用價(jià)值。這里我們有一個(gè)很好的例子來解釋對數(shù)學(xué)理念的兩種哲學(xué)觀：“學(xué)術(shù)”派和“實(shí)用”派。學(xué)術(shù)派的數(shù)學(xué)家們在進(jìn)行專業(yè)研究時(shí)很少關(guān)心實(shí)際應(yīng)用需求（有些人甚至聲稱數(shù)學(xué)從實(shí)際應(yīng)用脫離得越遠(yuǎn)，學(xué)科發(fā)展就越大）。對這學(xué)術(shù)派中的有些人而言，數(shù)學(xué)研究更像是下象棋，智力促進(jìn)就是獎(jiǎng)品；另一些人則追求最大限度的自由研究，自由地去制定他們自己的定義和規(guī)則，并在此基礎(chǔ)上依照嚴(yán)格的數(shù)學(xué)邏輯構(gòu)建一種體系。相反，實(shí)用派的數(shù)學(xué)家們則更關(guān)心科技產(chǎn)生的大量問題。他們并不能像學(xué)術(shù)派那樣自由地享受數(shù)學(xué)，因?yàn)樗麄兪苤朴谀切┲洮F(xiàn)象的自然法則，一切以事先調(diào)查為基礎(chǔ)。當(dāng)然，這兩派之間的分界線并不非常明顯：純理論性的研究領(lǐng)域也經(jīng)常會獲得一些意想不到的實(shí)際應(yīng)用成果（例如數(shù)字理論在機(jī)密信息的編碼與解碼中的應(yīng)用）；相應(yīng)地，實(shí)際應(yīng)用中的問題也會帶來高水平理論的發(fā)現(xiàn)。而且，包括阿基米德、牛頓和高斯等在內(nèi)的數(shù)學(xué)史上知名的一些數(shù)學(xué)家們，在這兩個(gè)領(lǐng)域都備受推崇。但是這條分界線的確真實(shí)存在，而且在這個(gè)專業(yè)細(xì)分替代原先通用概念的時(shí)代被越來越多地提及。多年來，橫亙于兩派之間的分界線也在來回地變更。在古希臘之前的年代，數(shù)學(xué)完全承擔(dān)著實(shí)用性的職責(zé)，其主要目的就是處理非常平凡的事務(wù)，例如測量（測定面積、體積和重量），貨幣問題以及時(shí)間計(jì)算等。而古希臘人則將數(shù)學(xué)從一門應(yīng)用性的學(xué)科轉(zhuǎn)變?yōu)橐宰非笾R為主要目的的智慧性學(xué)科。公元前6世紀(jì)創(chuàng)建了著名哲學(xué)學(xué)校的畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）則將這種對純理論數(shù)學(xué)的追求推向極致。他的靈感來自于自然的秩序與和諧，這里的自然并非僅僅是我們所處的自然環(huán)境，而是整個(gè)宇宙。畢達(dá)哥拉斯學(xué)者堅(jiān)信，數(shù)字是世間萬物（從美妙的音律到天體運(yùn)動）的主要成因。

媒體關(guān)注與評論

“這部淺顯易懂、文筆優(yōu)美的作品將給廣大讀者帶來許多歡樂……邊本無與倫比的書應(yīng)當(dāng)被每一家公共田書館和學(xué)校圖書館收藏，”  　　——Ian Stewart，《新科學(xué)家》  “Maor成功地完成了一部短小而耐讀的數(shù)學(xué)史，其中點(diǎn)綴了許多奇聞趣事和美妙短文……讀起來就像是聽船長大副描述哥倫布的航海歷險(xiǎn)記。”  　　——Peter Borwein，《科學(xué)》  “Maor精彩地講述了數(shù)字e的故事這一編年史生動地介紹了為這一迷人數(shù)字的發(fā)展作出過卓越貢獻(xiàn)的科學(xué)家，帶領(lǐng)讀者走進(jìn)了他們的生活，”  　　——Jerry King，《自然》

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