素?cái)?shù)的音樂

前言

　　歡迎你來數(shù)學(xué)圈，那是我們熟悉而陌生的園地。 我們熟悉它，因?yàn)閹缀趺總€(gè)人都走過多年的數(shù)學(xué)路，從123走到6月6( 或7月7），從課堂走進(jìn)考場。然后，我們把它留給最后一張考卷，解放的頭 腦，不再為它留一點(diǎn)兒空間。我們也陌生，模糊的記憶里，是殘缺的公式 和零亂的圖形，是課堂的催眠曲，是考場的蒙汗藥……去吧，那些被課本 和考卷異化和扭曲了的數(shù)學(xué)；忘記那一朵朵惡之花，我們會(huì)迎來新的百花 園。 “數(shù)學(xué)圈叢書”請大家走進(jìn)數(shù)學(xué)圈，也走近數(shù)學(xué)圈子里的人。這是一 套新視角下的數(shù)學(xué)讀物，它不為專門傳達(dá)任何具體的數(shù)學(xué)知識(shí)和解題技巧 ，而以“非數(shù)學(xué)的形式來普及數(shù)學(xué)”，著重宣揚(yáng)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)家的思想和精 神。它的目的不是教人學(xué)數(shù)學(xué)，而是改變?nèi)藗儗?shù)學(xué)和數(shù)學(xué)家的看法，讓 數(shù)學(xué)融入大眾文化，回到人們的生活。讀這些書不需要智力競賽的緊張， 而是要一點(diǎn)兒文藝欣賞的平和。你可以懷著360樣心情來享受數(shù)學(xué)，經(jīng)歷它 的趣味和生命，感悟符號背后的情感和人生。 沒有人懷疑數(shù)學(xué)是文化的一部分，但諾大的“文化”。卻往往將數(shù)學(xué) 排除在外。當(dāng)然，從人數(shù)來看，數(shù)學(xué)家在文化人中頂多占一個(gè)測度為零的 空間。但是，數(shù)學(xué)的每一點(diǎn)進(jìn)步都影響著整個(gè)文明的根基。借一個(gè)歷史學(xué) 家的話說，“有誰知道，在微積分和路易十四時(shí)期的政治的朝代原則之間 ，在古典的城邦和歐幾里得幾何之間，在西方油畫的空間透視和以鐵路、 電話、遠(yuǎn)距離武器制勝空間之間，在對位音樂和信用經(jīng)濟(jì)之間，原有深刻 的一致關(guān)系呢？”(斯賓格勒《西方的沒落·導(dǎo)言》）所以，數(shù)學(xué)不在象牙 塔，就在身邊。上帝用混亂的語言摧毀了石頭的巴比塔，而人類用同一種 語言建造了精神的巴比塔，那就是數(shù)學(xué)。它是藝術(shù)，也是生活；是態(tài)度， 也是信仰；是最復(fù)雜的簡單，也是最單純的完美。 數(shù)學(xué)是生活。當(dāng)然，我們的意思不是說生活離不開算術(shù)，技術(shù)離不開 微積分；而是說數(shù)學(xué)本身也能成為大眾的生活態(tài)度和生活方式。很多人感 覺數(shù)學(xué)枯燥無味，是因?yàn)樗褦?shù)學(xué)從生活中趕走了。當(dāng)你發(fā)現(xiàn)一個(gè)小公式 也像一首小詩那么多情的時(shí)候，還忍心把它忘記嗎？大家能享受“詩意的 生活”，從這點(diǎn)說，數(shù)學(xué)是一樣的。 數(shù)學(xué)的生活很簡單。如今流行著很多深藏“大道理”的小故事，那些 道理多半取決于講道理的人的態(tài)度和立場。它們是多變的，因?yàn)槎嘧兌?隨意扭曲，因?yàn)榕で蔀槎鄻舆x擇的理由。在所謂“后現(xiàn)代”的今天， 似乎一切東西都成為多樣的，人們像浮萍一樣漂蕩在多樣選擇的迷霧里， 起碼的追求也失落在“和諧”的“中庸”里。數(shù)學(xué)能告訴我們，多樣的背 后存在統(tǒng)一，極端才是和諧的源泉和基礎(chǔ)。從某種意義說，數(shù)學(xué)的精神就 是追求極端，它永遠(yuǎn)選擇最簡的、最美的，當(dāng)然也是最好的。數(shù)學(xué)決沒有 圓滑的道理，也不為模糊的借口留下一點(diǎn)兒空間。 數(shù)學(xué)生活也浪漫。很多人怕數(shù)學(xué)抽象，卻喜歡抽象的繪畫和怪誕的文 學(xué)。可見抽象不是數(shù)學(xué)的罪過。藝術(shù)家的想象力令人羨慕，而數(shù)學(xué)家的想 象力更多。希爾伯特說過，如果哪個(gè)數(shù)學(xué)家一旦改行做了小說家(真的有） ，我們不要驚奇——因?yàn)槟侨巳狈ψ銐虻南胂罅ψ鰯?shù)學(xué)家，卻足夠做一個(gè) 小說家。懂一點(diǎn)兒數(shù)學(xué)的伏爾泰也感覺，阿基米德頭腦的想象力比荷馬的 多。我們認(rèn)為藝術(shù)家最有想象力，那是因?yàn)槲覀冏约禾狈ο胂罅Α?數(shù)學(xué)是明澈的思維。生活里的許多巧合——那些常被有心或無心地異 化為玄妙或騙術(shù)法寶的巧合，也許只是自然而簡單的數(shù)學(xué)結(jié)果。以數(shù)學(xué)的 眼光來看生活，不會(huì)有那么多的模糊。有數(shù)學(xué)精神的人多了，騙子(特別是 那些穿戴科學(xué)衣冠的騙子）的空間就小了。無限的虛幻能在數(shù)學(xué)找到最踏實(shí) 的歸宿，它們“如龍涎香和麝香，如安息香和乳香，對精神和感觀的激動(dòng) 都——頌揚(yáng)?！?波德萊爾《惡之花·感應(yīng)》） 數(shù)學(xué)是奇異的旅行。數(shù)學(xué)在某個(gè)屬于它們自身的永恒而朦朧的地方， 在那片朦朧的土地上，我們已經(jīng)看到了三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于180度，三 條中線總是交于一點(diǎn)而且三分每一條中線；在那片朦朧的土地上，還存在 著無數(shù)更令人驚奇的幾何圖形和數(shù)字的奇妙，等著我們?nèi)ズ退鼈兿嘤觥?數(shù)學(xué)是純美的藝術(shù)。數(shù)學(xué)家像畫家和詩人，都創(chuàng)造“模式”，不過是 用思想來創(chuàng)造，用符號來表達(dá)。數(shù)學(xué)的思想，就像畫家的色彩和詩人的文 字，以和諧的方式組織起來。數(shù)學(xué)的世界里沒有丑陋的位置。在數(shù)學(xué)家的 眼里，自己筆下的公式和符號就像希臘神話里的那位塞浦路斯國王，從自 己的雕像看到了愛人的生命。在數(shù)學(xué)里，在那比石頭還堅(jiān)硬的邏輯里，真 的藏著數(shù)學(xué)家們的美的追求，藏著他們的性情和生命。 數(shù)學(xué)是精神的自由。惟獨(dú)在數(shù)學(xué)中，人們可以通過完全自由的思想達(dá) 到自我的滿足。不論王摩詰的“雪地芭蕉”還是皮格馬利翁(Pygmalion）的 加拉提亞(Galatea），都能在數(shù)學(xué)中找到。數(shù)學(xué)沒有任何外在的約束，約束 數(shù)學(xué)的還是數(shù)學(xué)。 數(shù)學(xué)是永不停歇的人生。學(xué)數(shù)學(xué)的感覺就像在爬山，為了尋找新的山 峰不停地去攀爬。當(dāng)我們對尋找新的山峰不再感興趣，生命也就結(jié)束了。 不論你是不是知道一點(diǎn)兒(或很多）數(shù)學(xué)，都可以走進(jìn)數(shù)學(xué)圈，孔夫子 說了，“知之者不如好之者，好之者不如樂之者。”只要“君子樂之”， 就走進(jìn)了一種高遠(yuǎn)的境界。王國維先生講人生境界，是從“望極天涯”到 “驀然回首”，換一種眼光看，就是從無窮回到眼前，從無限回歸有限。 而真正圓滿了這個(gè)過程的，就是數(shù)學(xué)。來數(shù)學(xué)圈走走，我們也許能喚回正 在失去的靈魂，找回一個(gè)圓滿的人生。 1939年12月，懷特海在哈佛大學(xué)演講《數(shù)學(xué)與善》中說，“因?yàn)橛袩o 限的主題和內(nèi)容，數(shù)學(xué)甚至現(xiàn)代數(shù)學(xué)，也還是處在嬰兒時(shí)期的學(xué)問。如果 文明繼續(xù)發(fā)展，那么在今后兩千年，人類思想的新特點(diǎn)就是數(shù)學(xué)理解占統(tǒng) 治地位。”這個(gè)想法也許浪漫，但他期許的年代似乎太過久遠(yuǎn)——他自己 曾估計(jì)，一個(gè)新的思想模式滲透進(jìn)一個(gè)文化的核心，需要1000年——我們 的希望是，這個(gè)過程會(huì)快一點(diǎn)兒，更快一點(diǎn)兒。 最后，我們借從數(shù)學(xué)家成為最有想象力的作家的卡洛爾筆下的愛麗思 和那只著名的“柴郡貓”的一段充滿數(shù)學(xué)趣味的對話。來總結(jié)我們的數(shù)學(xué) 圈旅行： “你能告訴我，我從這兒該走哪條路嗎？” “那多半兒要看你想去哪兒。”貓說。 “我不在乎去哪兒——”愛麗思說。 “那么你走哪條路都沒關(guān)系，”貓說。 “——只要能到個(gè)地方就行，”愛麗思解釋。 “噢，當(dāng)然，你總能到個(gè)地方的，”貓說，“只要你走得夠遠(yuǎn)。” 我們的數(shù)學(xué)圈沒有起點(diǎn)，也沒有終點(diǎn)，不論怎么走，只要走得夠遠(yuǎn)， 你總能到某個(gè)地方的。 李泳 2006年8月

內(nèi)容概要

　　《素?cái)?shù)的音樂》講述了天才人物在搜尋“有什么公式可生成素?cái)?shù)”等答案時(shí)發(fā)生的故事，以及這個(gè)謎題的答案將在電子商務(wù)、量子力學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)等廣泛領(lǐng)域產(chǎn)生革命性的影響。

作者簡介

作者：(英)索托伊

書籍目錄

歡迎你來數(shù)學(xué)圈第一章 誰想成為百萬富翁第二章 算術(shù)的原子第三章 黎曼的數(shù)學(xué)照虛鏡第四章 黎曼假設(shè)：從隨機(jī)素?cái)?shù)到規(guī)則零點(diǎn)第五章 數(shù)學(xué)接力賽：黎曼革命的實(shí)現(xiàn)第六章 拉馬努揚(yáng)，謎一般的數(shù)學(xué)家第七章 數(shù)學(xué)的遷徙：從哥廷根到普林斯頓第八章 思想的機(jī)器第九章 計(jì)算機(jī)時(shí)代：從頭腦到臺(tái)式計(jì)算機(jī)第十章 破解數(shù)字和密碼第十一章 從規(guī)則零點(diǎn)到量子混沌第十二章 拼圖玩具中消失的一片致謝進(jìn)一步的閱讀材料網(wǎng)站索引  

章節(jié)摘錄

　　圖靈對機(jī)器的熱愛來源于一本書。1922年，在圖靈10歲的時(shí)候，他得 到的禮物是棒球，在一起的還有一本書——埃德溫·坦尼·布魯斯特 （Edwin Tenney Brewster）所著的《每個(gè)兒童應(yīng)該知道的自然奇觀》，正是 這本書激發(fā)了童年圖靈的想象力。這本書出版于1912年，書中給出了自然 現(xiàn)象的解釋，但是并不僅僅是讓小讀者們被動(dòng)地接受這些知識(shí)。布魯斯特 關(guān)于生命的描述特別地具有啟發(fā)性，為將來圖靈對人工智能的興趣打下了 基礎(chǔ)： 當(dāng)然，生命就是一臺(tái)機(jī)器，是極其復(fù)雜的機(jī)器。雖然比任何手工制作 的機(jī)器都要復(fù)雜千萬倍，但仍然是一臺(tái)機(jī)器。曾有人將生命比作一臺(tái)蒸汽 機(jī)，但那是在我們對生命工作原理了解之前的事，現(xiàn)在我們認(rèn)為它是一臺(tái) 內(nèi)燃機(jī)，就像是汽車、輪船和飛機(jī)的發(fā)動(dòng)機(jī)一樣。在學(xué)校里，圖靈熱衷于 發(fā)明和制作一些新東西：可以重新加墨的鋼筆，甚至是打字機(jī)。直到他在 1931年進(jìn)入劍橋大學(xué)國王學(xué)院成為一名數(shù)學(xué)本科生，這些愛好仍然伴隨著 他。盡管圖靈比較內(nèi)向和孤獨(dú)，和很多前輩一樣，他在數(shù)學(xué)提供的絕對確 定性之下找到了安全感。同時(shí)他對于發(fā)明創(chuàng)造的熱情并沒有減退，他一直 關(guān)注著那些能揭示抽象問題結(jié)構(gòu)的物理機(jī)器。作為一名本科生，圖靈研究的首個(gè)結(jié)果是試圖理解抽象數(shù)學(xué)與奇異自 然界交匯處的問題。他的出發(fā)點(diǎn)是拋硬幣這個(gè)實(shí)際問題，而結(jié)果則是對任 何隨機(jī)實(shí)驗(yàn)所產(chǎn)生結(jié)果的復(fù)雜理論分析。像厄多斯和塞爾伯格那樣，在完 成自己的證明之后，圖靈失望地發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)果已經(jīng)在10多年前由芬蘭數(shù)學(xué) 家林德博格（J.w.Linderberg）得到，并被稱為中心極限定理。后來數(shù)論學(xué)家發(fā)現(xiàn)中心極限定理為估計(jì)素?cái)?shù)個(gè)數(shù)提供了全新的思想。黎曼假設(shè)曾斷言，真實(shí)素?cái)?shù)個(gè)數(shù)與高斯估計(jì)值之間的誤差應(yīng)該是與拋一枚 公平硬幣得到的誤差相同；但是中心極限定理則揭示了素?cái)?shù)的分布不可能 用拋硬幣模型來模擬。素?cái)?shù)并不遵循中心極限定理對隨機(jī)測量做出的修正 。由于統(tǒng)計(jì)學(xué)從不同的角度來分析給定數(shù)據(jù)，因此從圖靈和林德博格的中 心極限定理的觀點(diǎn)來看，雖然素?cái)?shù)與拋硬幣有很多共同點(diǎn)，但他們并不是 一回事。圖靈關(guān)于中心極限定理的證明雖然不是最早的，但已經(jīng)足夠證明他的 才能，他也因此被選為國王學(xué)院的成員，那時(shí)他才22歲。不過在劍橋的數(shù) 學(xué)圈子中，圖靈仍然是孤獨(dú)的。當(dāng)哈代和利特伍德為數(shù)論中的經(jīng)典問題奮 戰(zhàn)時(shí)，圖靈寧愿在數(shù)學(xué)教條之外進(jìn)行探索，與其閱讀同時(shí)代人的文章，他 更愿意做出自己的結(jié)果。和塞爾伯格一樣，他將自己排除在傳統(tǒng)的學(xué)術(shù)圈 子之外。除了這種自加的孤獨(dú)，圖靈也注意到了正漸漸逼向數(shù)學(xué)的一場危機(jī)。劍橋的數(shù)學(xué)家紛紛討論著一位年輕奧地利數(shù)學(xué)家的工作。數(shù)學(xué)曾經(jīng)給予圖 靈安全感，但是現(xiàn)在某種不確定性卻被放置到了數(shù)學(xué)的中心。哥德爾和數(shù) 學(xué)方法的局限性 在自己的第二個(gè)問題中，希爾伯特希望數(shù)學(xué)界能給出一個(gè)證明，證明 數(shù)學(xué)中沒有矛盾存在。古希臘人創(chuàng)造數(shù)學(xué)時(shí)，是將它作為由定理和證明構(gòu) 成的一門學(xué)科，而出發(fā)點(diǎn)則是那些看上去不證自明的關(guān)于數(shù)的真理。這些 真理被稱作是數(shù)學(xué)中的公理，是數(shù)學(xué)花園得以盛開的種子。自從歐幾里得 給出關(guān)于素?cái)?shù)的第一個(gè)證明以來，正是在這些公理的基礎(chǔ)之上數(shù)學(xué)家利用 邏輯推理擴(kuò)展了我們對于數(shù)的認(rèn)識(shí)。但是希爾伯特對多種幾何學(xué)的研究，使我們不禁產(chǎn)生了這樣一個(gè)問題 ，我們是否能肯定地說，我們永遠(yuǎn)都不會(huì)碰到一個(gè)既正確又錯(cuò)誤的命題。我們究竟能多么肯定地認(rèn)為不存在兩條從公理出發(fā)的推理步驟，其中一條 能證明黎曼假設(shè)正確，另一條同時(shí)能證明黎曼假設(shè)錯(cuò)誤。希爾伯特肯定地 認(rèn)為利用數(shù)學(xué)邏輯可以證明，在數(shù)學(xué)中不存在這樣的矛盾。在希爾伯特的 觀點(diǎn)中，23個(gè)問題中的第二道只不過是保證數(shù)學(xué)大廈的整齊有序而已。在 包括羅素——哈代和利特伍德的哲學(xué)朋友——在內(nèi)的一些人發(fā)現(xiàn)某些數(shù)學(xué) 中的矛盾之后，這個(gè)問題開始得到了重視。雖然羅素的不朽巨著《數(shù)學(xué)原 理》找到了解決這些矛盾的一個(gè)方法，但卻激發(fā)了更多人對希爾伯特第二 問題的關(guān)注。在1930年9月7日，希爾伯特被授予柯尼斯堡榮譽(yù)市民的稱號。這是他 熱愛的故鄉(xiāng)。這一年也是希爾伯特從哥廷根退休的一年。他在演講的最后 號召所有的數(shù)學(xué)家：“Wir mussen wissen.Wir werden wissen.”（“我們 必須知道，我們也將會(huì)知道！”）在演講之后，他被邀請去錄音棚將最后一 段錄下，以供廣播播放?，F(xiàn)在你可以在錄音中“我們必須知道”后面聽到 希爾伯特的笑聲。但是希爾伯特不知道的是，在他發(fā)出笑聲的前一天，有 一場會(huì)議在附近的柯尼斯堡大學(xué)召開，25歲的奧地利邏輯學(xué)家科特·哥德 爾（Kurt Godel）作了一場報(bào)告，這次報(bào)告徹底地摧毀了希爾伯特的世界觀 。在童年時(shí)期，哥德爾被稱為“Herr Warum”——問題先生——因?yàn)樗?總有著無窮的問題。兒時(shí)的風(fēng)濕熱給他的心臟帶來了影響，并留下永久的 抑郁癥。到他晚年的時(shí)候，抑郁癥變成了完全的偏執(zhí)狂。他總是認(rèn)為有人 試圖毒害他，于是他絕食直至死亡。但是在他25歲時(shí)，哥德爾摧毀了希爾 伯特的夢想，并導(dǎo)致了數(shù)學(xué)世界中的一場風(fēng)暴。在自己的論文中，哥德爾將自己的好奇心轉(zhuǎn)向希爾伯特那些涉及數(shù)學(xué) 核心的問題。哥德爾證明了，數(shù)學(xué)家永遠(yuǎn)不可能證明擁有希爾伯特所渴求 的堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，利用那些數(shù)學(xué)公理永遠(yuǎn)也不可能證明這些公理不會(huì)導(dǎo)致矛 盾。那通過修改某些公理或者加上一些公理，能不能改變這個(gè)狀況呢？答 案也是否定的。哥德爾告訴我們，不管為數(shù)學(xué)選擇什么樣的公理，它們都 不能被用來證明其中不存在著矛盾。數(shù)學(xué)家稱一組公理是相容的，如果它們不會(huì)導(dǎo)致矛盾。我們可以在選 擇公理的時(shí)候，保證它們不會(huì)產(chǎn)生矛盾；但是在使用這些公理的時(shí)候，會(huì) 不會(huì)得到矛盾就無人知曉。也許從某組公理出發(fā)可以證明相容性，但這只 是一部分的成功，因?yàn)閷τ谶@組公理的選擇的相容性仍然是一個(gè)問題。這 就像希爾伯特希望通過將幾何轉(zhuǎn)化為數(shù)來證明幾何的相容性，但是這導(dǎo)致 的問題就是算術(shù)的相容性。（P175-179）

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