高等數(shù)學(xué)

前言

　　前言　　在我國(guó)，高等職業(yè)技術(shù)學(xué)院是近十幾年才開(kāi)始興辦的一種新型學(xué)院，她的辦學(xué)目標(biāo)與其他傳統(tǒng)高等院校有較大的差異，她是以培養(yǎng)生產(chǎn)、管理、服務(wù)一線的職業(yè)崗位能力為核心的高等職業(yè)教育。在總學(xué)時(shí)不可能增加甚至減少的前提下，實(shí)踐性教學(xué)學(xué)時(shí)比重大幅度增加，理論性教學(xué)學(xué)時(shí)就必須有所縮減。作為工科類(lèi)高職院校開(kāi)設(shè)的“高等數(shù)學(xué)”，其學(xué)習(xí)重點(diǎn)發(fā)生了重大轉(zhuǎn)變，其學(xué)時(shí)也已經(jīng)大幅度地縮減，這使得僅僅依靠簡(jiǎn)單的章節(jié)刪減和教師個(gè)人對(duì)現(xiàn)行教材的靈活處理難以達(dá)到高效教學(xué)的目的。有必要根據(jù)高等職業(yè)技術(shù)學(xué)院的培養(yǎng)目標(biāo)和特點(diǎn)，對(duì)現(xiàn)有“高等數(shù)學(xué)”課程的內(nèi)容進(jìn)行增刪、重組和整合。為此，我們編著的總體思想是，以提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題能力為核心，以數(shù)學(xué)思想優(yōu)先于數(shù)學(xué)方法，數(shù)學(xué)方法優(yōu)先于數(shù)學(xué)知識(shí)作為教學(xué)內(nèi)容的選取原則，以有限的教學(xué)時(shí)數(shù)最大化教學(xué)內(nèi)容為追求目標(biāo)。　　在加強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)分析解決實(shí)際問(wèn)題能力的培訓(xùn)方面，大大加強(qiáng)了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求最值，運(yùn)用微元法求面積、旋轉(zhuǎn)體體積、力和功等的培訓(xùn)。在大幅度縮減與提高應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題能力關(guān)系不密切的培訓(xùn)方面，大幅度縮減微分、不定積分計(jì)算技巧的培訓(xùn)，弱化或刪除定理的證明培訓(xùn)，即求證數(shù)學(xué)思想和方法正確性的培訓(xùn)等。所以，我們花費(fèi)了大量的時(shí)間和精力來(lái)分清楚哪些是數(shù)學(xué)的本質(zhì)內(nèi)容，哪些是為了嚴(yán)密描述數(shù)學(xué)的本質(zhì)內(nèi)容而設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。具體做了以下方面的處理?！　。?）Mathematica。在高職院校，數(shù)學(xué)主要是為專(zhuān)業(yè)課程服務(wù)，其核心是將專(zhuān)業(yè)問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)問(wèn)題，如何求得具體答案，Mathematica軟件提供了強(qiáng)大的功能，這對(duì)降低學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難度起到了難以估量的作用。　?。?）極限。極限本身不是我們要直接解決的問(wèn)題，我們想解決的是如何計(jì)算“速度”和“面積”等問(wèn)題，極限思想在這里起到了關(guān)鍵性的作用。本教材大大加強(qiáng)了對(duì)極限思想的理解訓(xùn)練。但是，在極限的運(yùn)算訓(xùn)練中，主要保留了利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和洛必達(dá)法則計(jì)算函數(shù)極限，刪除了利用兩個(gè)重要極限等技巧性方法，這樣，既可以解決幾乎所有常見(jiàn)函數(shù)的求極限問(wèn)題，又可以大大節(jié)約教學(xué)學(xué)時(shí)。　?。?）導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算簡(jiǎn)單易學(xué)，基本上沒(méi)有作太大變動(dòng)。熟練的微分運(yùn)算技巧有助于計(jì)算不定積分。但是，本教材以查表或利用Mathematica軟件求原函數(shù)（不定積分）為主，所以只簡(jiǎn)單介紹了微分計(jì)算，大幅度降低了微分計(jì)算的訓(xùn)練?！　。?）不定積分。不定積分的計(jì)算是現(xiàn)行《高等數(shù)學(xué)》的主要內(nèi)容和難點(diǎn)內(nèi)容，其功能是求原函數(shù)。不定積分的計(jì)算之所以是現(xiàn)行《高等數(shù)學(xué)》的主要內(nèi)容，是因?yàn)橛?jì)算它要有很強(qiáng)的技巧。不定積分的計(jì)算之所以難，一方面，即使最常見(jiàn)的初等函數(shù)的不定積分也未必是初等函數(shù)，根本就“積不出”；另一方面，積分運(yùn)算沒(méi)有通用的乘法、除法及復(fù)合運(yùn)算法則。這導(dǎo)致不定積分的計(jì)算不像導(dǎo)數(shù)那么得心應(yīng)手，不同的函數(shù)要用不同的方法，要有很強(qiáng)的技巧。這不僅是不定積分的魅力所在，而且也是其致命缺陷。作為以運(yùn)用《高等數(shù)學(xué)》解決實(shí)際問(wèn)題為主要目的的學(xué)生，應(yīng)受到更多的訓(xùn)練是，如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后利用現(xiàn)成的數(shù)學(xué)工具或數(shù)學(xué)結(jié)論得出結(jié)果，而不是花太多的時(shí)間解決數(shù)學(xué)本身的問(wèn)題。因此，本教材只保留了介紹不定積分的簡(jiǎn)單計(jì)算，更多更復(fù)雜的不定積分計(jì)算通過(guò)查表或借助Mathematica軟件解決?！　⊥ㄟ^(guò)定義積分運(yùn)算來(lái)引入不定積分，將不定積分作為積分運(yùn)算的結(jié)果。不定積分的本質(zhì)是一個(gè)（函數(shù)）集合，如果孤立地以（函數(shù)）集合來(lái)定義不定積分，就不能直接反映不定積分記號(hào)中的積分運(yùn)算符號(hào)和微分運(yùn)算符號(hào)之間的本質(zhì)聯(lián)系，大大增加了學(xué)生理解湊微分法的難度。在以往的不定積分定義中，定義時(shí)以（函數(shù)）集合身份出現(xiàn)，在運(yùn)算時(shí)又以函數(shù)身份出現(xiàn)，使學(xué)生感到茫然。我們將不定積分定義為積分運(yùn)算的結(jié)果，以微分方程的解集形式引入就顯得更加自然流暢，易于理解?！　。?）定積分。定積分的應(yīng)用十分廣泛，為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，為了更能反映積分的原始思想，為了更恰當(dāng)?shù)伢w現(xiàn)定積分的重要性，為了讓學(xué)生更及時(shí)地了解連續(xù)函數(shù)的作用，本教材將定積分的內(nèi)容提前，將函數(shù)的連續(xù)概念及其性質(zhì)安排在定積分之后。非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的是運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題，即如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題或建立數(shù)學(xué)模型求解。本教材大大加強(qiáng)了這方面的訓(xùn)練。　?。?）多元微積分。多元微積分是一元微積分的推廣，其思想精髓和一元微積分一樣，只是在具體處理和計(jì)算技巧上有較大差異。考慮到高職教育的定位，這里只介紹了一些基本內(nèi)容，并盡可能借用一元微積分的方法來(lái)處理，大大降低了學(xué)習(xí)的難度?！　。?）微分方程。現(xiàn)行教材通常選擇針對(duì)自由項(xiàng)f（x）的形式逐一求特解和通解，然后根據(jù)通解求實(shí)際問(wèn)題中滿(mǎn)足特定初始條件的特解。這是我們數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)人員最擅長(zhǎng)最常用的從一般到特殊的思維模式，這對(duì)于以解決數(shù)學(xué)問(wèn)題為培養(yǎng)目的是非常合適的。但是，我們培養(yǎng)的是非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，不是以解決數(shù)學(xué)問(wèn)題本身為目的，而是以解決實(shí)際問(wèn)題為培養(yǎng)目的的，本教材摒棄了這種方法?！　∥覀冞x用了拉氏變換求解的方法，并用極短的篇幅引入了拉氏變換，這樣更接近實(shí)際，更加高效率。在實(shí)際問(wèn)題中，人們要解決的問(wèn)題常常是求滿(mǎn)足某些特定初始條件的特解。這樣，不但能更直接地解決實(shí)際問(wèn)題，又能大大降低記憶各種形式的f（x）的特解形式，還可以避免求通解而必須學(xué)習(xí)微分方程的解的結(jié)構(gòu)等較抽象、難度高的內(nèi)容，降低了學(xué)習(xí)難度。更重要的是大大提高了解決實(shí)際問(wèn)題的能力，縮短了學(xué)習(xí)時(shí)間，還避免了無(wú)效的重復(fù)計(jì)算，提高了學(xué)習(xí)和工作效率?！　。?）級(jí)數(shù)。級(jí)數(shù)的和函數(shù)可以在形式上與級(jí)數(shù)中的函數(shù)項(xiàng)毫無(wú)相同之處，更具體地說(shuō)，有些函數(shù)可以等于在形式上毫不相干的冪級(jí)數(shù)或傅里葉級(jí)數(shù)。哪些函數(shù)可以用冪函數(shù)或三角函數(shù)來(lái)逼近、如何逼近等許多問(wèn)題不是我們所必須解決的，那是數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)人士的工作。所以，我們只簡(jiǎn)單介紹了級(jí)數(shù)的基本知識(shí)，著重于如何將常見(jiàn)函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)或傅里葉級(jí)數(shù)，尤其是利用幾個(gè)基本函數(shù)的冪級(jí)數(shù)對(duì)常見(jiàn)函數(shù)進(jìn)行泰勒展開(kāi)，而不是判斷級(jí)數(shù)的斂散性?！　。?）資料。本教材試圖通過(guò)提供一些重要數(shù)學(xué)思想產(chǎn)生的背景資料來(lái)進(jìn)一步幫助學(xué)生理解和掌握這些重要的數(shù)學(xué)思想等。通過(guò)提供資料的形式來(lái)向傳統(tǒng)高等數(shù)學(xué)教材過(guò)渡?！　。?0）學(xué)習(xí)指引。由于本教材的編著思想與現(xiàn)行教材有較大的差異，我們?cè)诓簧僬鹿?jié)都插入了學(xué)習(xí)指引，在更具體的問(wèn)題上來(lái)進(jìn)一步闡述我們的教材設(shè)計(jì)思想，僅供使用者參考?！　。?1）數(shù)學(xué)用表。本教材的重點(diǎn)放在運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題上，我們建議以考核學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力為主。所以，除了在書(shū)后附有重新設(shè)計(jì)的較常用積分表和拉普拉斯變換表外，還附有一頁(yè)最常見(jiàn)的公式表，以方便考試時(shí)撕下使用。　　本教材的編著思想是編著者經(jīng)過(guò)十多年的職業(yè)教育實(shí)踐所形成的，并經(jīng)過(guò)縝密的思考和試驗(yàn)后，于2000年完成初稿。經(jīng)過(guò)四輪的使用實(shí)踐，我們對(duì)其進(jìn)行了四次修改。在本次修改中，我們?cè)黾恿薓athematica軟件的使用，希望探求降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度提高學(xué)生興趣的新途徑?！　”緯?shū)由張建文、吳賢敏、金曉燕擔(dān)任主編，劉偉峰、黃偉祥、嚴(yán)峰、石海平、洪潔怡、袁曉莉和鄧朝發(fā)也參加了編寫(xiě)，在此表示感謝?！　埥ㄎ摹　?011年7月

內(nèi)容概要

　　《高等數(shù)學(xué)》主要介紹了Mathematica軟件、函數(shù)極限、微積分、函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、定積分的應(yīng)用、多元函數(shù)的微積分、常微分方程、級(jí)數(shù)等方面內(nèi)容。重點(diǎn)放在運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題上，大大加強(qiáng)了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求最值，運(yùn)用微元法求面積、旋轉(zhuǎn)體體積、力和功等的訓(xùn)練?！　　陡叩葦?shù)學(xué)》適合于高職高專(zhuān)各個(gè)專(zhuān)業(yè)的師生學(xué)習(xí)使用，同時(shí)也可供應(yīng)用型本科師生參考使用。

書(shū)籍目錄

微積分思想概述第一章　Mathematica軟件第一節(jié)　Mathematica概述第二節(jié)　Mathematica的基本量第二章　函數(shù)極限第一節(jié)　函數(shù)極限的概念第二節(jié)　函數(shù)極限的性質(zhì)及其運(yùn)算第三節(jié)　無(wú)窮小量及其比較第三章　函數(shù)的微積分第一節(jié)　函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念第二節(jié)　求導(dǎo)法則第三節(jié)　函數(shù)的微分運(yùn)算第四節(jié)　函數(shù)的積分運(yùn)算第五節(jié)　函數(shù)定積分的概念第六節(jié)　函數(shù)的廣義積分第七節(jié)　函數(shù)的連續(xù)性第八節(jié)　連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第四章　函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)　利用導(dǎo)數(shù)求極限第二節(jié)　利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性第三節(jié)　利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值第四節(jié)　導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用第五章　定積分的應(yīng)用第一節(jié)　利用微元法求面積第二節(jié)　利用微元法求體積第三節(jié)　利用微元法求功第四節(jié)　利用微元法求力第五節(jié)　微元法在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用第六節(jié)　微元法的其他應(yīng)用第六章　多元函數(shù)的微積分第一節(jié)　多元函數(shù)的概念第二節(jié)　偏導(dǎo)數(shù)第三節(jié)　多元函數(shù)的極值第四節(jié)　二重積分的概念及性質(zhì)第五節(jié)　二重積分的運(yùn)算第七章　常微分方程第一節(jié)　利用分離變量法和常數(shù)變易法解微分方程第二節(jié)　利用拉普拉斯變換解微分方程第三節(jié)　微分方程與數(shù)學(xué)模型第八章　級(jí)數(shù)第一節(jié)　正項(xiàng)級(jí)數(shù)第二節(jié)　冪級(jí)數(shù)第三節(jié)　傅里葉級(jí)數(shù)附錄A　原函數(shù)(積分)表附錄B　幾個(gè)常見(jiàn)的定積分附錄C　常用函數(shù)的拉氏變換表附錄D　常用函數(shù)的拉氏逆變換表附錄E　部分習(xí)題參考答案附錄F　考試用公式參考文獻(xiàn)

圖書(shū)封面

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