抽象代數(shù)Ⅰ

內(nèi)容概要

本書是作者多年來在北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院為本科生開設(shè)抽象代數(shù)課程的基礎(chǔ)上編寫的，系統(tǒng)講述了抽象代數(shù)的基本理論和方法。它反映了新時期本科生抽象代數(shù)課程的教學(xué)理念，凝聚了作者及同事們所積累的豐富教學(xué)經(jīng)驗。書中首先對于群、環(huán)、體、域的具有共性的部分一并作了介紹，然后分別講述了這些代數(shù)結(jié)構(gòu)比較專門的內(nèi)容，并簡述了模與格的最基礎(chǔ)的知識。本書針對抽象代數(shù)的特點，每節(jié)后精選了較多的典型習(xí)題，并給出較詳細的提示或解答，以幫助讀者更好地掌握抽象代數(shù)的解題方法與技巧，提高解題能力。    本書注重講述必要的基礎(chǔ)知識，同時也力圖使讀者能夠?qū)τ诔橄蟠鷶?shù)的主要思想方法有所體會。例如在講解了群的知識之后，用群論的方法考查了正多面體，以詮釋群論本質(zhì)上是研究對稱的學(xué)科；在講解了環(huán)和域后，介紹了它們在幾何與數(shù)論方面的應(yīng)用。本書在敘述上由淺入深、循序漸進、語言精練、清晰易懂，并注意各章節(jié)之間的內(nèi)在聯(lián)系與呼應(yīng)，便于教學(xué)與自學(xué)。    本書可以作為綜合大學(xué)、高等師范院校數(shù)學(xué)系本科生的教材或教學(xué)參考書，也可供數(shù)學(xué)工作者閱讀。

書籍目錄

第1章  群、環(huán)、體、域的基本概念  §1.0 預(yù)備知識    習(xí)題  §1.1 群的基本概念    1.1.1 群的定義和簡單性質(zhì)    1.1.2 對稱群和交錯群    1.1.3 子群、陪集、Lagrange定理    1.1.4 正規(guī)子群與商群    1.1.5 同態(tài)與同構(gòu)，同態(tài)基本定理，正則表示    1.1.6 群的同構(gòu)定理    1.1.7 群的直和與直積    習(xí)題  §1.2 環(huán)的基本概念    1.2.1 定義和簡單性質(zhì)    1.2.2 子環(huán)、理想及商環(huán)    1.2.3 環(huán)的同態(tài)與同構(gòu)    1.2.4 環(huán)的直和與直積    習(xí)題  §1.3 體、域的基本概念    1.3.1 體、域的定義及例    1.3.2 四元數(shù)體    1.3.3 域的特征    習(xí)題第2章  群  §2.1 幾種特殊類型的群    2.1.1 循環(huán)群    2.1.2 單群，An(n≥5)的單性    2.1.3 可解群    2.1.4 群的自同構(gòu)群    習(xí)題  §2.2 群在集合上的作用和Sylow定理    2.2.1 群在集合上的作用    2.2.2 Sylow定理    習(xí)題  §2.3 合成群列    2.3.1 次正規(guī)群列與合成群列    2.3.2 Schreier定理與Jordan-Holder定理    習(xí)題  §2.4 自由群    習(xí)題  §2.5 正多面體及有限旋轉(zhuǎn)群    2.5.1 正多面體的旋轉(zhuǎn)變換群    2.5.2 三維歐氏空間的有限旋轉(zhuǎn)群    習(xí)題第3章  環(huán)  §3.1 環(huán)的若干基本知識    3.1.1 中國剩余定理    3.1.2 素理想與極大理想    3.1.3 分式域與分式化    習(xí)題  §3.2 整環(huán)內(nèi)的因子分解理論    3.2.1 整除性、相伴、不可約元與素元    3.2.2 唯一因子分解整環(huán)    3.2.3 主理想整環(huán)與歐幾里得環(huán)    3.2.4 唯一分解整環(huán)上的多項式環(huán)    習(xí)題第4章  域  §4.1 域擴張的基本概念    4.1.1 域的代數(shù)擴張與超越擴張    4.1.2 代數(shù)單擴張    4.1.3 有限擴張    4.1.4 代數(shù)封閉域    習(xí)題  §4.2 分裂域與正規(guī)擴張    4.2.1 多項式的分裂域    4.2.2 正規(guī)擴張    4.2.3 有限域    習(xí)題  §4.3 可分?jǐn)U張    4.3.1 域上的多項式的重因式    4.3.2 可分多項式    4.3.3 可分?jǐn)U張與不可分?jǐn)U張    習(xí)題  §4.4 Galois理論簡介    習(xí)題  §4.5 環(huán)與域的進一步知識簡介    4.5.1 與幾何的聯(lián)系    4.5.2 與數(shù)論的聯(lián)系第5章  模與格簡介  §5.1 模的基本概念    5.1.1 模的定義及例    5.1.2 子模與商模    5.1.3 模的同態(tài)與同構(gòu)    習(xí)題  §5.2 格的基本概念    5.2.1 格的定義及例    5.2.2 模格與分配格    5.2.3 Boole代數(shù)    習(xí)題習(xí)題提示與解答參考文獻符號說明名詞索引

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