計算機代數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)原理

前言

計算機代數(shù)（Computer Algebra）在很多時候又被廣義地理解為“符號計算”（Symbolic Computation），成為與“數(shù)值計算”（Numerical Computation）相對的概念?！胺枴薄倪\算在這里代替了“數(shù)”的運算。這是一種智能化的計算。符號可以代表整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)和復(fù)數(shù)，也可以代表多項式、函數(shù)，還可以代表數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，如集合、群、環(huán)、代數(shù)等。我們在學(xué)習(xí)和研究中用筆和紙進行的數(shù)學(xué)運算多為符號運算。利用計算機代數(shù)，我們可以完成許多不可思議的事情，例如可以對代數(shù)方程組進行精確的求解，對多項式進行因子分解，對復(fù)雜代數(shù)表達式進行化簡歸約，對函數(shù)進行符號積分（求出原函數(shù)），對微分方程求出精確解等。傳統(tǒng)的代數(shù)計算冗長繁雜，而現(xiàn)代的計算機技術(shù)為大型的符號計算提供了可能性。關(guān)鍵的問題就在于如何把抽象的代數(shù)理論算法化，使其高效地處理形形色色的代數(shù)問題。強大的計算機代數(shù)系統(tǒng)不僅是各類工程技術(shù)的助手，對純粹科學(xué)研究也起著不可忽略的推動作用。

內(nèi)容概要

　　《計算機代數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)原理》主要介紹了計算機代數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)理論、經(jīng)典結(jié)果和著名算法。全書包含高精度運算、數(shù)論、數(shù)學(xué)常數(shù)、精確線性代數(shù)、多項式、方程求解、符號極限、符號求和、符號積分、微分方程符號解等10個部分，涵蓋了構(gòu)建計算機代數(shù)系統(tǒng)的最基礎(chǔ)也是最重要的內(nèi)容。書中的許多內(nèi)容是第一次被系統(tǒng)地整理后出現(xiàn)在中文文獻中，并在一些領(lǐng)域體現(xiàn)了本方向的最新進展。

書籍目錄

第1章 高精度運算1.1 整數(shù)1.1.1 進制轉(zhuǎn)換1.1.2 四則運算1.2 快速乘法1.2.1 一元多項式乘法1.2.2 Karatsuba.乘法1.2.3 Toom-COOk乘法1.2.4 FFT乘法第2章 素數(shù)判定2.1 Fermat檢測2.2 Euler檢測2.3 LehmerN-1型檢測2.4 Locas偽素數(shù)檢測與N+1型檢測2.5 概率性檢測方法2.5.1 Solovay-Strassen檢測2.5.2 Rabin-Miller檢測2.5.3 Baillie-PSW檢測第3章 整數(shù)因子分解3.1 試除法3.2 Euclid算法3.3 Pollardp-1方法3.4 Pollardp方法3.5 平方型分解3.6 連分式方法3.7 橢圓曲線方法3.8 二次篩法3.8.1 單個多項式二次篩法3.8.2 多個多項式二次篩法3.9 數(shù)域篩法第4章 基礎(chǔ)數(shù)論算法4.1 快速求冪4.1.1 二進方法4.1.2 m進方法，窗口方法及加法鏈4.1.3 Montgomeiy約化4.2 冪次檢測4.2.1 整數(shù)開方4.2.2 平方檢測4.2.3 素數(shù)冪檢測4.3 最大公因子4.3.1 Euclid算法4.3.2 Lehmer加速算法4.3.3 二進方法4.3.4 擴展Euclid算法4.3.5 dmod與bmod4.3.6 Jebelean-Weber、Sorenson加速算法4.4 Legendre-Jacobi-Kronecker符號4.5 中國剩余定理4.6 連分數(shù)展式4.7 素數(shù)計數(shù)函數(shù)4.7.1 部分篩函數(shù)4.7.2 計算P2(X，a)4.7.3 計算(X，a)4.7.4 計算S4.7.5 計算S14.7.6 計算S34.7.7 計算S2……第5章 數(shù)學(xué)常數(shù)第6章 線性代數(shù)第7章 一元多項式求值和插值第8章 一元多項式的最大公因子第9章 有限域上多項式因子分解第10章 整系數(shù)多項式因子分解第11章 多元多項式第12章 一元多項式求根算法第13章 代數(shù)方程組求解第14章 符號極限第15章 符號求和第16章 符號積分第17章 微分方程符號解索引參考文獻

章節(jié)摘錄

插圖：我們所熟知的科學(xué)計算一般就是指數(shù)值計算。數(shù)值計算是計算數(shù)學(xué)的一個主要部分，它研究用計算機求解各種數(shù)學(xué)問題的數(shù)值計算方法及其理論與軟件實現(xiàn)。關(guān)于數(shù)值計算的研究在發(fā)明計算機之前就已經(jīng)有了相當(dāng)?shù)幕A(chǔ)，它涉及的內(nèi)容包括函數(shù)的數(shù)值逼近，數(shù)值微分與數(shù)值積分，非線性方程數(shù)值解，數(shù)值線性代數(shù)，常微分方程與偏微分方程數(shù)值解等（參見m）。數(shù)值計算中處理的對象并不僅僅是數(shù)值，還包括由數(shù)值構(gòu)成的簡單數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，例如一般的多項式、無窮級數(shù)、矩陣等，數(shù)值計算處理問題的一般方法是通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)將問題化歸到這些數(shù)學(xué)對象的運算上。數(shù)值計算的主要目標(biāo)是解決來自于實踐中的物理、工程、經(jīng)濟等領(lǐng)域的問題。與此同時，數(shù)學(xué)工作者做數(shù)學(xué)研究本身也是一種實踐，數(shù)學(xué)研究過程中同樣會產(chǎn)生許多問題，與工程學(xué)問題不同，這些問題多是用抽象符號表達的，因而僅用數(shù)值計算的方法是不易解決的。對于這類問題解決方案的研究，為了與數(shù)值計算相區(qū)別，常常稱之為符號計算。類似地，我們可以給符號計算下一個簡單的定義：符號計算是一門研究用計算機求解各種數(shù)學(xué)問題的符號計算方法及其理論與軟件實現(xiàn)的科學(xué)。符號計算中處理的數(shù)據(jù)和結(jié)果都是符號。這種符號可以是字母，公式，數(shù)也可以作為一種符號出現(xiàn)在符號計算中，但這里關(guān)于數(shù)的運算應(yīng)該是絕對精確的，我們接下來就要討論數(shù)的高精度運算。

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