三角之美

前言

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，可能沒有其他分支學(xué)科能像三角學(xué)一樣始終占據(jù)著中心位置?！詹乇緯炔皇且槐救菍W(xué)的教材（這類書已經(jīng)有很多了），也不是一本全面闡述三角學(xué)歷史的書（盡管目前還沒有這樣的書）。這本書只是嘗試從歷史的發(fā)展角度，向人們呈現(xiàn)一些精選出來的三角學(xué)方面的課題，并展示三角學(xué)與其他自然科學(xué)的聯(lián)系。選擇這個主題，不僅出于我對三角學(xué)的喜愛，而且還出于我對該學(xué)科在大學(xué)中的授課方式深深的失望。首先談一下我對三角學(xué)的熱愛。在初中的時候，我有幸遇到了一位很優(yōu)秀的老師，他年輕且精力充沛，教我們數(shù)學(xué)和物理。他是一位嚴(yán)肅認真、要求非?？量痰睦蠋煟荒苋萑躺险n遲到或者缺考現(xiàn)象。（你最好保證你不會這樣做，否則這些不良記錄都會在你的成績單上得以體現(xiàn)。）如果你沒有完成家庭作業(yè)或者某次測驗的成績很糟糕，那么就更傷腦筋了。我們個個都怕他，挨訓(xùn)時會嚇得發(fā)抖，生怕他通知我們的父母。然而，我們都很尊敬他，他成為了我們許多人的榜樣。更為重要的是，他給我們展現(xiàn)了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，特別是與物理學(xué)的聯(lián)系。因此，我們自然而然地學(xué)到了大量的三角學(xué)知識。多年以來我和他一直保持通信，并且后來又見過幾次面。他非常固執(zhí)己見，不論你談起什么話題（數(shù)學(xué)或其他學(xué)科），他總會和你爭辯，并且通常都會讓你啞口無言。在我大學(xué)畢業(yè)后的很多年里，我一直都認為他依然是我的老師。他父母在二戰(zhàn)前從歐洲輾轉(zhuǎn)到中國躲避戰(zhàn)亂，他出生在中國，后來隨父母移民到以色列，進入耶路撒冷的希伯來大學(xué)學(xué)習(xí)，隨后在第一次中東戰(zhàn)爭期間應(yīng)招入伍。后來他在特拉維夫大學(xué)任教，并被授予終身教職（他是全校獲此殊榮的兩位教師之一），盡管他沒有博士學(xué)位。1989年，他正在講授每周都有的數(shù)學(xué)歷史課時，突然倒下，就這樣與世長辭了。他就是伊利歐索夫。我非常想念他?，F(xiàn)在談些讓我失望的事情吧。20世紀(jì)50年代后期，隨著前蘇聯(lián)在太空領(lǐng)域的勝利——史波尼克一號衛(wèi)星在1957年10月4日成功發(fā)射，我記得這個日子，因為那天正好是我20歲的生日——對整個教育體系改革，特別是對自然科學(xué)教育改革的呼聲隨之高漲。人們紛紛提出新的想法和計劃，旨在縮小與前蘇聯(lián)之間表面上的科技差距（盡管也有些人勇敢地質(zhì)疑這種差距是否真的存在，但是在這種大眾的狂熱中人們對這些聲音置之不理）。這些年是美國自然科學(xué)教育的黃金年代。如果你對如何教授一門學(xué)科有一個創(chuàng)新的想法（甚至只是一個粗淺的想法），那么幾乎可以保證你能申請到一筆經(jīng)費開展工作。因此，所謂的“新數(shù)學(xué)”運動誕生了，“新數(shù)學(xué)”運動的目的在于使學(xué)生們理解他們所學(xué)的知識，而不是像前面幾代人一樣，只是采取機械學(xué)習(xí)和死記硬背的方式。我們花費了大量的時間和經(jīng)費來發(fā)展新的數(shù)學(xué)教學(xué)方法，這些方法強調(diào)抽象的概念，比如集合論、函數(shù)（定義為有序?qū)Φ募希┮约靶问竭壿?。人們行色匆匆地組織研討班、學(xué)術(shù)研討會，開發(fā)新課程以及新教材。成百上千的教育工作者開始致力于向困惑不解的廣大教師和家長傳授這些新的理念，更有一些人開始周游世界向發(fā)展中國家傳播這些新的主張，有些發(fā)展中國家的大部分民眾連大字都還不識幾個。如今，40年過后，大多數(shù)教育工作者認為“新數(shù)學(xué)”弊大于利。我們的學(xué)生可能學(xué)習(xí)到集合論的語言和符號，但是當(dāng)他們遇到最簡單的數(shù)值計算時卻容易出錯，無論他們有沒有用計算器。因此，許多高中畢業(yè)生缺少基本的運算技能，結(jié)果他們中大約一半的人在初進大學(xué)后的微積分水平考試中不及格。學(xué)院和大學(xué)投入了巨大的資源開展補救項目，而且為了更易于為大家所接受，他們給這些項目起了一些委婉的名字，如“發(fā)展計劃”或者“數(shù)學(xué)實驗室”，但收效并不顯著。幾何學(xué)和三角學(xué)就是在“新數(shù)學(xué)”運動中的兩門課程。作為在自然科學(xué)和工程學(xué)中都至關(guān)重要的一門學(xué)科，三角學(xué)首當(dāng)其沖成為變革的犧牲者。打著數(shù)學(xué)嚴(yán)謹?shù)钠焯?，形式化的定義和冗長的邏輯推導(dǎo)取代了對三角學(xué)的真正理解。人們不再談?wù)摻?，而是角的度量；不再討論在幾何環(huán)境中定義正弦和余弦函數(shù)（三角形中兩條邊的比率，或者單位圓在x軸和y軸上的投影），而是談?wù)撝鴱膶崝?shù)到區(qū)間［?1, 1］上的函數(shù)。集合符號和語言已經(jīng)遍及所有的討論，釀成的后果就是一個相對簡單的學(xué)科被毫無意義的形式主義搞得晦澀難懂。更糟糕的是，由于眾多的高中畢業(yè)生缺乏基本的運算技能，典型三角學(xué)教材的水準(zhǔn)和深度正在日益下降。示例和練習(xí)題通常都是最簡單和最常規(guī)的類型，只需要記住一些基本的公式即可解決所有的運算。諸如代數(shù)學(xué)中大家熟知的“文字題”，多數(shù)都枯燥無味，無法引起興趣，只會讓學(xué)生產(chǎn)生一種“不以為然”的感覺。學(xué)生們很少有機會去處理真正具有挑戰(zhàn)性的，并足以帶給他們成就感的恒等式。下面舉兩個例子。1. 證明：對任意數(shù)x，這個公式是歐拉首先發(fā)現(xiàn)的。令x= ，利用 ，并重復(fù)使用余弦函數(shù)的半角公式，我們就可以得到如下優(yōu)美的公式：數(shù)學(xué)家韋達1593年用純幾何的方法發(fā)現(xiàn)了這個公式。2. 證明在任意三角形中，（最后一個公式具有一些意想不到的重要意義，我們將會在第12章進行討論。）這些公式由于它們的對稱性而引人注目，你甚至可以說它們“漂亮”（對于一門以枯燥和專業(yè)性著稱的學(xué)科來說，這個詞是它少有的榮譽）。在附錄C，我收集了另外一些漂亮的公式，當(dāng)然“漂亮”的評判標(biāo)準(zhǔn)相當(dāng)主觀?？死啄凇冬F(xiàn)代數(shù)學(xué)的本質(zhì)與發(fā)展》（The Nature and Growth of Modern Mathematics）一書中提到：“有些學(xué)生認為，三角學(xué)是將折磨人的計算美化了的幾何學(xué)。”本書將試圖消除這種印象。我采用歷史發(fā)展的觀點來編寫這本書，部分原因是我認為這對學(xué)生喜愛數(shù)學(xué)（或者廣泛的自然科學(xué)）大有幫助。然而，我沒有嚴(yán)格按照歷史時間順序來選擇題材，而是根據(jù)它們美學(xué)上的感染力或者與其他科學(xué)的相關(guān)性來選擇。當(dāng)然，對這些題材的選擇在很大程度上只反映了我自己的偏好，可選的題材其實還有很多。閱讀前9章只需要用到基本的代數(shù)學(xué)和三角學(xué)知識即可，其他章節(jié)則要依賴一些初級微積分的知識（不超過微積分II的程度）。書中內(nèi)容對高中生和大學(xué)生來說是很容易理解的。由于我很清楚這本書的讀者群，因此我把討論的重點限制在平面三角學(xué)，不涉及球面三角學(xué)。（盡管從歷史的角度上看，后者首先主宰著這門學(xué)科。）另外，我把一些額外的歷史資料（多為人物傳記）獨立放在8個章后的“輔助章節(jié)”里，供讀者參考。即使只有幾個讀者從這些內(nèi)容中受到啟發(fā)，我的付出也就值得了。非常感謝我的兒子伊亞，他繪制了書中的所有插圖；非常感謝賓夕法尼亞州阿蘭頓市穆冷博格學(xué)院的威廉·鄧漢姆和新罕布什爾大學(xué)的保羅· J. 納寧，他們非常認真地閱讀了我的初稿；非常感謝普林斯頓大學(xué)出版社的工作人員，他們一絲不茍地完成了該書的出版工作；非常感謝斯科基公共圖書館的工作人員，他們極力地幫助我找到了一些珍貴的和絕版的資源；最后，特別感謝我親愛的妻子Dalia，她始終如一地支持我完成這本書。沒有他們的幫助，這本書將永遠不可能問世。說明：本書經(jīng)常引用《科學(xué)傳記辭典》（Dictionary of Scientific Biography，共16卷，Charles Coulston Gillispie編）。為簡單起見，本書在提到該辭典時將使用其英文簡寫DSB。 1997年2月20日于伊利諾伊州斯科基

內(nèi)容概要

　　本書由古埃及應(yīng)用測量的發(fā)端展開，將讀者首先帶到六個三角函數(shù)中。書中的篇章宛如一個個引人入勝的小故事，將歷史、趣聞、應(yīng)用和理論融入到了迷人的故事情節(jié)當(dāng)中。全書共15章，涵蓋了三角學(xué)的精華部分，此外還包含6個翔實的小傳記，為讀者感受三角之美提供了難得一見的珍貴資料。

作者簡介

作者：（以色列）馬奧爾（Eil Maor） 譯者：曹雪林 邊曉娜Eli Maor知名科普作家，以色列理工學(xué)院博士，曾在芝加哥洛約拉大學(xué)教授數(shù)學(xué)史課程。著有暢銷書《e的故事：一個常數(shù)的傳奇》、《勾股定理：悠悠4000年的故事》、《無窮之旅：關(guān)于無窮大的文化史》等。在各國期刊上發(fā)表過大量論文，涉及應(yīng)用數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教育等領(lǐng)域。

書籍目錄

開篇語　書吏阿梅斯，公元前1650年　　古埃及的數(shù)學(xué)娛樂　第1章　角　第2章　弦　　普林頓322：最早的三角函數(shù)表　第3章　六個函數(shù)的發(fā)展　　雷吉奧蒙塔努斯　第4章　解析三角學(xué)的出現(xiàn)　　韋達　第5章　測量天空和地球　　棣莫弗　第6章　幾何中的兩個定理　第7章　外擺線與內(nèi)擺線　　瑪利亞·阿涅西和她的“女巫”　第8章　高斯的啟示　第9章　芝諾的遺憾　第10章　(sinx)/x　第11章　非凡的公式　　利薩如和他的圖形　第12章　tanx　第13章　地圖制作者的天堂　第14章　sinx=2：復(fù)三角學(xué)　　蘭道：優(yōu)秀的嚴(yán)謹主義者　第15章　傅里葉定理　附錄A　舊觀念古為今用　附錄B　巴羅的secΦ積分　附錄C　三角公式精華　附錄D　sinα的一些特殊值　參考文獻　

章節(jié)摘錄

插圖：歐洲其他各國紛紛仿效法國的測地工作，到19世紀(jì)中葉，歐洲大陸大部分地區(qū)都完成了三角形測量及制圖的工作。這項工作接著轉(zhuǎn)移到了印度（大英帝國皇冠上的明珠），這是一項龐大的三角測量工程，被稱作“大三角測量”，從1800年開始，一直到1913年才完成。這項由東印度公司（當(dāng)時最大的商業(yè)集團，本部設(shè)在倫敦，是印度實質(zhì)的統(tǒng)治者）贊助的測量工作，南起孟加拉灣西南海岸的馬德拉斯（Madras）一帶，北至遙遠的喜馬拉雅山。萊姆頓（William Lambton，1753-1823）上尉從1802年開始，一直到其過世為止，一直主掌著整個測量工作，他決心做到前所未有的精度。他那巨大的經(jīng)緯儀重達半噸，是根據(jù)他的要求在倫敦特制的，在用船運往印度的途中還曾遭到法國軍艦的攔截。有一次，這個大得古怪的儀器被提升到坦焦?fàn)柎髲R的屋頂上，以便于測量人員能夠看清楚整片區(qū)域。在吊升的過程中，一根繩索斷裂，儀器摔壞了。但是萊姆頓毫不泄氣，獨自一人在帳篷里花了六個星期把它修復(fù)了。1806年萊姆頓開始著手準(zhǔn)備完成一個比測量印度更大的目標(biāo)：確定世界地圖。為了達到這個目標(biāo)，他沿著78°經(jīng)線，從南亞次大陸最南端的科摩林角到北邊的克什米爾畫了一條線，長約1800英里。他的工作人員遇到了許多危險的事情：印度中部的酷熱，有老虎出沒的茂密的植物，到處存在著瘧疾的威脅，等等。萊姆頓去世后，測量工作移交給了他的助手埃弗雷斯（George。Everest，1790-1866）。埃弗雷斯維持甚至超過了他前任的高標(biāo)準(zhǔn)要求。為了彌補印度中部廣袤平原上缺乏的地標(biāo)，他修建了許多遠處可見的高塔，許多至今仍然保留著。為了避開印度內(nèi)陸的熱浪及迷霧，他命令測量人員在晚上工作，依靠他在塔頂上的篝火作為標(biāo)記。在白天，他使用目光發(fā)射儀，一種特別設(shè)計的鏡子，其反射的陽光50英里外依然清晰可見。

媒體關(guān)注與評論

“如果你認為三角學(xué)平淡無奇，那你就錯了，讀一讀這本書吧，你將對它刮目相看。本書恰到好處地展現(xiàn)了三角學(xué)的發(fā)展歷史，讀起來津津有味?！薄　　狿aul J.Nahm，暢銷書Duelling Idiots and Other Probability Puzzlers的作者“本書將深深吸引每一位對數(shù)學(xué)歷史感興趣的讀者。我向那些想在教學(xué)中穿插介紹數(shù)學(xué)歷史的老師們強烈推薦它!”　　——Richard S．Kitchen，《數(shù)學(xué)教師》“Maor的著作都激情洋溢，可謂妙筆生花，讓你手不釋卷，一口氣從頭讀到尾。這是又一本廣受歡迎的讀物?！薄　　猄ean Bradley，美國數(shù)學(xué)協(xié)會

編輯推薦

《三角之美：邊邊角角的趣事》：三角學(xué)是一門古老的數(shù)學(xué)分支，其起源可以追溯到古埃及時代。人們一定掌握了某些三角學(xué)知識，才能建造起宏偉的金字塔，讓它歷經(jīng)千年風(fēng)雨依然威嚴(yán)聳立。世界著名的科普作家EliMaor，從歷史的源頭出發(fā)，以大家喜聞樂見的方式娓娓講述跨越千年的史實。他回顧了三角函數(shù)、解析三角學(xué)、三角形相關(guān)定理等的出現(xiàn)與發(fā)展歷程，同時介紹了三角學(xué)對科學(xué)發(fā)展和社會進步的重要貢獻。讀者得以全面、立體地了解三角學(xué)理論與應(yīng)用，還將跟隨作者靈動的筆端，拂開歷史的塵埃，窺探到古埃及的數(shù)字娛樂、韋達和棣莫弗的傳奇人生、芝諾的終身遺憾……圍繞著三角學(xué)的美麗與哀愁，匯集成一串串邊邊角角的趣事。

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