數(shù)學(xué)分析

前言

　　本書(shū)是針對(duì)有初等微積分基礎(chǔ)的大學(xué)一年級(jí)和二年級(jí)的學(xué)生編寫(xiě)的，既可以作為教科書(shū)使用，也可以作為研究生入學(xué)考試和高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽的培訓(xùn)教材。除此之外，此書(shū)對(duì)廣大數(shù)學(xué)愛(ài)好者來(lái)說(shuō)，也是一本實(shí)用性很強(qiáng)的參考書(shū)。全書(shū)共六章，主要內(nèi)容包括實(shí)數(shù)理論、數(shù)列與無(wú)窮級(jí)數(shù)、連續(xù)性、黎曼與斯蒂爾切斯積分、一致連續(xù)性和廣義積分。書(shū)中每一章均配有大量的例題和有一定難度的習(xí)題?！　≌憬髮W(xué)從2006年開(kāi)始實(shí)行按大類(lèi)招生的本科生培養(yǎng)計(jì)劃，在大學(xué)第一年，本科新生沒(méi)有確定專(zhuān)業(yè)方向，為了方便同學(xué)選課的一年后選專(zhuān)業(yè)，數(shù)學(xué)系一年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)和解析幾何三門(mén)基礎(chǔ)課程和內(nèi)容被調(diào)整：原來(lái)需要一年半來(lái)講授的內(nèi)容壓縮到一年，許多結(jié)論和定理的詳細(xì)證明被忽略。本書(shū)彌補(bǔ)了理論推導(dǎo)和定理證明的不夠，因而，它不僅可以作為本科生第三學(xué)期數(shù)學(xué)分析教材，也可以作為第四學(xué)期提高班的輔導(dǎo)教材?！　∧壳笆忻嫔嫌懈鞣N版本的數(shù)學(xué)分析教材，且數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容基本成型，因而編寫(xiě)一本具有特色的教材并非易事。首先遇到的問(wèn)題是材料的取舍和內(nèi)容的編排。本書(shū)的讀者具備初等微積分的基礎(chǔ)，使得編書(shū)時(shí)合理選材更加重要。我們從實(shí)數(shù)理論入手，選取重要的且能培養(yǎng)和提高讀者邏輯推理能力的結(jié)構(gòu)和定理作為本書(shū)的重要內(nèi)容。例如數(shù)列與級(jí)數(shù)，一致收斂性和廣義積分等，盡量做到所選內(nèi)容是數(shù)學(xué)分析的核心問(wèn)題，避免出現(xiàn)后繼課程將要討論的課題?！　∨c一般數(shù)學(xué)分析教材不同的是，本書(shū)可作為研究生入學(xué)考試的輔導(dǎo)教材和大學(xué)生高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽的培訓(xùn)教材，對(duì)一般數(shù)學(xué)分析教材中的內(nèi)容作了推廣和加深，并精選了部分富有啟發(fā)性的例題和有一定難度的習(xí)題供讀者練習(xí)。獨(dú)立完成部分或全部習(xí)題，是讀者檢驗(yàn)自己推理能力和提高學(xué)習(xí)效率的重要途徑，通過(guò)練習(xí)，可以加深對(duì)教材主要內(nèi)容的理解和掌握。　　本書(shū)講解力求由淺入深，難度坡度設(shè)置合理，語(yǔ)言表述在詳盡嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐瑫r(shí)努力做到通俗流暢，便于教師講解以及讀者學(xué)習(xí)和理解?！　≡诒緯?shū)的編寫(xiě)期間，作者得到了許多的幫助和支持。我的同事，浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系教師姜海益老師閱讀和校對(duì)了第五次校樣稿，同時(shí)提出了許多有價(jià)值的修改意見(jiàn)。我的研究生汪劉根、鮑群芳、楊晨、馬一寧和張碧原等同學(xué)參與了第四、五、六和第七次校稿，并幫助選配了部分習(xí)題。本書(shū)雖然經(jīng)過(guò)多次認(rèn)真校對(duì)，但書(shū)中存在的不足和可能的謬誤概由編者負(fù)責(zé)。感謝浙江大學(xué)教務(wù)處、理學(xué)院本科生科在編寫(xiě)過(guò)程中所給予的支持和幫助?！　「兄x浙江大學(xué)出版社的編輯徐素君、楊曉鳴提供的幫助。

內(nèi)容概要

　　《數(shù)學(xué)分析》主要內(nèi)容包括：實(shí)數(shù)系、數(shù)列與級(jí)數(shù)、連續(xù)性、微分與積分、一致收斂性、廣義積分。

書(shū)籍目錄

第一章 實(shí)數(shù)系1.1 整數(shù)1.2 有理數(shù)系1.3 有理數(shù)數(shù)列1.4 實(shí)數(shù)系1.5 無(wú)限小數(shù)方法簡(jiǎn)介1.6 戴德金分劃簡(jiǎn)介1.7 確界原理與實(shí)指數(shù)的乘冪1.8 實(shí)數(shù)的完備性和緊性1.9 實(shí)數(shù)的擴(kuò)張——復(fù)數(shù)練習(xí)第二章 數(shù)列與級(jí)數(shù)2.1 數(shù)列的極限2.2 斯鐸茲定理及應(yīng)用2.3 上、下極限2.4 實(shí)數(shù)級(jí)數(shù)2.5 無(wú)窮乘積2.6 典型例子練習(xí)二第三章 連續(xù)性3.1 函數(shù)的極限和連續(xù)3.2 拓?fù)鋵W(xué)初步3.3 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)3.4 間斷點(diǎn)3.5 半連續(xù)和有界變差函數(shù)3.6 p進(jìn)制練習(xí)三第四章 微分與積分4.1 微分與中值定理4.2 洛必達(dá)法則與泰勒公式4.3 典型例題選講4.4 黎曼一斯蒂爾切斯積分4.5 不等式4.6 凸函數(shù)4.7 數(shù)e和7c4.8 多元函數(shù)練習(xí)四第五章 一致收斂性5.1 函數(shù)序列的一致收斂性5.2 收斂序列的性質(zhì)5.3 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及收斂性5.4 多項(xiàng)式逼近5.5 冪級(jí)數(shù)5.6 傅里葉級(jí)數(shù)5.7 等度連續(xù)性練習(xí)五第六章 廣義積分6.1 無(wú)限區(qū)間上的積分6.2 收斂性判別準(zhǔn)則6.3 瑕積分6.4 廣義積分與級(jí)數(shù)6.5 有限區(qū)間上含參量積分6.6 含參變量的廣義積分6.7 一致收斂積分的性質(zhì)6.8 歐拉積分練習(xí)六參考書(shū)目

章節(jié)摘錄

　　微積分的一些基本結(jié)論，如數(shù)列的收斂性，函數(shù)的連續(xù)性、可微性和可積性等，都是建立在實(shí)數(shù)理論之上的，利用了實(shí)數(shù)所具有的性質(zhì)．例如，所有實(shí)數(shù)組成的集合R-實(shí)數(shù)系，關(guān)于加，減，乘，除（分母不為零）四種運(yùn)算是封閉的，即對(duì)R中任意兩個(gè)元素，經(jīng)過(guò)這四種運(yùn)算后仍然屬于R；實(shí)數(shù)系的另一重要性質(zhì)是R中的元素與數(shù)軸上的點(diǎn)是1-1對(duì)應(yīng)的．雖然有理數(shù)集合Q關(guān)于上述四種運(yùn)算也是封閉的，且對(duì)Q中每一個(gè)元素都能在數(shù)軸上找到一點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)，但反過(guò)來(lái)，在數(shù)軸上存在這樣的點(diǎn)，找不到有理數(shù)與它對(duì)應(yīng)．　　如果a表示邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度，那么，這個(gè)數(shù)就無(wú)法用有理數(shù)來(lái)表示，這表明與口對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于有理數(shù)集合的“空隙”中．　　為了填補(bǔ)有理數(shù)在數(shù)軸上的空隙，自然的想法是擴(kuò)充有理數(shù)系．由于有理數(shù)能表示成有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)，所以，擴(kuò)充有理數(shù)集合的直接方式之一就是把所有無(wú)限不循環(huán)小數(shù)（稱(chēng)為無(wú)理數(shù)）吸收進(jìn)來(lái)，讓無(wú)理數(shù)填補(bǔ)有理數(shù)在數(shù)軸上的所有“空隙”．全體有理數(shù)和所有無(wú)理數(shù)組成的集合稱(chēng)為實(shí)數(shù)系，并以有理數(shù)的四則運(yùn)算為基礎(chǔ)，建立實(shí)數(shù)系的運(yùn)算，這樣構(gòu)造出來(lái)的實(shí)數(shù)系不僅保留了有理數(shù)系的重要性質(zhì)，而且比有理數(shù)具有更多的性質(zhì)．　　在這一章中，我們將討論實(shí)數(shù)系的構(gòu)造和基本性質(zhì)，并證明實(shí)數(shù)系的幾個(gè)基本定理．

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