計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)原理

前言

計(jì)算機(jī)代數(shù)（Computer Algebra）在很多時(shí)候又被廣義地理解為“符號(hào)計(jì)算”（Symbolic Computation），成為與“數(shù)值計(jì)算”（Numerical Computation）相對(duì)的概念?！胺?hào)”’的運(yùn)算在這里代替了“數(shù)”的運(yùn)算。這是一種智能化的計(jì)算。符號(hào)可以代表整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)，也可以代表多項(xiàng)式、函數(shù)，還可以代表數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，如集合、群、環(huán)、代數(shù)等。我們?cè)趯W(xué)習(xí)和研究中用筆和紙進(jìn)行的數(shù)學(xué)運(yùn)算多為符號(hào)運(yùn)算。利用計(jì)算機(jī)代數(shù)，我們可以完成許多不可思議的事情，例如可以對(duì)代數(shù)方程組進(jìn)行精確的求解，對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因子分解，對(duì)復(fù)雜代數(shù)表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)歸約，對(duì)函數(shù)進(jìn)行符號(hào)積分（求出原函數(shù)），對(duì)微分方程求出精確解等。傳統(tǒng)的代數(shù)計(jì)算冗長(zhǎng)繁雜，而現(xiàn)代的計(jì)算機(jī)技術(shù)為大型的符號(hào)計(jì)算提供了可能性。關(guān)鍵的問(wèn)題就在于如何把抽象的代數(shù)理論算法化，使其高效地處理形形色色的代數(shù)問(wèn)題。強(qiáng)大的計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)不僅是各類工程技術(shù)的助手，對(duì)純粹科學(xué)研究也起著不可忽略的推動(dòng)作用。

內(nèi)容概要

　　《計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)原理》主要介紹了計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)理論、經(jīng)典結(jié)果和著名算法。全書包含高精度運(yùn)算、數(shù)論、數(shù)學(xué)常數(shù)、精確線性代數(shù)、多項(xiàng)式、方程求解、符號(hào)極限、符號(hào)求和、符號(hào)積分、微分方程符號(hào)解等10個(gè)部分，涵蓋了構(gòu)建計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)的最基礎(chǔ)也是最重要的內(nèi)容。書中的許多內(nèi)容是第一次被系統(tǒng)地整理后出現(xiàn)在中文文獻(xiàn)中，并在一些領(lǐng)域體現(xiàn)了本方向的最新進(jìn)展。

書籍目錄

第1章 高精度運(yùn)算1.1 整數(shù)1.1.1 進(jìn)制轉(zhuǎn)換1.1.2 四則運(yùn)算1.2 快速乘法1.2.1 一元多項(xiàng)式乘法1.2.2 Karatsuba.乘法1.2.3 Toom-COOk乘法1.2.4 FFT乘法第2章 素?cái)?shù)判定2.1 Fermat檢測(cè)2.2 Euler檢測(cè)2.3 LehmerN-1型檢測(cè)2.4 Locas偽素?cái)?shù)檢測(cè)與N+1型檢測(cè)2.5 概率性檢測(cè)方法2.5.1 Solovay-Strassen檢測(cè)2.5.2 Rabin-Miller檢測(cè)2.5.3 Baillie-PSW檢測(cè)第3章 整數(shù)因子分解3.1 試除法3.2 Euclid算法3.3 Pollardp-1方法3.4 Pollardp方法3.5 平方型分解3.6 連分式方法3.7 橢圓曲線方法3.8 二次篩法3.8.1 單個(gè)多項(xiàng)式二次篩法3.8.2 多個(gè)多項(xiàng)式二次篩法3.9 數(shù)域篩法第4章 基礎(chǔ)數(shù)論算法4.1 快速求冪4.1.1 二進(jìn)方法4.1.2 m進(jìn)方法，窗口方法及加法鏈4.1.3 Montgomeiy約化4.2 冪次檢測(cè)4.2.1 整數(shù)開方4.2.2 平方檢測(cè)4.2.3 素?cái)?shù)冪檢測(cè)4.3 最大公因子4.3.1 Euclid算法4.3.2 Lehmer加速算法4.3.3 二進(jìn)方法4.3.4 擴(kuò)展Euclid算法4.3.5 dmod與bmod4.3.6 Jebelean-Weber、Sorenson加速算法4.4 Legendre-Jacobi-Kronecker符號(hào)4.5 中國(guó)剩余定理4.6 連分?jǐn)?shù)展式4.7 素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)4.7.1 部分篩函數(shù)4.7.2 計(jì)算P2(X，a)4.7.3 計(jì)算(X，a)4.7.4 計(jì)算S4.7.5 計(jì)算S14.7.6 計(jì)算S34.7.7 計(jì)算S2……第5章 數(shù)學(xué)常數(shù)第6章 線性代數(shù)第7章 一元多項(xiàng)式求值和插值第8章 一元多項(xiàng)式的最大公因子第9章 有限域上多項(xiàng)式因子分解第10章 整系數(shù)多項(xiàng)式因子分解第11章 多元多項(xiàng)式第12章 一元多項(xiàng)式求根算法第13章 代數(shù)方程組求解第14章 符號(hào)極限第15章 符號(hào)求和第16章 符號(hào)積分第17章 微分方程符號(hào)解索引參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

插圖：我們所熟知的科學(xué)計(jì)算一般就是指數(shù)值計(jì)算。數(shù)值計(jì)算是計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)主要部分，它研究用計(jì)算機(jī)求解各種數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算方法及其理論與軟件實(shí)現(xiàn)。關(guān)于數(shù)值計(jì)算的研究在發(fā)明計(jì)算機(jī)之前就已經(jīng)有了相當(dāng)?shù)幕A(chǔ)，它涉及的內(nèi)容包括函數(shù)的數(shù)值逼近，數(shù)值微分與數(shù)值積分，非線性方程數(shù)值解，數(shù)值線性代數(shù)，常微分方程與偏微分方程數(shù)值解等（參見(jiàn)m）。數(shù)值計(jì)算中處理的對(duì)象并不僅僅是數(shù)值，還包括由數(shù)值構(gòu)成的簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，例如一般的多項(xiàng)式、無(wú)窮級(jí)數(shù)、矩陣等，數(shù)值計(jì)算處理問(wèn)題的一般方法是通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)將問(wèn)題化歸到這些數(shù)學(xué)對(duì)象的運(yùn)算上。數(shù)值計(jì)算的主要目標(biāo)是解決來(lái)自于實(shí)踐中的物理、工程、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域的問(wèn)題。與此同時(shí)，數(shù)學(xué)工作者做數(shù)學(xué)研究本身也是一種實(shí)踐，數(shù)學(xué)研究過(guò)程中同樣會(huì)產(chǎn)生許多問(wèn)題，與工程學(xué)問(wèn)題不同，這些問(wèn)題多是用抽象符號(hào)表達(dá)的，因而僅用數(shù)值計(jì)算的方法是不易解決的。對(duì)于這類問(wèn)題解決方案的研究，為了與數(shù)值計(jì)算相區(qū)別，常常稱之為符號(hào)計(jì)算。類似地，我們可以給符號(hào)計(jì)算下一個(gè)簡(jiǎn)單的定義：符號(hào)計(jì)算是一門研究用計(jì)算機(jī)求解各種數(shù)學(xué)問(wèn)題的符號(hào)計(jì)算方法及其理論與軟件實(shí)現(xiàn)的科學(xué)。符號(hào)計(jì)算中處理的數(shù)據(jù)和結(jié)果都是符號(hào)。這種符號(hào)可以是字母，公式，數(shù)也可以作為一種符號(hào)出現(xiàn)在符號(hào)計(jì)算中，但這里關(guān)于數(shù)的運(yùn)算應(yīng)該是絕對(duì)精確的，我們接下來(lái)就要討論數(shù)的高精度運(yùn)算。

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