數(shù)學(xué)物理方程

內(nèi)容概要

　　《數(shù)學(xué)物理方程》系統(tǒng)介紹了三種典型偏微分方程，即波動方程、熱傳導(dǎo)方程和靜態(tài)場方程的分離變量解法。限于篇幅，對格林函數(shù)方法和積分變換方法未作介紹。與現(xiàn)有數(shù)學(xué)物理方程教材相比，《數(shù)學(xué)物理方程》增加了二元及多元偏微分方程的化簡和分類，矢量分析與張量分析基礎(chǔ)知識以及場論和曲線坐標(biāo)系等內(nèi)容?？紤]到柱波函數(shù)和球波函數(shù)的加法定理在實(shí)際物理問題(如電子波、電磁波和機(jī)械波的多重散射)中有重要應(yīng)用，但現(xiàn)有教材較少涉及，本書中還增加了這方面的有關(guān)內(nèi)容。
《數(shù)學(xué)物理方程》可作為理工科類各專業(yè)本科和研究生學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)物理方程”課程的教材用書，也可供廣大科技工作者和工程技術(shù)人員閱讀和參考。

書籍目錄

1 偏微分方程及其分類
　1.1 偏微分方程的基本概念
　1.2 2階2元線性偏微分方程的分類
　1.3 多元線性偏微分方程的分類
　習(xí)題
2 3類典型方程及其定解條件
　2.1 3類典型方程的導(dǎo)出
　　2.1.1 波動方程的導(dǎo)出
　　2.1.2 輸運(yùn)方程的導(dǎo)出
　　2.1.3 穩(wěn)態(tài)場方程
　2.2 定解條件
　2.3 定解問題的適定性
　　2.3.1 Laplace方程的適定性
　　2.3.2 熱傳導(dǎo)方程的適定性
　　2.3.3 波動方程的適定性
　2.4 數(shù)理方程反問題
　習(xí)題
3 算子、場和坐標(biāo)系
　3.1 矢量與張量
　　3.1.1 矢量
　　3.1.2 張量
　3.2 Hamilton算子
　　3.2.1 梯度
　　3.2.2 散度
　　3.2.3 旋度
　　3.2.4 Hamilton算子的復(fù)雜運(yùn)算
　3.3 場
　　3.3.1 有勢場
　　3.3.2 管形場
　　3.3.3 調(diào)和場
　3.4 正交曲線坐標(biāo)系
　　3.4.1 正交曲線坐標(biāo)系
　　3.4.2 曲線坐標(biāo)系中的基矢量與弧微分表示
　　3.4.3 曲線坐標(biāo)系下的梯度，散度和旋度
　習(xí)題
4 直角坐標(biāo)系下的分離變量法
　4.1 有界弦的自由振動
　4.2 有界桿的熱傳導(dǎo)
　4.3 斯圖姆-劉維爾(Sturm-Liouville)特征值問題
　4.4 級數(shù)解的收斂性
　4.5 非齊次定解問題
　習(xí)題
5 圓柱坐標(biāo)系下的分離變量法
　5.1 極坐標(biāo)系下的Laplace方程
　5.2 柱坐標(biāo)系下的Helmholz方程
　5.3 貝塞爾方程的求解
　5.4 貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)
　　5.4.1 貝塞爾函數(shù)的零點(diǎn)
　　5.4.2 貝塞爾函數(shù)的漸進(jìn)性質(zhì)
　　5.4.3 貝塞爾函數(shù)的遞推關(guān)系式
　　5.4.4 貝塞爾函數(shù)的正交性
　　5.4.5 半奇數(shù)階的貝塞爾函數(shù)
　　5.4.6 整數(shù)階的貝塞爾函數(shù)
　　5.4.7 平面波按駐波函數(shù)的展開式
　　5.4.8 柱波函數(shù)的加法公式
　　5.4.9 整數(shù)階貝塞爾函數(shù)的積分形式
　5.5 貝塞爾函數(shù)方程的特征值問題
　5.6 綜合應(yīng)用
　習(xí)題
6 球坐標(biāo)系下的分離變量法
　6.1 球坐標(biāo)系下的亥姆霍斯方程和拉普拉斯方程
　6.2 勒讓德方程的求解
　6.3 勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì)
　　6.3.1 和 的基本性質(zhì)
　　6.3.2 和 的微分和積分表達(dá)式
　　6.3.3 和 的正交性
　　6.3.4 母函數(shù)及遞推關(guān)系式
　　6.3.5 球面調(diào)和函數(shù)及其正交性
　　6.3.6 平面波展開公式
　　6.3.7 加法公式
　6.4 勒讓德方程和球貝塞爾方程的特征值問題
　6.5 綜合應(yīng)用
　習(xí)題
7 無界域中的分離變量法
　7.1 1 維無界域中的分離變量法
　7.2 2 維和3維無界域中的分離變量法
　習(xí)題
參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁：   插圖：   在一個(gè)包含各階偏導(dǎo)數(shù)的偏微分方程中，最高階的偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)決定著偏微分方程的性質(zhì)，通常稱為偏微分方程的主部。根據(jù)主部可以對非線性偏微分方程作進(jìn)一步的分類。以二階偏微分方程為例，如果主部關(guān)于最高階偏導(dǎo)數(shù)是線性的，則稱偏微分方程為擬線性偏微分方程。 換句話說，出現(xiàn)第一類和第二類非線性項(xiàng)的偏微分方程是擬線性的偏微分方程；而出現(xiàn)第三類非線性項(xiàng)的偏微分方程是完全非線性偏微分方程。 性質(zhì)1 空間每一個(gè)點(diǎn)都屬于一個(gè)等值面。 性質(zhì)2 不同的等值面互不相交，即不存在一個(gè)點(diǎn)同時(shí)屬于兩個(gè)等值面（線）。 矢量場不僅有大小，還有方向，如位移場、靜電（磁）場、重力場等。矢量場可一般地表示為A（x，y，z）。 性質(zhì)1 空間每一點(diǎn)都屬于一條矢量線。 性質(zhì)2 矢量線互不相交（除源點(diǎn)外）。 由性質(zhì)2知，通過封閉曲線L上所有點(diǎn)的矢量線必形成一管道，稱此管道為矢量管，如圖3．3—1所示。若設(shè)管道壁的外法線為n，則有A?n=0。 張量場較標(biāo)量場和矢量場更為復(fù)雜，如應(yīng)力場、應(yīng)變場等。本書不作深入討論，而將重點(diǎn)放在矢量場上。

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