素數的音樂

前言

　　歡迎你來數學圈，那是我們熟悉而陌生的園地。 我們熟悉它，因為幾乎每個人都走過多年的數學路，從123走到6月6( 或7月7），從課堂走進考場。然后，我們把它留給最后一張考卷，解放的頭 腦，不再為它留一點兒空間。我們也陌生，模糊的記憶里，是殘缺的公式 和零亂的圖形，是課堂的催眠曲，是考場的蒙汗藥……去吧，那些被課本 和考卷異化和扭曲了的數學；忘記那一朵朵惡之花，我們會迎來新的百花 園。 “數學圈叢書”請大家走進數學圈，也走近數學圈子里的人。這是一 套新視角下的數學讀物，它不為專門傳達任何具體的數學知識和解題技巧 ，而以“非數學的形式來普及數學”，著重宣揚數學和數學家的思想和精 神。它的目的不是教人學數學，而是改變人們對數學和數學家的看法，讓 數學融入大眾文化，回到人們的生活。讀這些書不需要智力競賽的緊張， 而是要一點兒文藝欣賞的平和。你可以懷著360樣心情來享受數學，經歷它 的趣味和生命，感悟符號背后的情感和人生。 沒有人懷疑數學是文化的一部分，但諾大的“文化”。卻往往將數學 排除在外。當然，從人數來看，數學家在文化人中頂多占一個測度為零的 空間。但是，數學的每一點進步都影響著整個文明的根基。借一個歷史學 家的話說，“有誰知道，在微積分和路易十四時期的政治的朝代原則之間 ，在古典的城邦和歐幾里得幾何之間，在西方油畫的空間透視和以鐵路、 電話、遠距離武器制勝空間之間，在對位音樂和信用經濟之間，原有深刻 的一致關系呢？”(斯賓格勒《西方的沒落·導言》）所以，數學不在象牙 塔，就在身邊。上帝用混亂的語言摧毀了石頭的巴比塔，而人類用同一種 語言建造了精神的巴比塔，那就是數學。它是藝術，也是生活；是態(tài)度， 也是信仰；是最復雜的簡單，也是最單純的完美。 數學是生活。當然，我們的意思不是說生活離不開算術，技術離不開 微積分；而是說數學本身也能成為大眾的生活態(tài)度和生活方式。很多人感 覺數學枯燥無味，是因為他把數學從生活中趕走了。當你發(fā)現一個小公式 也像一首小詩那么多情的時候，還忍心把它忘記嗎？大家能享受“詩意的 生活”，從這點說，數學是一樣的。 數學的生活很簡單。如今流行著很多深藏“大道理”的小故事，那些 道理多半取決于講道理的人的態(tài)度和立場。它們是多變的，因為多變而被 隨意扭曲，因為扭曲而成為多樣選擇的理由。在所謂“后現代”的今天， 似乎一切東西都成為多樣的，人們像浮萍一樣漂蕩在多樣選擇的迷霧里， 起碼的追求也失落在“和諧”的“中庸”里。數學能告訴我們，多樣的背 后存在統一，極端才是和諧的源泉和基礎。從某種意義說，數學的精神就 是追求極端，它永遠選擇最簡的、最美的，當然也是最好的。數學決沒有 圓滑的道理，也不為模糊的借口留下一點兒空間。 數學生活也浪漫。很多人怕數學抽象，卻喜歡抽象的繪畫和怪誕的文 學。可見抽象不是數學的罪過。藝術家的想象力令人羨慕，而數學家的想 象力更多。希爾伯特說過，如果哪個數學家一旦改行做了小說家(真的有） ，我們不要驚奇——因為那人缺乏足夠的想象力做數學家，卻足夠做一個 小說家。懂一點兒數學的伏爾泰也感覺，阿基米德頭腦的想象力比荷馬的 多。我們認為藝術家最有想象力，那是因為我們自己太缺乏想象力。 數學是明澈的思維。生活里的許多巧合——那些常被有心或無心地異 化為玄妙或騙術法寶的巧合，也許只是自然而簡單的數學結果。以數學的 眼光來看生活，不會有那么多的模糊。有數學精神的人多了，騙子(特別是 那些穿戴科學衣冠的騙子）的空間就小了。無限的虛幻能在數學找到最踏實 的歸宿，它們“如龍涎香和麝香，如安息香和乳香，對精神和感觀的激動 都——頌揚。”(波德萊爾《惡之花·感應》） 數學是奇異的旅行。數學在某個屬于它們自身的永恒而朦朧的地方， 在那片朦朧的土地上，我們已經看到了三角形的三個內角和等于180度，三 條中線總是交于一點而且三分每一條中線；在那片朦朧的土地上，還存在 著無數更令人驚奇的幾何圖形和數字的奇妙，等著我們去和它們相遇。 數學是純美的藝術。數學家像畫家和詩人，都創(chuàng)造“模式”，不過是 用思想來創(chuàng)造，用符號來表達。數學的思想，就像畫家的色彩和詩人的文 字，以和諧的方式組織起來。數學的世界里沒有丑陋的位置。在數學家的 眼里，自己筆下的公式和符號就像希臘神話里的那位塞浦路斯國王，從自 己的雕像看到了愛人的生命。在數學里，在那比石頭還堅硬的邏輯里，真 的藏著數學家們的美的追求，藏著他們的性情和生命。 數學是精神的自由。惟獨在數學中，人們可以通過完全自由的思想達 到自我的滿足。不論王摩詰的“雪地芭蕉”還是皮格馬利翁(Pygmalion）的 加拉提亞(Galatea），都能在數學中找到。數學沒有任何外在的約束，約束 數學的還是數學。 數學是永不停歇的人生。學數學的感覺就像在爬山，為了尋找新的山 峰不停地去攀爬。當我們對尋找新的山峰不再感興趣，生命也就結束了。 不論你是不是知道一點兒(或很多）數學，都可以走進數學圈，孔夫子 說了，“知之者不如好之者，好之者不如樂之者?！敝灰熬訕分?， 就走進了一種高遠的境界。王國維先生講人生境界，是從“望極天涯”到 “驀然回首”，換一種眼光看，就是從無窮回到眼前，從無限回歸有限。 而真正圓滿了這個過程的，就是數學。來數學圈走走，我們也許能喚回正 在失去的靈魂，找回一個圓滿的人生。 1939年12月，懷特海在哈佛大學演講《數學與善》中說，“因為有無 限的主題和內容，數學甚至現代數學，也還是處在嬰兒時期的學問。如果 文明繼續(xù)發(fā)展，那么在今后兩千年，人類思想的新特點就是數學理解占統 治地位。”這個想法也許浪漫，但他期許的年代似乎太過久遠——他自己 曾估計，一個新的思想模式滲透進一個文化的核心，需要1000年——我們 的希望是，這個過程會快一點兒，更快一點兒。 最后，我們借從數學家成為最有想象力的作家的卡洛爾筆下的愛麗思 和那只著名的“柴郡貓”的一段充滿數學趣味的對話。來總結我們的數學 圈旅行： “你能告訴我，我從這兒該走哪條路嗎？” “那多半兒要看你想去哪兒?！必堈f。 “我不在乎去哪兒——”愛麗思說。 “那么你走哪條路都沒關系，”貓說。 “——只要能到個地方就行，”愛麗思解釋。 “噢，當然，你總能到個地方的，”貓說，“只要你走得夠遠?！?我們的數學圈沒有起點，也沒有終點，不論怎么走，只要走得夠遠， 你總能到某個地方的。 李泳 2006年8月

內容概要

　　《素數的音樂》講述了天才人物在搜尋“有什么公式可生成素數”等答案時發(fā)生的故事，以及這個謎題的答案將在電子商務、量子力學和計算機科學等廣泛領域產生革命性的影響。

作者簡介

作者：(英)索托伊

書籍目錄

歡迎你來數學圈第一章 誰想成為百萬富翁第二章 算術的原子第三章 黎曼的數學照虛鏡第四章 黎曼假設：從隨機素數到規(guī)則零點第五章 數學接力賽：黎曼革命的實現第六章 拉馬努揚，謎一般的數學家第七章 數學的遷徙：從哥廷根到普林斯頓第八章 思想的機器第九章 計算機時代：從頭腦到臺式計算機第十章 破解數字和密碼第十一章 從規(guī)則零點到量子混沌第十二章 拼圖玩具中消失的一片致謝進一步的閱讀材料網站索引  

章節(jié)摘錄

　　圖靈對機器的熱愛來源于一本書。1922年，在圖靈10歲的時候，他得 到的禮物是棒球，在一起的還有一本書——埃德溫·坦尼·布魯斯特 （Edwin Tenney Brewster）所著的《每個兒童應該知道的自然奇觀》，正是 這本書激發(fā)了童年圖靈的想象力。這本書出版于1912年，書中給出了自然 現象的解釋，但是并不僅僅是讓小讀者們被動地接受這些知識。布魯斯特 關于生命的描述特別地具有啟發(fā)性，為將來圖靈對人工智能的興趣打下了 基礎： 當然，生命就是一臺機器，是極其復雜的機器。雖然比任何手工制作 的機器都要復雜千萬倍，但仍然是一臺機器。曾有人將生命比作一臺蒸汽 機，但那是在我們對生命工作原理了解之前的事，現在我們認為它是一臺 內燃機，就像是汽車、輪船和飛機的發(fā)動機一樣。在學校里，圖靈熱衷于 發(fā)明和制作一些新東西：可以重新加墨的鋼筆，甚至是打字機。直到他在 1931年進入劍橋大學國王學院成為一名數學本科生，這些愛好仍然伴隨著 他。盡管圖靈比較內向和孤獨，和很多前輩一樣，他在數學提供的絕對確 定性之下找到了安全感。同時他對于發(fā)明創(chuàng)造的熱情并沒有減退，他一直 關注著那些能揭示抽象問題結構的物理機器。作為一名本科生，圖靈研究的首個結果是試圖理解抽象數學與奇異自 然界交匯處的問題。他的出發(fā)點是拋硬幣這個實際問題，而結果則是對任 何隨機實驗所產生結果的復雜理論分析。像厄多斯和塞爾伯格那樣，在完 成自己的證明之后，圖靈失望地發(fā)現這個結果已經在10多年前由芬蘭數學 家林德博格（J.w.Linderberg）得到，并被稱為中心極限定理。后來數論學家發(fā)現中心極限定理為估計素數個數提供了全新的思想。黎曼假設曾斷言，真實素數個數與高斯估計值之間的誤差應該是與拋一枚 公平硬幣得到的誤差相同；但是中心極限定理則揭示了素數的分布不可能 用拋硬幣模型來模擬。素數并不遵循中心極限定理對隨機測量做出的修正 。由于統計學從不同的角度來分析給定數據，因此從圖靈和林德博格的中 心極限定理的觀點來看，雖然素數與拋硬幣有很多共同點，但他們并不是 一回事。圖靈關于中心極限定理的證明雖然不是最早的，但已經足夠證明他的 才能，他也因此被選為國王學院的成員，那時他才22歲。不過在劍橋的數 學圈子中，圖靈仍然是孤獨的。當哈代和利特伍德為數論中的經典問題奮 戰(zhàn)時，圖靈寧愿在數學教條之外進行探索，與其閱讀同時代人的文章，他 更愿意做出自己的結果。和塞爾伯格一樣，他將自己排除在傳統的學術圈 子之外。除了這種自加的孤獨，圖靈也注意到了正漸漸逼向數學的一場危機。劍橋的數學家紛紛討論著一位年輕奧地利數學家的工作。數學曾經給予圖 靈安全感，但是現在某種不確定性卻被放置到了數學的中心。哥德爾和數 學方法的局限性 在自己的第二個問題中，希爾伯特希望數學界能給出一個證明，證明 數學中沒有矛盾存在。古希臘人創(chuàng)造數學時，是將它作為由定理和證明構 成的一門學科，而出發(fā)點則是那些看上去不證自明的關于數的真理。這些 真理被稱作是數學中的公理，是數學花園得以盛開的種子。自從歐幾里得 給出關于素數的第一個證明以來，正是在這些公理的基礎之上數學家利用 邏輯推理擴展了我們對于數的認識。但是希爾伯特對多種幾何學的研究，使我們不禁產生了這樣一個問題 ，我們是否能肯定地說，我們永遠都不會碰到一個既正確又錯誤的命題。我們究竟能多么肯定地認為不存在兩條從公理出發(fā)的推理步驟，其中一條 能證明黎曼假設正確，另一條同時能證明黎曼假設錯誤。希爾伯特肯定地 認為利用數學邏輯可以證明，在數學中不存在這樣的矛盾。在希爾伯特的 觀點中，23個問題中的第二道只不過是保證數學大廈的整齊有序而已。在 包括羅素——哈代和利特伍德的哲學朋友——在內的一些人發(fā)現某些數學 中的矛盾之后，這個問題開始得到了重視。雖然羅素的不朽巨著《數學原 理》找到了解決這些矛盾的一個方法，但卻激發(fā)了更多人對希爾伯特第二 問題的關注。在1930年9月7日，希爾伯特被授予柯尼斯堡榮譽市民的稱號。這是他 熱愛的故鄉(xiāng)。這一年也是希爾伯特從哥廷根退休的一年。他在演講的最后 號召所有的數學家：“Wir mussen wissen.Wir werden wissen.”（“我們 必須知道，我們也將會知道！”）在演講之后，他被邀請去錄音棚將最后一 段錄下，以供廣播播放?，F在你可以在錄音中“我們必須知道”后面聽到 希爾伯特的笑聲。但是希爾伯特不知道的是，在他發(fā)出笑聲的前一天，有 一場會議在附近的柯尼斯堡大學召開，25歲的奧地利邏輯學家科特·哥德 爾（Kurt Godel）作了一場報告，這次報告徹底地摧毀了希爾伯特的世界觀 。在童年時期，哥德爾被稱為“Herr Warum”——問題先生——因為他 總有著無窮的問題。兒時的風濕熱給他的心臟帶來了影響，并留下永久的 抑郁癥。到他晚年的時候，抑郁癥變成了完全的偏執(zhí)狂。他總是認為有人 試圖毒害他，于是他絕食直至死亡。但是在他25歲時，哥德爾摧毀了希爾 伯特的夢想，并導致了數學世界中的一場風暴。在自己的論文中，哥德爾將自己的好奇心轉向希爾伯特那些涉及數學 核心的問題。哥德爾證明了，數學家永遠不可能證明擁有希爾伯特所渴求 的堅實的基礎，利用那些數學公理永遠也不可能證明這些公理不會導致矛 盾。那通過修改某些公理或者加上一些公理，能不能改變這個狀況呢？答 案也是否定的。哥德爾告訴我們，不管為數學選擇什么樣的公理，它們都 不能被用來證明其中不存在著矛盾。數學家稱一組公理是相容的，如果它們不會導致矛盾。我們可以在選 擇公理的時候，保證它們不會產生矛盾；但是在使用這些公理的時候，會 不會得到矛盾就無人知曉。也許從某組公理出發(fā)可以證明相容性，但這只 是一部分的成功，因為對于這組公理的選擇的相容性仍然是一個問題。這 就像希爾伯特希望通過將幾何轉化為數來證明幾何的相容性，但是這導致 的問題就是算術的相容性。（P175-179）

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