概率初步

前言

　　概率論在現(xiàn)代科學、工程、醫(yī)學、管理以及經(jīng)濟金融等許多領(lǐng)域中已經(jīng)成為最重要的數(shù)學工具之一。因此，在現(xiàn)代的大學教育中，概率論應該并已經(jīng)成為許多學科數(shù)學教學體系中的一門基本課程?！陡怕食醪健肥枪P者根據(jù)多年對于概率論與統(tǒng)計學有關(guān)課程的教學經(jīng)驗所撰寫的一本初等概率論教科書。作為一本概率論的入門教材，《概率初步》適用于數(shù)學、物理、信息科學與技術(shù)等理科專業(yè)、各種工程專業(yè)、生物醫(yī)學專業(yè)、管理專業(yè)以及經(jīng)濟金融專業(yè)等學科本科生的初次概率論課程（區(qū)別于后續(xù)的、基于測度論的“高等概率論”課程）教學。學習《概率初步》，要求有高中的排列組合以及大學微積分的預備知識?！　闹庇^和結(jié)合應用的角度出發(fā)，《概率初步》在各種可能的場合引入了一些具有實際背景的概率論問題，并且在前4章的每章最后都附有補充材料，介紹更多的應用概率知識，供學生課外閱讀，以激發(fā)學生的學習興趣?！　〕醯雀怕收摰囊粋€特點是：聽懂課不難，但題目難做。掌握必要的工具和解題技巧是學好初等概率論的一個重要環(huán)節(jié)?！陡怕食醪健穼χT如條件概率、條件期望以及矩生成函數(shù)等工具的應用進行了強調(diào)?！陡怕食醪健返牧曨}都經(jīng)過反復斟酌精選。如果學生能夠獨立正確解答80%的習題，則證明其已具備了相當?shù)某醯雀怕驶A(chǔ)。　　概率論與統(tǒng)計學具有互為表里、不可分割的關(guān)系。《概率初步》的一個特色是在各種可能的場合盡量把概率論的數(shù)學概念與統(tǒng)計思想有機結(jié)合起來，務求使學生一方面能從具體的統(tǒng)計背景來理解抽象的概念；另一方面為未來學習統(tǒng)計學打下一定的基礎(chǔ)?！　〉?章介紹概率論的一些基本概念。本章特別強調(diào)了“試驗”的概念，因為在學習的開始階段，只有看清楚試驗是如何進行的，才能準確描述樣本空間及所感興趣的事件，建立起正確的概率模型。獨立試驗是事件獨立性的主要來源，在本章中用了相當?shù)墓P墨來介紹。等概率模型不僅是最基本的概率模型，而且通過“抽樣”的概念可以由之導出各種各樣的不等概率模型。對于“概率”的背景，本章給出了“客觀”和“主觀”兩種解釋，以拓寬學生的思路。概率的主觀解釋是現(xiàn)代統(tǒng)計學的一個重要分支——貝葉斯統(tǒng)計的基石。本章的補充材料包含兩部分內(nèi)容： 第一部分是一些有趣的概率問題，其中展現(xiàn)了一些有用的計算技巧；第二部分是幾何概率，展現(xiàn)將有限離散的等概率模型推廣到無限連續(xù)的等概率模型的思想。通過兩個著名的幾何概率模型（普豐試驗和貝特朗悖論），進一步強調(diào)了只有正確理解試驗的物理機制才能建立正確模型的思想?！　〉?章介紹概率論的核心概念——隨機變量。先從較易理解的離散型隨機變量入手，再引入一般隨機變量的概念，最后介紹連續(xù)型隨機變量。期望和方差是刻畫隨機變量統(tǒng)計特征的兩個重要的量。本章對這兩個概念從各種角度進行了詳盡的解釋，對一些常用的離散型和連續(xù)型隨機變量進行了較詳細的介紹。在隨機變量的函數(shù)一節(jié)，介紹了“矩”的概念及其在統(tǒng)計中的應用，并首次引進了矩生成函數(shù)的概念，說明其在求隨機變量的矩，特別是期望和方差中的用途。本章的補充材料包含兩部分內(nèi)容： 第一部分介紹了在生存分析和可靠性理論中重要的“危險率”概念，并引進了一個常用分布——威布爾分布；第二部分介紹一些常用的特殊分布，以拓寬學生的視野。　　第3章介紹多個隨機變量之間的關(guān)系，重點是兩個隨機變量的關(guān)系，其中涉及一些重要的概念：聯(lián)合分布、邊緣分布、條件分布、獨立性、條件期望、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)等。其中條件期望不僅本身是一個重要的概念，而且還是一個有力的工具。關(guān)于離散型和連續(xù)型隨機變量之間的關(guān)系，在實際問題中常會遇到，本章進行了介紹。計算隨機變量函數(shù)的分布與期望是技巧性很強的工作。本章對常用的方法進行了介紹，其中特別強調(diào)了在求獨立隨機變量和的期望和分布時，矩生成函數(shù)的強大功能。最后對多元正態(tài)分布進行了簡略的介紹。本章的補充材料包含兩部分內(nèi)容： 第一部分介紹隨機模擬的一種方法——拒絕法；第二部分對多元正態(tài)分布進行了較詳盡的介紹。這兩部分內(nèi)容不僅本身很有用，而且其中用到了本章中介紹的大量推導技巧。　　第4章介紹大數(shù)定律與中心極限定理，并引進了相關(guān)的依概率收斂和依分布收斂的概念。對大數(shù)定律與中心極限定理在實際應用中的重要性通過實例進行了強調(diào)。本章的補充材料包含兩部分內(nèi)容：以概率1收斂和強大數(shù)定律。這兩部分內(nèi)容是概率論中理論性較強、學習難度較大的內(nèi)容。筆者希望通過這兩部分內(nèi)容的閱讀可以幫助學生為進一步學習高等概率論作好適度的準備?！　〉?章簡要介紹兩個隨機過程——泊松過程與馬爾科夫鏈。這兩個過程本身有廣泛應用，其中又綜合運用了前幾章所學的知識。通過本章內(nèi)容的學習，學生可以得到對《概率初步》所學知識的一個綜合訓練。本章補充材料介紹馬爾科夫鏈的狀態(tài)分類和極限分布?！　楸阌诓殚啠陡怕食醪健纷詈蠼o出了簡要的參考書目錄和兩個附錄。附錄A是常用分布的列表。附錄B是三個常用分布的數(shù)表：標準正態(tài)分布數(shù)表、泊松分布數(shù)表和卡方分布數(shù)表。　　根據(jù)筆者的經(jīng)驗，如果有精心準備的電子教案，并輔之以適當?shù)牧曨}課，《概率初步》的內(nèi)容（不包含補充材料）可以在30個教學課時內(nèi)講完，并取得不錯的效果?！　　陡怕食醪健返牟莞褰?jīng)筆者的研究生馮漢杰作了仔細的審核，在此向他表示衷心的感謝。限于筆者的水平，書中難免存在錯誤或不妥之處，衷心希望廣大讀者批評指正。

內(nèi)容概要

本書為初等概率論教材，共包括5章和兩個附錄。分別介紹了概率論的一些基本概念、概率論的核心概念——隨機變量、多個隨機變量間的關(guān)系、大數(shù)定律與中心極限定理以及隨機過程，并在書末的附錄中列出了常用分布列表和常用分布數(shù)表。學習本書，要求有高中的排列組合以及大學微積分的預備知識。    本書適用于數(shù)學、物理、信息科學與技術(shù)等理科專業(yè)、各種工程專業(yè)、生物醫(yī)學專業(yè)、管理專業(yè)以及經(jīng)濟金融專業(yè)等學科的本科生。

書籍目錄

1 試驗、事件與概率　1.1 等概率模型　　1.1.1 定義　　1.1.2 等概率模型中的計數(shù)方法　　1.1.3 等概率模型的應用　1.2 試驗、 樣本空間與事件　　1.2.1 概念　　1.2.2 事件的運算與關(guān)系　1.3 事件的概率　　1.3.1 概率的公理與性質(zhì)　　1.3.2 概率的背景　1.4 條件概率　　1.4.1 條件概率與乘法公式　　1.4.2 全概率公式與貝葉斯公式　1.5 事件和試驗的獨立性　　1.5.1 事件的獨立性　　1.5.2 試驗的獨立性　　1.5.3 伯努利試驗序列　　1.5.4 有放回抽樣與無放回抽樣　習題　1.S 第1章補充材料　　1.S.1 幾個有趣的概率問題　　練習　　1.S.2 幾何概率2 隨機變量　2.1 離散型隨機變量　　2.1.1 離散型隨機變量的定義　　2.1.2 離散型隨機變量的期望　　2.1.3 離散型隨機變量的方差和標準差　2.2 幾個常用的離散型隨機變量　　2.2.1 離散均勻分布　　2.2.2 二項分布、幾何分布與負二項分布　　2.2.3 泊松分布　　2.2.4 超幾何分布　2.3 隨機變量與分布函數(shù)　　2.3.1 隨機變量的一般概念　　2.3.2 分布函數(shù)　2.4 連續(xù)型隨機變量　　2.4.1 連續(xù)型隨機變量的定義　　2.4.2 連續(xù)型隨機變量的期望、方差與標準差　　2.4.3 分位數(shù)　2.5 幾個常用的連續(xù)型隨機變量　　2.5.1 連續(xù)均勻分布　　2.5.2 正態(tài)（高斯）分布　　2.5.3 指數(shù)分布　　2.5.4 伽馬分布　　2.5.5 貝塔分布　2.6 隨機變量的函數(shù)　　2.6.1 隨機變量函數(shù)的分布　　2.6.2 隨機變量函數(shù)的期望　　2.6.3 矩與矩生成函數(shù)　習題　2.S 第2章補充材料　　2.S.1 危險率、威布爾分布　　2.S.2 一些特殊類型的分布3 多個隨機變量間的關(guān)系　3.1 兩個隨機變量的聯(lián)合分布與邊緣分布　　3.1.1 聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù)　　……4 大數(shù)定律與中心極限定理5 隨機過程簡介附錄A 常用分布列表　A.1 常用離散型分布　A.2 常用連續(xù)型分布附錄B 常用分布數(shù)表　B.1 標準正態(tài)分布數(shù)表　B.2 泊松分布數(shù)表　B.3 卡方分布數(shù)表參考文獻

章節(jié)摘錄

　　1 試驗、事件與概率　　1.2 試驗、 樣本空間與事件　　1.2.1 概念　　等概率模型是一類簡單的概率模型，起源于公平博取機會的問題。在自然和社會中有大量不確定現(xiàn)象，可以用一般的概率模型來刻畫。在科學或工程試驗中常遇到試驗結(jié)果的不確定性。

編輯推薦

　　《概率初步》適用于數(shù)學、物理、信息科學與技術(shù)等理科專業(yè)、各種工程專業(yè)、生物醫(yī)學專業(yè)、管理專業(yè)以及經(jīng)濟金融專業(yè)等學科的本科生。

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