高等代數(shù)（上冊）

前言

高等代數(shù)是大學數(shù)學科學學院（或數(shù)學系，應用數(shù)學系）最主要的基礎課程之一。本套教材是作者在北京大學進行高等代數(shù)課程建設和教學改革的成果，它具有下述鮮明特色。1.明確主線：以研究線性空間和多項式環(huán)的結構及其態(tài)射（線性映射，多項式環(huán)的通用性質）為主線。自從1832年伽羅瓦（Galois）利用一元高次方程的根的置換群給出了方程有求根公式的充分必要條件之后，代數(shù)學的研究對象發(fā)生了根本性的轉變。研究各種代數(shù)系統(tǒng)的結構及其態(tài)射（即保持運算的映射）成為現(xiàn)代代數(shù)學研究的中心問題。20世紀，代數(shù)學研究結構及其態(tài)射的觀點已經滲透到現(xiàn)代數(shù)學的各個分支中。因此，在高等代數(shù)課程的教學中貫穿研究線性空間和多項式環(huán)的結構及其態(tài)射這條主線，就是把握住了代數(shù)學的精髓。本套教材上冊的第1，2，3章研究線性方程組的解法、解的情況的判別和解集的結構時，貫穿了研究數(shù)域K上n維向量空間Kn及其子空間的結構這條主線。線性方程組是數(shù)學中最基礎、最有用的知識，0維向量空間Kn是n維線性空間的一個具體模型，n元齊次線性方程組的解空間的維數(shù)公式本質上是線性映射的核與值域的維數(shù)公式。因此把線性方程組和n維向量空間K作為高等代數(shù)課程的開始部分的內容，既符合學生的認知規(guī)律，又是高等代數(shù)知識的內在規(guī)律的體現(xiàn)。上冊的第4，5，6章研究矩陣的運算，矩陣的相抵、相似、合同關系及與它們有關的矩陣的特征值和特征向量、二次型。研究矩陣的運算為研究線性映射打下了基礎。矩陣的相抵關系在解決有關矩陣的秩的問題中起著重要作用，而矩陣的秩本質上是相應的線性映射的值域的維數(shù)。研究矩陣的相似標準形本質上是研究線性變換在一個合適的基下的矩陣具有最簡單的形式。研究對稱矩陣的合同標準形與研究二次型的化簡密切相關，而二次型與線性空間v上的雙線性函數(shù)有密切聯(lián)系。本套教材下冊的第7章研究一元和n元多項式環(huán)的結構及其態(tài)射（多項式環(huán)的通用性質），第8章研究線性空間的結構，第9章研究線性映射，第10章研究具有度量的線性空間的結構及與度量有關的線性變換。第11章研究多重線性代數(shù)時，基礎概念是多重線性映射，主要工具是線性空間的張量積。

內容概要

　　本套書作為大學“高等代數(shù)”課程的創(chuàng)新教材，是國家級優(yōu)秀教學團隊（北京大學基礎數(shù)學教學團隊）課程建設的組成部分，是國家級教學名師多年來進行高等代數(shù)課程建設和教學改革的成果?！　”咎讜灾v述線性空間和多項式環(huán)的結構及其態(tài)射為主線，遵循高等代數(shù)知識的內在規(guī)律和學生的認知規(guī)律安排內容體系，按照數(shù)學思維方式編寫，著重培養(yǎng)數(shù)學思維能力。上冊內容包括：線性方程組，行列式，n維向空間Kn，矩陣的運算，歐幾里得空間Rn，矩陣的相抵、相似，以及矩陣的合同與二次型。下冊內容包括：多項式環(huán)，線性空間，線性映射，具有度量的線性空間（歐幾里得空間、酉空間、正交空間和辛空間），環(huán)、域和群的概念及重要例子，多重線性代數(shù)。　　書中每節(jié)均包括內容精華、典型例題、習題，章末有補充題，還特別設置了“應用小天地”板塊。本書內容豐富、全面、深刻，闡述清晰、詳盡、嚴謹，可以幫助讀者在高等代數(shù)理論上和科學思維能力上都達到相當?shù)母叨?。本書適合用作綜合大學、高等師范院校和理工科大學的“高等代數(shù)”課程的教材，還可作為“高等代數(shù)”或“線性代數(shù)”課程的教學參考書，也是數(shù)學教師和科研工作者高質量的參考書。

作者簡介

　　丘維聲，北京大學數(shù)學科學學院教授，博士生導師，全國首屆高等學校國家級教學名師，美國數(shù)學會Mathematical Reviews評論員，中國數(shù)學會組合數(shù)學與圖論專業(yè)委員會首屆常務理事，國家教委高等學校數(shù)學與力學教學指導委員會（第一二屆）成員，中國高等教育學會教育數(shù)學專業(yè)

書籍目錄

引言 高等代數(shù)的內容和學習方法 第1章 線性方程組的解法 　1.1 解線性方程組的矩陣消元法 　　1.1.1 內容精華 　　1.1.2 典型例題 　　習題1.1 　1.2 線性方程組的解的情況及其判別準則 　　1.2.1 內容精華 　　1.2.2 典型例題 　　習題1.2 　1.3 數(shù)域 　　1.3.1 內容精華 　　1.3.2 典型例題 　　習題1.3 　補充題一 　應用小天地：配制食品模型 第2章 行列式 　2.1 n元排列 　　2.1.1 內容精華 　　2.1.2 典型例題 　　習題2.1 　2.2 n階行列式的定義 　　2.2.1 內容精華 　　2.2.2 典型例題 　　習題2.2 　2.3 行列式的性質 　　2.3.1 內容精華 　　2.3.2 典型例題 　　習題2.3 　2.4 行列式按一行（列）展開 　　2.4.1 內容精華 　　2.4.2 典型例題 　　習題2.4 　2.5 克萊姆（Cramer）法則 　　2.5.1 內容精華 　　2.5.2 典型例題 　　習題2.5 　2.6 行列式按k行（列）展開 　　2.6.1 內容精華 　　2.6.2 典型例題 　　習題2.6 　　補充題二 　　應用小天地：行列式的應用舉例 第3章 線性方程組的解集的結構 　3.1 n維向量空間K n 　　3.1.1 內容精華 　　3.1.2 典型例題 　　習題3.1 　3.2 線性相關與線性無關的向量組 　　3.2.1 內容精華 　　3.2.2 典型例題 　　習題3.2 　3.3 向量組的秩 　　3.3.1 內容精華 　　3.3.2 典型例題 　　習題3.3 　3.4 子空間的基與維數(shù) 　　3.4.1 內容精華 　　3.4.2 典型例題 　　習題3.4 　3.5 矩陣的秩 　　3.5.1 內容精華 　　3.5.2 典型例題 　　習題3.5 　3.6 線性方程組有解的充分必要條件 　　3.6.1 內容精華 　　3.6.2 典型例題 　　習題3.6 　3.7 齊次線性方程組的解集的結構 　　3.7.1 內容精華 　　3.7.2 典型例題 　　習題3.7 　3.8 非齊次線性方程組的解集的結構 　　3.8.1 內容精華 　　3.8.2 典型例題 　　習題3.8 　補充題三 　應用小天地：線性方程組在幾何中的應用 第4章 矩陣的運算 　4.1 矩陣的運算 　　4.1.1 內容精華 　　4.1.2 典型例題 　　習題4.1 　4.2 特殊矩陣 　　4.2.1 內容精華 　　4.2.2 典型例題 　　習題4.2 　4.3 矩陣乘積的秩與行列式 　　4.3.1 內容精華 　　4.3.2 典型例題 　　習題4.3 　4.4 可逆矩陣 　　4.4.1 內容精華 　　4.4.2 典型例題 　　習題4.4 　4.5 矩陣的分塊 　　4.5.1 內容精華 　　4.5.2 典型例題 　　習題4.5 　4.6 正交矩陣·歐幾里得空間Rn 　　4.6.1 內容精華 　　4.6.2 典型例題 　　習題4.6 　4.7 Kn到Ks的線性映射 　　4.7.1 內容精華 　　4.7.2 典型例題 　　習題4.7 　　補充題四 　　應用小天地：區(qū)組設計的關聯(lián)矩陣 第5章 矩陣的相抵與相似 　5.1 等價關系與集合的劃分 　　5.1.1 內容精華 　　5.1.2 典型例題 　　習題5.1 　5.2 矩陣的相抵 　　5.2.1 內容精華 　　5.2.2 典型例題 　　習題5.2 　5.3 廣義逆矩陣 　　5.3.1 內容精華 　　5.3.2 典型例題 　　習題5.3 　5.4 矩陣的相似 　　5.4.1 內容精華 　　5.4.2 典型例題 　　習題5.4 　5.5 矩陣的特征值和特征向量 　　5.5.1 內容精華 　　5.5.2 典型例題 　　習題5.5 　5.6 矩陣可對角化的條件 　　5.6.1 內容精華 　　5.6.2 典型例題 　　習題5.6 　5.7 實對稱矩陣的對角化 　　5.7.1 內容精華 　　5.7.2 典型例題 　　習題5.7 　　補充題五 　　應用小天地：矩陣的特征值在實際問題中的應用 第6章 二次型·矩陣的合同 　6.1 二次型及其標準形 　　6.1.1 內容精華 　　6.1.2 典型例題 　　習題6.1 　6.2 實二次型的規(guī)范形 　　6.2.1 內容精華 　　6.2.2 典型例題 　　習題6.2 　6.3 正定二次型與正定矩陣 　　6.3.1 內容精華 　　6.3.2 典型例題 　　習題6.3 　　補充題六 　　應用小天地：二次曲面的類型 　　習題答案與提示 第1章 線性方程組的解法 第2章 行列式 第3章 線性方程組的解集的結構 第4章 矩陣的運算 第5章 矩陣的相抵與相似 第6章 二次型·矩陣的合同 參考文獻 作者主要著譯作品

章節(jié)摘錄

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編輯推薦

《高等代數(shù)(上冊):大學高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材》是由全國首屆高等學校國家級教學名師傾力打造，內容精華：重基礎，講想法，理論深刻，典型例題：例題多，題型廣，分析透徹，應用小天地：提升能力，開拓視野，用心閱讀此書，有助于您在高等代數(shù)理論上和科學思維能力上都達到相當?shù)母叨?！本套書作為大學高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材，是作者從事教學、科研工作40年的經驗和心得的結晶，也是作者在北京大學進行高等代數(shù)課程建設和教學改革的成果?！陡叩却鷶?shù)(上冊):大學高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材》是北京市高等教育精品教材立項項目本套教材特色：明確主線。以研究線性空間和多項式環(huán)的結構及其態(tài)射（線性映射、多項式環(huán)的通用性質）為主線，把握住了現(xiàn)代代數(shù)學的精髓。內容全面。包括線性代數(shù)，多項式環(huán)，環(huán)、域和群的概念及重要例子，多重線性代數(shù)，共四大部分。理論深刻。闡述和證明了許多重要結論，其中包括一些研究性課題成果。創(chuàng)新亮點。闡述了多項式環(huán)的通用性質，運用一元多項式環(huán)的通用性質和線性變換的最小多項式徹底解決了線性變換的標準形問題，并研究了其他重要問題。強調思維。按照數(shù)學思維方式編寫，著重培養(yǎng)數(shù)學思維能力，讓同學們在掌握高等代數(shù)知識的同時受到數(shù)學思維方式的訓練，得以終身受益。體例新穎。每節(jié)均設有“內容精華”、“典型例題”專欄，許多例題是內容精華中理論的延伸，通過例題解析，給同學們呈現(xiàn)如何解題的范例，幫助同學們提高分析問題和解決問題的能力；每章還特別設置“應用小天地”板塊，闡述高等代數(shù)知識在實際問題中的應用，有利于同學們開闊眼界，增強學習的興趣?？勺x性強。闡述清晰、詳盡、嚴謹，對于后文要用到的結論，前面章節(jié)均作了鋪墊，環(huán)環(huán)相扣，層層深入，順理成章。

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