計(jì)算方法

前言

　　計(jì)算方法是數(shù)學(xué)中的一個(gè)古老分支，自計(jì)算機(jī)問世之后，計(jì)算方法得到了飛速發(fā)展.計(jì)算方法是計(jì)算（computing）學(xué)科各專業(yè)、數(shù)學(xué)各專業(yè)學(xué)生的必修課，也是不少理工專業(yè)學(xué)生的修課和選修課.考慮到傳統(tǒng)關(guān)系，主要考慮到課時(shí)關(guān)系，計(jì)算方法不包含有限單元法、快速Fourier變換等算法，也不包含最優(yōu)逼近、最優(yōu)化算法，仍只由數(shù)值代數(shù)和數(shù)值逼近組成?！　”緯奶攸c(diǎn)如下.　　1.全書所有算法都用帶計(jì)算過程和計(jì)算條件的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述?！　∮?jì)算方法主要是計(jì)算機(jī)使用的算法，計(jì)算機(jī)只能直接或間接識(shí)別人們用計(jì)算機(jī)語(yǔ)言編寫的程序.程序也是算法，是計(jì)算機(jī)使用的算法.程序設(shè)計(jì)就是將非計(jì)算機(jī)使用的算法翻譯成計(jì)算機(jī)使用的算法.帶計(jì)算過程和計(jì)算條件的數(shù)學(xué)公式和計(jì)算機(jī)語(yǔ)言有一對(duì)一的映射關(guān)系，很容易翻譯成計(jì)算機(jī)語(yǔ)言.　　現(xiàn)有計(jì)算方法教材中，有少數(shù)算法是用自然語(yǔ)言描述的，例如解f（x）=0的對(duì)分法，求三角矩陣特征值所用的對(duì)分法；還有些算法是用表格加算例表述的，例如牛頓插值多項(xiàng)式系數(shù)計(jì)，不少書中僅給出了一個(gè)具體算例的差商表.一般的計(jì)算方法書中，絕大多數(shù)算法雖然都是用學(xué)公式表示的，但是未明確給出計(jì)算過程和計(jì)算條件，不能直接翻譯成計(jì)算機(jī)語(yǔ)言.將算法帶計(jì)算過程和計(jì)算條件的數(shù)學(xué)公式表示，不僅方便于程序設(shè)計(jì)，也便于手算。　　2.糾正了一般計(jì)算方法中不當(dāng)?shù)奶岱ê徒Y(jié)論?！　‖F(xiàn)行教材中有些提法和結(jié)論是有問題的，有些提法不準(zhǔn)確，不能體現(xiàn)實(shí)質(zhì).例如，在解方程組Ax=b的直接法的穩(wěn)定性分析中，一般教材的結(jié)論是條件數(shù)condp（A）愈大，穩(wěn)定性愈差，能體現(xiàn)算法.本書的結(jié)論是，直接法的穩(wěn)定性與算法有關(guān)，與方程組系數(shù)矩陣本身的特性有關(guān)，還與右端擾動(dòng)大小有關(guān)，但與系數(shù)矩陣的條件數(shù)沒有直接關(guān)系.這樣既弄清了高斯列主元消元法、全主元法為什么能求解高斯消元法中所不能求解的問題或者誤差很大的問題，又弄清了為什么平方根法、改進(jìn)平方根法要求方程組Ax=b中A的本身性能必須較好才能使用原因，這樣提法才和算法有關(guān).又如在求解f（x）=0的牛頓法收斂性定理中，一般認(rèn)為定理［f（a）f（b）0］理論性強(qiáng)，用處大，而定理在根的鄰域內(nèi)牛頓法收斂且是二階收斂實(shí)用性差.我們的結(jié)論正好相反，原因是牛頓法并不麻煩，但要鑒別一個(gè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào)尚未見可行的數(shù)值算法.恰恰相反，后一定理的可操作性好，因?yàn)閷?duì)任何求根區(qū)間，我們總可以將之劃分成等距的n等份，只要n充分大，任何子區(qū)間或者有一個(gè)根，或者無(wú)根，只要有根，該子區(qū)間就是根的鄰域，而且前一個(gè)定理只能在[a,b]上有一個(gè)根才管用，而后者可求所有根（單根）.再如在講逆冪法的功能時(shí)，不少書講逆冪法的功能是求A按模最小特征值及對(duì)應(yīng)特征向量，實(shí)際上應(yīng)強(qiáng)調(diào)是求1?A的按模最大特征值及特征向量為好.因?yàn)閿?shù)學(xué)上只關(guān)心按模最大特征值.工程物理問題只關(guān)心固有頻率（基頻），或許還關(guān)心次頻、第三頻，所對(duì)應(yīng)特征值為最大特征值、次大特征值等.實(shí)際上逆冪法并不單獨(dú)使用，它總是和對(duì)稱矩陣三對(duì)角化（鏡面反射變換）對(duì)分法求指定特征值、原點(diǎn)平移配合使用的，它所求的特征值是A經(jīng)過原點(diǎn)平移后的最小特征值，而不是A的最小特征值，一般教材中過分強(qiáng)調(diào)原點(diǎn)平移后會(huì)降低按模最大特征值和按模次大特征值之比，實(shí)際上原點(diǎn)平移可能改變特征值序號(hào)，還可能增大二者的比，在數(shù)值計(jì)算中也只和對(duì)分法和逆冪法配合使用才有意義。

內(nèi)容概要

　　《計(jì)算方法》比較全面地介紹了科學(xué)與工程計(jì)算中常用的計(jì)算方法，具體介紹了這些計(jì)算方法的基本理論與實(shí)際應(yīng)用，同時(shí)對(duì)這些數(shù)值計(jì)算方法的計(jì)算效果、穩(wěn)定性、收斂效果、適用范圍以及優(yōu)劣性與特點(diǎn)也做了簡(jiǎn)要分析。全書共11章，主要介紹數(shù)值代數(shù)和數(shù)值逼近中常用的實(shí)用算法，書中的所有算法都用帶計(jì)算過程和計(jì)算條件的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述。凡可以手算的算法都附有帶計(jì)算過程的算例。書中較為詳細(xì)地介紹了變帶寬壓縮存儲(chǔ)平方根法和壓縮存儲(chǔ)Seidel迭代法，并附有C程序。書中所有算例的結(jié)果都用程序驗(yàn)證過，保證無(wú)錯(cuò)，書中有些內(nèi)容是作者的科研成果?！队?jì)算方法》可作為高等院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計(jì)算科學(xué)、應(yīng)用物理學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等專業(yè)的高年級(jí)本科生和工科碩士研究生使用，也可供從事科學(xué)與工程計(jì)算的科技工作者參考。

書籍目錄

第1章 誤差和算法選擇1.1 誤差概念1.1.1 誤差分類1.1.2 誤差表示法和誤差限1.1.3 誤差運(yùn)算1.1.4 有效數(shù)字1.2 算法選擇1.2.1 正確性1.2.2 選擇低復(fù)雜性算法1.2.3 減少誤差的一些簡(jiǎn)單辦法1.2.4 一種新的算法模式習(xí)題1第2章 解線性方程組方法之直接法2.1 Gauss消元法2.1.1 Gauss消元法2.1.2 Gauss消元法的計(jì)算過程和計(jì)算算例2.1.3 Gauss消元法計(jì)算量2.1.4 Gauss列主元素消元法2.1.5 Gauss全主元素消元法2.1.6 Gauss列主元法和Gauss全主元法計(jì)算量2.1.7 Gauss全主元素消元法計(jì)算程序2.1.8 消元法適用范圍2.2 矩陣三角分解法2.2.1 LU分解法2.2.2 LU分解算例2.2.3 利用LU分解法解方程組2.2.4 LU分解法解方程組算例2.2.5 平方根法和改進(jìn)平方根法2.2.6 改進(jìn)平方根法2.2.7 LU分解法、平方根法和改進(jìn)平方根法計(jì)算量2.2.8 變帶寬壓縮存儲(chǔ)平方根法2.2.9 追趕法2.3 范數(shù)簡(jiǎn)介2.3.1 向量范數(shù)定義2.3.2 常用向量范數(shù)2.3.3 向量范數(shù)性質(zhì)2.3.4 矩陣范數(shù)定義2.3.5 矩陣范數(shù)基本性質(zhì)2.4 直接法的穩(wěn)定性分析2.4.1 常見穩(wěn)定性分析2.4.2 消元法穩(wěn)定性分析2.4.3 三角分解法穩(wěn)定性分析2.4.4 直接法穩(wěn)定性分析結(jié)論習(xí)題2第3章 解方程f（x）=0的迭代法3.1 逐次迭代法3.1.1 逐次迭代法3.1.2 收斂階3.1 -3逐次迭代法的幾何意義3.1 -4計(jì)算實(shí)例3.2 Newton法3.2.1 Newton法算式推導(dǎo)3.2.2 Newton法的幾何意義3.2 -3Newton法的收斂條件3.2.4 Newton法的計(jì)算過程和計(jì)算實(shí)例3.3 割線法3.3.1 單點(diǎn)割線法3.3.2 單點(diǎn)割線法的收斂條件3.3.3 單點(diǎn)割線法的計(jì)算過程和計(jì)算實(shí)例3.3.4 雙點(diǎn)割線法3.3.5 雙點(diǎn)割線法的收斂條件3.3.6 雙點(diǎn)割線法的計(jì)算過程和計(jì)算實(shí)例3.4 對(duì)分法3.4.1 對(duì)分法算式推導(dǎo)3.4.2 對(duì)分法的計(jì)算過程和計(jì)算實(shí)例3.5 分離根方法及求所有根算法3.5.1 分離根方法3.5.2 求所有根算法3.5.3 特殊處理3.5.4 計(jì)算實(shí)例習(xí)題3第4章 解線性代數(shù)方程組的迭代法4.1 向量序列和矩陣序列的極限4.2 Jacobi迭代法4.2.1 Jacobi迭代法推導(dǎo)4.2.2 Jacobi迭代法的矩陣形式4.2.3Jacobi迭代法的計(jì)算過程和計(jì)算實(shí)例4.3 Seidel迭代法4.3.1 Seidel迭代算法推導(dǎo)4.3.2 Seidel迭代法的矩陣表示4.3.3 Seidel迭代法的計(jì)算過程和計(jì)算實(shí)例4.4 松弛法4.4.1 松弛法計(jì)算公式4.4.2 松弛法的矩陣形式4.4.3 松弛法的計(jì)算過程和計(jì)算實(shí)例4.5 迭代法收斂條件4.5.1 對(duì)角占優(yōu)矩陣和不可約矩陣4.5.2 迭代法的收斂條件和誤差估計(jì)4.6 壓縮存儲(chǔ)迭代法4.6.1 壓縮存儲(chǔ)Seidel迭代法4.6.2 壓縮存儲(chǔ)Seidel迭代法計(jì)算公式4.6.3 壓縮存儲(chǔ)Seidel迭代法計(jì)算步驟4.6.4 計(jì)算實(shí)例習(xí)題4第5章 特征值數(shù)值算法5.1 冪法5.1.1 冪法計(jì)算公式5.1.2 實(shí)用冪法5.1.3 實(shí)用冪法的計(jì)算過程和計(jì)算實(shí)例5.2 原點(diǎn)平移和逆冪法5.2.1 原點(diǎn)平移算式5.2.2 原點(diǎn)平移加冪法的計(jì)算特征值過程和計(jì)算實(shí)例5.2.3 逆冪法5.2.4 逆冪法計(jì)算實(shí)例5.3 實(shí)對(duì)稱矩陣特征值數(shù)值算法——對(duì)分法5.3.1 鏡面反射矩陣及其性質(zhì)5.3.2 實(shí)對(duì)稱矩陣三對(duì)角化5.3.3 實(shí)對(duì)稱矩陣三對(duì)角化算法5.3.4 實(shí)對(duì)稱矩陣三對(duì)角化程序5.3.5 求實(shí)對(duì)稱矩陣特征值的對(duì)分法習(xí)題5第6章 代數(shù)插值多項(xiàng)式6.1 Lagrange插值多項(xiàng)式6.1 -1Lagrange插值多項(xiàng)式6.1.2 代數(shù)插值多項(xiàng)式余項(xiàng)6.1.3 Lagrange插值多項(xiàng)式計(jì)算及計(jì)算實(shí)例6.2 Newton插值多項(xiàng)式6.2.1 一階、二階Newton插值多項(xiàng)式系數(shù)計(jì)算6.2.2 差商及其計(jì)算公式6.2.3 Newton插值多項(xiàng)式計(jì)算6.2.4 用Newton插值多項(xiàng)式做插值計(jì)算的計(jì)算步驟和實(shí)例6.2.5 帶重節(jié)點(diǎn)的Newton插值多項(xiàng)式6.2.6 帶重節(jié)點(diǎn)的Newton插值多項(xiàng)式計(jì)算過程和計(jì)算實(shí)例6.2.7 帶重節(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式的插值余項(xiàng)6.3 冪級(jí)數(shù)型代數(shù)插值多項(xiàng)式6.3.1 冪級(jí)數(shù)型插值多項(xiàng)式6.3.2 冪級(jí)數(shù)型插值多項(xiàng)式計(jì)算過程和計(jì)算實(shí)例6.4 代數(shù)插值多項(xiàng)式的收斂性和穩(wěn)定性6.4.1 代數(shù)插值多項(xiàng)式的收斂性6.4.2 代數(shù)插值多項(xiàng)式穩(wěn)定性分析……第7章 樣條函數(shù)第8章 有理插值第9章 數(shù)值微積分第10章 常微分方程初值問題的數(shù)值解第11章 算法、公式、程序和語(yǔ)句參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

　　2.測(cè)試誤差　　所有實(shí)際計(jì)算問題在計(jì)算前都有。一定量的已知數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)絕大多數(shù)都是由儀器儀表測(cè)量出來的，所有儀器儀表都有測(cè)量精度，測(cè)量精度決定于該儀器儀表的最小刻度或最小量度?！　”茸钚】潭然蜃钚×慷刃〉牟糠种荒苡盟纳嵛迦敕ū硎?，由此帶來的誤差稱為測(cè)試誤差，測(cè)試誤差為該儀器儀表的最小刻度或量度的一一半。例如木匠用卷尺或角尺測(cè)量家具長(zhǎng)度，卷尺和角尺的最小刻度為1mm，測(cè)試誤差為0.5 mm.測(cè)試誤差實(shí)際上就是最大測(cè)試誤差，常用絕對(duì)值表示?！　?.舍入誤差　　所有工程物理問題的計(jì)算都不是人工完成的，而是計(jì)算機(jī)完成的，所有數(shù)都存放在計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)器里（對(duì)于較大型問題及數(shù)據(jù)較多的問題，原始數(shù)據(jù)先以文件方式存入外存儲(chǔ)器，程序運(yùn)行時(shí)再讀入內(nèi)存器），存儲(chǔ)器由若干字節(jié)組成，一個(gè)數(shù)可存放在一個(gè)字節(jié)里，也可存放在兩個(gè)字節(jié)里，還可存放在4個(gè)字節(jié)里，甚至可存放在16個(gè)字節(jié)里（4倍精度數(shù)）。即使存放在16個(gè)字節(jié)里，也不可能存放無(wú)理數(shù)或超過16個(gè)字節(jié)所允許的長(zhǎng)度的更長(zhǎng)數(shù)，在計(jì)算機(jī)中，整數(shù)或長(zhǎng)整數(shù)是沒有誤差的，但實(shí)（型）數(shù)是用尾數(shù)和指數(shù)表示的，尾數(shù)中第1個(gè)數(shù)表示數(shù)符，指數(shù)中第1個(gè)數(shù)為階符，尾數(shù)和指數(shù)的數(shù)字（二進(jìn)制）個(gè)數(shù)是有限的。比尾數(shù)所容許的個(gè)數(shù)多的數(shù)后面的數(shù)字只能舍或入，若尾數(shù)（去掉數(shù)符）共k位，則對(duì)有k+1位數(shù)字（后面介紹）的數(shù)的第k+1位用舍入處理（轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)后為四舍五入），對(duì)于階比指數(shù)中所允許的最大值還大的數(shù)，當(dāng)階符為正時(shí)，溢出當(dāng)階符為負(fù)時(shí)，以0表示，由此所產(chǎn)生的誤籌稱為舍入誤差。　　……

編輯推薦

　　《計(jì)算方法》特點(diǎn)：全書所有算法都用帶計(jì)算過程和計(jì)算條件的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述，糾正了一般計(jì)算方法中不當(dāng)?shù)奶岱ê徒Y(jié)論，強(qiáng)調(diào)實(shí)用和應(yīng)用，對(duì)絕大多數(shù)（除壓縮存儲(chǔ)迭代法外）算法都給出了手算算例，其計(jì)算結(jié)論都用程序做了驗(yàn)證。增加了一些新算法。

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