高等代數(shù)（上冊(cè)）

前言

高等代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院（或數(shù)學(xué)系，應(yīng)用數(shù)學(xué)系）最主要的基礎(chǔ)課程之一。本套教材是作者在北京大學(xué)進(jìn)行高等代數(shù)課程建設(shè)和教學(xué)改革的成果，它具有下述鮮明特色。1.明確主線：以研究線性空間和多項(xiàng)式環(huán)的結(jié)構(gòu)及其態(tài)射（線性映射，多項(xiàng)式環(huán)的通用性質(zhì)）為主線。自從1832年伽羅瓦（Galois）利用一元高次方程的根的置換群給出了方程有求根公式的充分必要條件之后，代數(shù)學(xué)的研究對(duì)象發(fā)生了根本性的轉(zhuǎn)變。研究各種代數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其態(tài)射（即保持運(yùn)算的映射）成為現(xiàn)代代數(shù)學(xué)研究的中心問題。20世紀(jì)，代數(shù)學(xué)研究結(jié)構(gòu)及其態(tài)射的觀點(diǎn)已經(jīng)滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中。因此，在高等代數(shù)課程的教學(xué)中貫穿研究線性空間和多項(xiàng)式環(huán)的結(jié)構(gòu)及其態(tài)射這條主線，就是把握住了代數(shù)學(xué)的精髓。本套教材上冊(cè)的第1，2，3章研究線性方程組的解法、解的情況的判別和解集的結(jié)構(gòu)時(shí)，貫穿了研究數(shù)域K上n維向量空間Kn及其子空間的結(jié)構(gòu)這條主線。線性方程組是數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)、最有用的知識(shí)，0維向量空間Kn是n維線性空間的一個(gè)具體模型，n元齊次線性方程組的解空間的維數(shù)公式本質(zhì)上是線性映射的核與值域的維數(shù)公式。因此把線性方程組和n維向量空間K作為高等代數(shù)課程的開始部分的內(nèi)容，既符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，又是高等代數(shù)知識(shí)的內(nèi)在規(guī)律的體現(xiàn)。上冊(cè)的第4，5，6章研究矩陣的運(yùn)算，矩陣的相抵、相似、合同關(guān)系及與它們有關(guān)的矩陣的特征值和特征向量、二次型。研究矩陣的運(yùn)算為研究線性映射打下了基礎(chǔ)。矩陣的相抵關(guān)系在解決有關(guān)矩陣的秩的問題中起著重要作用，而矩陣的秩本質(zhì)上是相應(yīng)的線性映射的值域的維數(shù)。研究矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形本質(zhì)上是研究線性變換在一個(gè)合適的基下的矩陣具有最簡(jiǎn)單的形式。研究對(duì)稱矩陣的合同標(biāo)準(zhǔn)形與研究二次型的化簡(jiǎn)密切相關(guān)，而二次型與線性空間v上的雙線性函數(shù)有密切聯(lián)系。本套教材下冊(cè)的第7章研究一元和n元多項(xiàng)式環(huán)的結(jié)構(gòu)及其態(tài)射（多項(xiàng)式環(huán)的通用性質(zhì)），第8章研究線性空間的結(jié)構(gòu)，第9章研究線性映射，第10章研究具有度量的線性空間的結(jié)構(gòu)及與度量有關(guān)的線性變換。第11章研究多重線性代數(shù)時(shí)，基礎(chǔ)概念是多重線性映射，主要工具是線性空間的張量積。

內(nèi)容概要

　　本套書作為大學(xué)“高等代數(shù)”課程的創(chuàng)新教材，是國(guó)家級(jí)優(yōu)秀教學(xué)團(tuán)隊(duì)（北京大學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)團(tuán)隊(duì)）課程建設(shè)的組成部分，是國(guó)家級(jí)教學(xué)名師多年來進(jìn)行高等代數(shù)課程建設(shè)和教學(xué)改革的成果?！　”咎讜灾v述線性空間和多項(xiàng)式環(huán)的結(jié)構(gòu)及其態(tài)射為主線，遵循高等代數(shù)知識(shí)的內(nèi)在規(guī)律和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律安排內(nèi)容體系，按照數(shù)學(xué)思維方式編寫，著重培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力。上冊(cè)內(nèi)容包括：線性方程組，行列式，n維向空間Kn，矩陣的運(yùn)算，歐幾里得空間Rn，矩陣的相抵、相似，以及矩陣的合同與二次型。下冊(cè)內(nèi)容包括：多項(xiàng)式環(huán)，線性空間，線性映射，具有度量的線性空間（歐幾里得空間、酉空間、正交空間和辛空間），環(huán)、域和群的概念及重要例子，多重線性代數(shù)。　　書中每節(jié)均包括內(nèi)容精華、典型例題、習(xí)題，章末有補(bǔ)充題，還特別設(shè)置了“應(yīng)用小天地”板塊。本書內(nèi)容豐富、全面、深刻，闡述清晰、詳盡、嚴(yán)謹(jǐn)，可以幫助讀者在高等代數(shù)理論上和科學(xué)思維能力上都達(dá)到相當(dāng)?shù)母叨?。本書適合用作綜合大學(xué)、高等師范院校和理工科大學(xué)的“高等代數(shù)”課程的教材，還可作為“高等代數(shù)”或“線性代數(shù)”課程的教學(xué)參考書，也是數(shù)學(xué)教師和科研工作者高質(zhì)量的參考書。

作者簡(jiǎn)介

　　丘維聲，北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師，全國(guó)首屆高等學(xué)校國(guó)家級(jí)教學(xué)名師，美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)Mathematical Reviews評(píng)論員，中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)組合數(shù)學(xué)與圖論專業(yè)委員會(huì)首屆常務(wù)理事，國(guó)家教委高等學(xué)校數(shù)學(xué)與力學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)（第一二屆）成員，中國(guó)高等教育學(xué)會(huì)教育數(shù)學(xué)專業(yè)

書籍目錄

引言 高等代數(shù)的內(nèi)容和學(xué)習(xí)方法 第1章 線性方程組的解法 　1.1 解線性方程組的矩陣消元法 　　1.1.1 內(nèi)容精華 　　1.1.2 典型例題 　　習(xí)題1.1 　1.2 線性方程組的解的情況及其判別準(zhǔn)則 　　1.2.1 內(nèi)容精華 　　1.2.2 典型例題 　　習(xí)題1.2 　1.3 數(shù)域 　　1.3.1 內(nèi)容精華 　　1.3.2 典型例題 　　習(xí)題1.3 　補(bǔ)充題一 　應(yīng)用小天地：配制食品模型 第2章 行列式 　2.1 n元排列 　　2.1.1 內(nèi)容精華 　　2.1.2 典型例題 　　習(xí)題2.1 　2.2 n階行列式的定義 　　2.2.1 內(nèi)容精華 　　2.2.2 典型例題 　　習(xí)題2.2 　2.3 行列式的性質(zhì) 　　2.3.1 內(nèi)容精華 　　2.3.2 典型例題 　　習(xí)題2.3 　2.4 行列式按一行（列）展開 　　2.4.1 內(nèi)容精華 　　2.4.2 典型例題 　　習(xí)題2.4 　2.5 克萊姆（Cramer）法則 　　2.5.1 內(nèi)容精華 　　2.5.2 典型例題 　　習(xí)題2.5 　2.6 行列式按k行（列）展開 　　2.6.1 內(nèi)容精華 　　2.6.2 典型例題 　　習(xí)題2.6 　　補(bǔ)充題二 　　應(yīng)用小天地：行列式的應(yīng)用舉例 第3章 線性方程組的解集的結(jié)構(gòu) 　3.1 n維向量空間K n 　　3.1.1 內(nèi)容精華 　　3.1.2 典型例題 　　習(xí)題3.1 　3.2 線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的向量組 　　3.2.1 內(nèi)容精華 　　3.2.2 典型例題 　　習(xí)題3.2 　3.3 向量組的秩 　　3.3.1 內(nèi)容精華 　　3.3.2 典型例題 　　習(xí)題3.3 　3.4 子空間的基與維數(shù) 　　3.4.1 內(nèi)容精華 　　3.4.2 典型例題 　　習(xí)題3.4 　3.5 矩陣的秩 　　3.5.1 內(nèi)容精華 　　3.5.2 典型例題 　　習(xí)題3.5 　3.6 線性方程組有解的充分必要條件 　　3.6.1 內(nèi)容精華 　　3.6.2 典型例題 　　習(xí)題3.6 　3.7 齊次線性方程組的解集的結(jié)構(gòu) 　　3.7.1 內(nèi)容精華 　　3.7.2 典型例題 　　習(xí)題3.7 　3.8 非齊次線性方程組的解集的結(jié)構(gòu) 　　3.8.1 內(nèi)容精華 　　3.8.2 典型例題 　　習(xí)題3.8 　補(bǔ)充題三 　應(yīng)用小天地：線性方程組在幾何中的應(yīng)用 第4章 矩陣的運(yùn)算 　4.1 矩陣的運(yùn)算 　　4.1.1 內(nèi)容精華 　　4.1.2 典型例題 　　習(xí)題4.1 　4.2 特殊矩陣 　　4.2.1 內(nèi)容精華 　　4.2.2 典型例題 　　習(xí)題4.2 　4.3 矩陣乘積的秩與行列式 　　4.3.1 內(nèi)容精華 　　4.3.2 典型例題 　　習(xí)題4.3 　4.4 可逆矩陣 　　4.4.1 內(nèi)容精華 　　4.4.2 典型例題 　　習(xí)題4.4 　4.5 矩陣的分塊 　　4.5.1 內(nèi)容精華 　　4.5.2 典型例題 　　習(xí)題4.5 　4.6 正交矩陣·歐幾里得空間Rn 　　4.6.1 內(nèi)容精華 　　4.6.2 典型例題 　　習(xí)題4.6 　4.7 Kn到Ks的線性映射 　　4.7.1 內(nèi)容精華 　　4.7.2 典型例題 　　習(xí)題4.7 　　補(bǔ)充題四 　　應(yīng)用小天地：區(qū)組設(shè)計(jì)的關(guān)聯(lián)矩陣 第5章 矩陣的相抵與相似 　5.1 等價(jià)關(guān)系與集合的劃分 　　5.1.1 內(nèi)容精華 　　5.1.2 典型例題 　　習(xí)題5.1 　5.2 矩陣的相抵 　　5.2.1 內(nèi)容精華 　　5.2.2 典型例題 　　習(xí)題5.2 　5.3 廣義逆矩陣 　　5.3.1 內(nèi)容精華 　　5.3.2 典型例題 　　習(xí)題5.3 　5.4 矩陣的相似 　　5.4.1 內(nèi)容精華 　　5.4.2 典型例題 　　習(xí)題5.4 　5.5 矩陣的特征值和特征向量 　　5.5.1 內(nèi)容精華 　　5.5.2 典型例題 　　習(xí)題5.5 　5.6 矩陣可對(duì)角化的條件 　　5.6.1 內(nèi)容精華 　　5.6.2 典型例題 　　習(xí)題5.6 　5.7 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化 　　5.7.1 內(nèi)容精華 　　5.7.2 典型例題 　　習(xí)題5.7 　　補(bǔ)充題五 　　應(yīng)用小天地：矩陣的特征值在實(shí)際問題中的應(yīng)用 第6章 二次型·矩陣的合同 　6.1 二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形 　　6.1.1 內(nèi)容精華 　　6.1.2 典型例題 　　習(xí)題6.1 　6.2 實(shí)二次型的規(guī)范形 　　6.2.1 內(nèi)容精華 　　6.2.2 典型例題 　　習(xí)題6.2 　6.3 正定二次型與正定矩陣 　　6.3.1 內(nèi)容精華 　　6.3.2 典型例題 　　習(xí)題6.3 　　補(bǔ)充題六 　　應(yīng)用小天地：二次曲面的類型 　　習(xí)題答案與提示 第1章 線性方程組的解法 第2章 行列式 第3章 線性方程組的解集的結(jié)構(gòu) 第4章 矩陣的運(yùn)算 第5章 矩陣的相抵與相似 第6章 二次型·矩陣的合同 參考文獻(xiàn) 作者主要著譯作品

章節(jié)摘錄

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《高等代數(shù)(上冊(cè)):大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材》是由全國(guó)首屆高等學(xué)校國(guó)家級(jí)教學(xué)名師傾力打造，內(nèi)容精華：重基礎(chǔ)，講想法，理論深刻，典型例題：例題多，題型廣，分析透徹，應(yīng)用小天地：提升能力，開拓視野，用心閱讀此書，有助于您在高等代數(shù)理論上和科學(xué)思維能力上都達(dá)到相當(dāng)?shù)母叨?！本套書作為大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材，是作者從事教學(xué)、科研工作40年的經(jīng)驗(yàn)和心得的結(jié)晶，也是作者在北京大學(xué)進(jìn)行高等代數(shù)課程建設(shè)和教學(xué)改革的成果?！陡叩却鷶?shù)(上冊(cè)):大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材》是北京市高等教育精品教材立項(xiàng)項(xiàng)目本套教材特色：明確主線。以研究線性空間和多項(xiàng)式環(huán)的結(jié)構(gòu)及其態(tài)射（線性映射、多項(xiàng)式環(huán)的通用性質(zhì)）為主線，把握住了現(xiàn)代代數(shù)學(xué)的精髓。內(nèi)容全面。包括線性代數(shù)，多項(xiàng)式環(huán)，環(huán)、域和群的概念及重要例子，多重線性代數(shù)，共四大部分。理論深刻。闡述和證明了許多重要結(jié)論，其中包括一些研究性課題成果。創(chuàng)新亮點(diǎn)。闡述了多項(xiàng)式環(huán)的通用性質(zhì)，運(yùn)用一元多項(xiàng)式環(huán)的通用性質(zhì)和線性變換的最小多項(xiàng)式徹底解決了線性變換的標(biāo)準(zhǔn)形問題，并研究了其他重要問題。強(qiáng)調(diào)思維。按照數(shù)學(xué)思維方式編寫，著重培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力，讓同學(xué)們?cè)谡莆崭叩却鷶?shù)知識(shí)的同時(shí)受到數(shù)學(xué)思維方式的訓(xùn)練，得以終身受益。體例新穎。每節(jié)均設(shè)有“內(nèi)容精華”、“典型例題”專欄，許多例題是內(nèi)容精華中理論的延伸，通過例題解析，給同學(xué)們呈現(xiàn)如何解題的范例，幫助同學(xué)們提高分析問題和解決問題的能力；每章還特別設(shè)置“應(yīng)用小天地”板塊，闡述高等代數(shù)知識(shí)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，有利于同學(xué)們開闊眼界，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的興趣?？勺x性強(qiáng)。闡述清晰、詳盡、嚴(yán)謹(jǐn)，對(duì)于后文要用到的結(jié)論，前面章節(jié)均作了鋪墊，環(huán)環(huán)相扣，層層深入，順理成章。

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