算術(shù)探索

前言

本書所探索的內(nèi)容是屬于數(shù)學(xué)中研究整數(shù)的那一部分，在大多數(shù)情形將不討論分?jǐn)?shù)，而且從不涉及無理數(shù)（俄、德為“虛數(shù)”以后再加譯注）。通常所謂的不定分析或Diophantus分析，是討論從滿足一個不定方程的無窮多個解中去選出那些是整數(shù)或至少是有理數(shù)（通常還要求是正的）解的學(xué)問，它并不是徹底研究這一學(xué)科，而僅是這學(xué)科的十分特殊的一部分，它和這整個學(xué)科的關(guān)系差不多如同方程變形與解方程的學(xué)問（代數(shù)學(xué)）與整個分析學(xué)的關(guān)系一樣。這就是說，如同所有涉及數(shù)量及它們之間的關(guān)系的一般性質(zhì)的研究屬于分析的領(lǐng)域一樣，整數(shù)（及分?jǐn)?shù)——在它們由整數(shù)確定的意義下）是算術(shù)研究的真正對象。然而，因為通常所說的算術(shù)很難超出記數(shù)與計算的技巧（即以確定的形式來表示數(shù)，例如十進(jìn)位表示，以及對其進(jìn)行算術(shù)運算），同時它還常常包含這樣一些問題，它們或者與算術(shù)毫無關(guān)系（如對數(shù)理論），或者不僅對整數(shù)而且對任意的數(shù)量也有意義，所以這樣來區(qū)分這兩部份算術(shù)看來是適當(dāng)?shù)模喊褎倓傉f到的這些稱為初等算術(shù)，而把所有關(guān)于整數(shù)間內(nèi)在聯(lián)系的一般研究歸入高等算術(shù)。本書將只討論高等算術(shù)。Euclid在其《幾何原本》的第七及其后幾卷中，以古人所固有的優(yōu)美而又嚴(yán)格討論的論題就是屬于高等算術(shù)，不過這些內(nèi)容僅可看做是這學(xué)科的一個導(dǎo)引。全部用于討論不定分析問題的Diphantus的名著包含了許多研究，由于它們的難度及他所用的精妙方法，特別是，考慮到只有很少的輔助工具可供他應(yīng)用，這些研究激起了人們對作者的才智和洞察力的高度關(guān)注。然而，因為對這些問題要求創(chuàng)新性和靈巧性甚于需要深刻的原理。此外，這些問題過于特殊以及很難導(dǎo)致更為普遍性的結(jié)論，所以，把這本書看做是開創(chuàng)了一個數(shù)學(xué)迅速發(fā)展的時代，是由于它本身記錄了代數(shù)學(xué)所特有的巧妙技巧的最早蹤跡，而不是由于它以新的發(fā)現(xiàn)豐富了高等算術(shù)。主要的是由于近期的研究，雖然確實不多，但贏得了永恒的聲譽(yù)，它們是屬于P.de Fermat，L.Euler，L.Lagrange及A.M.Legendre（以及另外少數(shù)幾位），我們應(yīng)當(dāng)感謝他們開啟了通向這一神圣科學(xué)寶藏的入口，并揭示了它所蘊(yùn)含的寶藏是何等豐富。但是，我不再在這里列舉這些學(xué)者的一個又一個發(fā)現(xiàn)，因為它們可在Lagrange為Euler的《代數(shù)學(xué)》所加的附錄的前言中，及Legendre最近的著作（我將立刻提到它）中找到；此外，這些發(fā)現(xiàn)中的許多也將在本書的相應(yīng)之處加以引述。本書的目的是介紹我在高等算術(shù)領(lǐng)域所做的探索與研究，早在五年前我就允諾要出版這本書，現(xiàn)在它包括了我在早前及在這一段時間所做的兩部份工作。為了避免有人感到奇怪，為什么本書的內(nèi)容要追溯到許多最簡單的原理，而且還要重新討論許多已被其他人卓有成效地研究過的結(jié)果，我在此必須向讀者說明：當(dāng)我在1795年初開始轉(zhuǎn)向這種探索時，我并不知道這一領(lǐng)域中近期的這些最新發(fā)現(xiàn)，同時用于得到我自己的結(jié)果的方法技巧都是我自己想出來的。事情是這樣的，在從事其它工作時我偶然發(fā)現(xiàn)了一個極不尋常的正確的算術(shù)命題（如果我沒有記錯的話，這就是本書第108目所說的那個定理），因為我認(rèn)為不僅它本身是這樣的漂亮，而且感覺到它還會與其他著名的重要結(jié)論有聯(lián)系，所以我把自己的全部精力集中于去搞清楚它所依賴的原理并給出嚴(yán)格的證明。當(dāng)我在這方面最后取得成功后，我就被這些問題所深深地吸引而一發(fā)不可收拾了。這樣一來，在我接觸到其他學(xué)者的類似研究工作之前，我就已經(jīng)得到了一個又一個結(jié)論，從而完成了本書前四篇所介紹的絕大多數(shù)內(nèi)容。最后，當(dāng)我有可能拜讀這些天才人物的著作后，我才認(rèn)識到我所深入思考的大部分內(nèi)容都是早已知道的東西。但是，這只是更增加了我的興趣，并努力嘗試沿著他們的足跡進(jìn)一步去發(fā)展算術(shù)。這就產(chǎn)生了不同的研究，其中的部分結(jié)果已被安排在第五、第六和第七篇中。稍后，我開始考慮發(fā)表我努力所得的這些成果，并說服自己不要刪去任何早期研究所得的成果，這是因為，首先，在那時還沒有一本書把其他學(xué)者的工作收集在一起，而這些工作只是散見于一些學(xué)術(shù)研究機(jī)構(gòu)的會報紀(jì)事中；其次，這些研究中的多數(shù)結(jié)果是全新的，且其中大多數(shù)結(jié)果還是用新方法討論的；最后，所有的結(jié)果之間有著如此密切的聯(lián)系，以致于如果不從一開始就重提前面的某些工作，后面的新成果就難以充分闡述清楚。就在這時，出現(xiàn)了當(dāng)時已經(jīng)在高等算術(shù)領(lǐng)域做出了巨大貢獻(xiàn)的Legendre的杰出著作《數(shù)論（Essai d'une théorie des nombres，Paris，a.VI）》，書中他不僅把到當(dāng)時所發(fā)現(xiàn)的所有結(jié)果都收集在一起并加以系統(tǒng)整理，而且添加了許多他本人的新結(jié)果。因為我過晚才見到這本書，當(dāng)看到它時本書的大部分書稿已經(jīng)完成并交給了出版商，所以當(dāng)討論類似的問題時，我就沒有機(jī)會處處提到它了。只是對該書的我認(rèn)為是必要的若干部分在補(bǔ)記中給出某些注記，我期望這位通情達(dá)理的學(xué)者不會不注意到這些并以他的寬容和真誠對此給予善意的理解。（按法文本））本書的出版在超過四年的時間里遇到了許多阻礙。在這一段時間里，我不僅進(jìn)一步繼續(xù)過去已經(jīng)開始進(jìn)行的研究（當(dāng)時為了避免本書篇幅過大，決定分離出這些研究，準(zhǔn)備在另外的地方發(fā)表），而且也從事許多新的研究。此外，有許多我過去只是稍有觸及而當(dāng)時覺得似乎不必詳細(xì)討論的問題（例如，第37目，第82目及其后各目和其他的若干目）也得到了進(jìn)一步發(fā)展，并導(dǎo)致一些看來是值得發(fā)表的更一般的結(jié)論（參見補(bǔ)記中關(guān)于第306目的注記）。最后，主要由于第五篇的內(nèi)容使本書的篇幅變得大大超出我原來的預(yù)期，使我只得削減了最初打算寫的不少內(nèi)容，特別是刪去了整個第八篇（在本書的若干處已經(jīng)提到了該篇，它包含了任意次代數(shù)同余方程的一般討論（俄））。在條件允許時，我將盡早地發(fā)表所有這些研究成果，它們?nèi)菀讟?gòu)成與本書篇幅相當(dāng)?shù)囊槐緯Ｔ诙嗵幚щy的討論中，我采用了綜合性證明，且隱匿了導(dǎo)致這樣的證明的分析，這樣做主要是由于簡潔性的要求，而這是我盡可能地力求做到的。第七篇討論的是分圓理論或正多邊形理論，它本身不屬于算術(shù)，但所涉及的那些原理無疑是唯一地依屬于高等算術(shù)的。或許這會出乎數(shù)學(xué)家們的意料，但我希望他們對從這樣的討論導(dǎo)出的這些新結(jié)論會同樣地感到高興。以上就是我要請讀者注意的一些事情。至于此書本身的價值，不是我應(yīng)加以判斷的。我最大的愿望是，它會使得那些關(guān)心科學(xué)發(fā)展的人士感到高興，不論是由于本書所提出的解法正是他們所一直尋求的，還是由于它開創(chuàng)了通向新探索的途徑。

內(nèi)容概要

　　《算術(shù)研究》是被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”的德國大數(shù)學(xué)家高斯的第一部杰作，該書寫于1797年，1801年正式出版，這是一部用拉丁文寫成的巨著，是數(shù)論的最經(jīng)典及最具權(quán)威性的著作。在隨后的200年時間中被翻譯成多國文字，如德文、英文、俄文等。這部著作在數(shù)學(xué)中的重要地位不亞于《圣經(jīng)》在基督教中的地位，只有歐幾里得的《幾何原本》堪與之相比，因為高斯有一句名言：“數(shù)學(xué)是科學(xué)的女皇，數(shù)論是數(shù)學(xué)的女皇?！边@部著作共七篇?！　〉谝黄懻撘话愕臄?shù)的同余：并首次引進(jìn)了同余記號，這是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中無處不在的等價和分類概念出現(xiàn)在代數(shù)中的最早的意義重大的例子?！　〉诙懻撘淮瓮喾匠蹋浩渲袊?yán)格證明了算術(shù)基本定理?！　〉谌懻搩绲耐嗍剑捍似敿?xì)討論了高次同余式?！　〉谒钠岸瓮喾匠獭币饬x非同尋常：因為其中給出了二次互反律的證明，有人統(tǒng)計到21世紀(jì)初，二次互反律的證明已經(jīng)超過200種，其中柯西、雅可比、迪利克雷、艾森斯坦、劉維爾、庫默爾、克羅內(nèi)克、戴德金、瓦萊－布桑、希爾伯特、弗羅貝尼烏斯、斯蒂爾切斯、M·里斯、韋伊都給出了新證法，可見問題之重要。　　第五篇是“二次型與二次不定方程”在這一篇中關(guān)于二次型的特征的研究，標(biāo)志著群特征標(biāo)理論的肇始，使高斯成為群論的先驅(qū)者之一?！　〉诹亚懊娴睦碚搼?yīng)用到各種特殊情形，并引入了超越函數(shù)?！　〉谄咂恰胺謭A方程”，不少人認(rèn)為此篇是《算術(shù)研究》的頂峰。　　《算術(shù)研究》當(dāng)時對于數(shù)學(xué)家也很難讀，它曾被稱為“七印封嚴(yán)之書”（這是西方人對難解之書喜用的詞，近于中國人所謂的“天書”，典出《圣經(jīng)·啟示錄》第五章第一節(jié)：“我看見坐寶座的右手中有書卷，里外都寫著書，用七印封嚴(yán)了”）后來迪利克雷作了詳細(xì)注釋。此書簡潔完美的風(fēng)格多少減慢了它的傳播速度，而最終當(dāng)富有才華的年輕人開始深入研讀它時，由于出版商的破產(chǎn)，又買不到它了，甚至高斯最喜歡的學(xué)生艾森斯坦從未能擁有一本，有些學(xué)生不得不從頭到尾抄錄全書。

作者簡介

作者：（德國）高斯 譯者：潘承彪 張明堯潘承彪，1938年生于江蘇省蘇州市，1960年畢業(yè)于北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系數(shù)學(xué)專業(yè)，1961年起在北京農(nóng)業(yè)機(jī)化學(xué)院（后改名為北京農(nóng)業(yè)工程大學(xué)、中國農(nóng)業(yè)大學(xué)）工作，從1977年起同時在北京大學(xué)數(shù)學(xué)系工作。主要從事數(shù)學(xué)，特別是數(shù)論的教學(xué)科研工作。與胞兄潘承洞合著有《哥德巴赫猜想》、《解析數(shù)論基礎(chǔ)》、《素數(shù)定理的初等證明》、《代數(shù)數(shù)論》、《初等數(shù)論》及《模形式導(dǎo)引》等。張明堯，1945年12月生于山東省菏澤市，1967年畢業(yè)于安徽大學(xué)數(shù)學(xué)系，1981年獲得碩士學(xué)位后在安徽大學(xué)工作；1987年獲得博士學(xué)位后在中國科技大學(xué)工作；1994年調(diào)海南大學(xué)工作；1996年調(diào)上海華東理工大學(xué)工作。譯著有《數(shù)論中未解決的問題（第二版）》（原著者R.K.Guy）、《純數(shù)學(xué)教程(紀(jì)念版)》（原著者G.H.Hardy）以及《哈代數(shù)論(第六版)》（原著者G.H.Hardy以及E.M.Wright修訂者D.R.Heath-Brown以及J.H.Silverman）等。

書籍目錄

第一篇  數(shù)的同余  第1～12目  11  同余的數(shù)，模，剩余及非剩余  第1～3目  12  最小剩余  第4目  23  關(guān)于同余的若干基本定理  第5～11目  24  若干應(yīng)用  第12目  4第二篇  一次同余方程  第13～44目  55  關(guān)于素數(shù)、因數(shù)等的若干預(yù)備定理  第13～25目  56  一次同余方程的解  第26～31目  97  對若干個給定的模，求分別同余于給定的剩余的數(shù)的方法  第32～36目  128  多元線性同余方程組  第37目  159  若干不同的定理  第38～44目  17第三篇  冪剩余  第45～93目  2310  首項為1的幾何數(shù)列的各項的剩余組成周期序列  第45～48目  23首先討論素數(shù)模  第49～81目  2411  當(dāng)模為素數(shù)p時，周期的項數(shù)是p-1的除數(shù)  第49目  2412  Fermat定理  第50～51目  2513  對應(yīng)的周期的項數(shù)等于p-1的給定的除數(shù)的數(shù)的個數(shù)  第52～56目  2614  原根，基，指標(biāo)  第57目  2915  指標(biāo)的運算  第58～59目  2916  同余方程xn≡A的根  第60～68目  3017  不同系統(tǒng)的指標(biāo)間的關(guān)系  第69～71目  3618  為特殊應(yīng)用選取基  第72目  3719  求原根的方法  第73～74目  3820  關(guān)于周期和原根的幾個不同的定理  第75～81目  39（Wilson定理）  第76～78目  40合數(shù)模的討論  第82～93目  4321  模為素數(shù)冪  第82～89目  4322  模為2的方冪  第90～91目  4623  由若干個素數(shù)合成的模  第92～93目  47第四篇  二次同余方程  第94～152目  4924  二次剩余和非剩余  第94～95目  4925  若模是素數(shù)，則在小于模的數(shù)中剩余的個數(shù)等于非剩余的個數(shù)  第96～97目  5026  合數(shù)是否是給定素數(shù)的剩余或非剩余的問題依賴于它的因數(shù)的性質(zhì)  第98～99目  5127  合數(shù)模  第100～105目  5228  給定的數(shù)是給定素數(shù)模的剩余或非剩余的一般判別法  第106目  56以給定的數(shù)為其剩余或非剩余的素數(shù)的討論  第107～150目  5629  剩余-1  第108～111目  5630  剩余+2和-2  第112～116目  5831  剩余+3和-3  第117～120目  6032  剩余+5和-5  第121～123目  6233  剩余+7和-7  第124目  6434  為一般討論做準(zhǔn)備  第125～129目  6435  用歸納方法來發(fā)現(xiàn)一般的（基本）定理及由其推出的結(jié)論  第130～134目  6836  基本定理的嚴(yán)格證明  第135～144目  7237  用類似方法證明第114目中的定理  第145目  7638  一般問題的解法  第146目  7739  以給定的數(shù)為其剩余或非剩余的全體素數(shù)的線性表示式  第147～150目  7840  其他數(shù)學(xué)家關(guān)于這些研究的工作  第151目  8141  一般形式的二次同余方程  第152目  83第五篇  二次型和二次不定方程  第153～307目  8442  研究計劃；型的定義及符號  第153目  8443  數(shù)的表示；行列式  第154目  8444  數(shù)M由型（a,b,c）來表示時所屬的表示式2-ac （mod M）的值第155～156目  8545  一個型包含另一個型，或包含在另一個型之中；正常及反常變換  第157目  8646  正常等價及反常等價  第158目  8747  相反的型  第159目  8848  相鄰的型  第160目  8949  型的系數(shù)的公約數(shù)  第161目  9050  給定的一個型變?yōu)榱硪粋€型的所有可能的同型變換之間的關(guān)系  第162目  9051  歧型  第163目  9552  與同時既是正常地又是反常地包含在另一個型中的型有關(guān)的定理  第164目  9553  由型表示數(shù)的一般性研究以及這些表示與變換的聯(lián)系  第166～170目  10054  行列式為負(fù)的型  第171～181目  10355  特殊的應(yīng)用：將一個數(shù)分解成兩個平方數(shù)，分解成一個平方數(shù)和另一個平方數(shù)的兩倍，分解成一個平方數(shù)和另一個平方數(shù)的三倍  第182目  11456  具有正的非平方數(shù)行列式的型  第183～205目  11657  行列式為平方數(shù)的型  第206～212目  14758  包含在另一個與之不等價的型之中的型  第213～214目  15259  行列式為零的型  第215目  15560  所有二元二次不定方程的一般整數(shù)解  第216～221目  15861  歷史注記  第222目  162關(guān)于型的進(jìn)一步研究  第223～265目  16362  給定行列式的型的分類  第223～225目  16363  類劃分成層  第226～227目  16664  層劃分成族  第228～233目  16865  型的合成  第234～244目  17566  層的合成  第245目  19667  族的合成  第246～248目  19768  類的合成  第249～251目  19969  對給定的行列式，在同一個層的每一個族中都有同樣多個類  第252目  20270  不同的層中各個族所含類的個數(shù)的比較  第253～256目  20371  歧類的個數(shù)  第257～260目  20972  對于給定的行列式，所有可能的特征有一半不能適合于任何正常本原（當(dāng)行列式為負(fù)數(shù)時，還是定正的）族  第261目  21573  基本定理以及與剩余-1,+2,-2有關(guān)的其他定理的第二個證明  第262目  21574  精確地確定不能適合于族的那一半特征  第263～264目  21775  分解素數(shù)成兩個平方數(shù)的特殊方法  第265目  21976  三元型研究雜談  第266～285目  220對于二元型理論的某些應(yīng)用  第286～307目  24777  怎樣求一個型，由它的加倍可以得到主族中一個給定的二元型  第286目  24778  除了在第263和264目中已經(jīng)證明其不可能的那些特征之外，其他所有的特征都與某個族相對應(yīng)  第287目  24979  數(shù)及二元型分解為三個平方的理論  第288～292目  25080  Fermat定理的證明：任何整數(shù)可以分解成三個三角數(shù)或者分解成四個平方數(shù)  第293目  25781  方程ax2+by2+cz2=0的解  第294～295目  25882  Legendre講述基本定理的方法  第296～298目  26283  由任意的三元型表示零  第299目  26584  二元二次不定方程的有理通解  第300目  26785  族的平均個數(shù)  第301目  26886  類的平均個數(shù)  第302～304目  26987  正常本原類的特殊算法；正則和非正則的行列式，等  第305～307目  273第六篇  前面討論的若干應(yīng)用  第308～334目  28188  將分?jǐn)?shù)分解為若干個較簡單分?jǐn)?shù)  第309～311目  28189  普通分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)  第312～318目  28390  用排除法解同余方程x2≡A  第319～322目  28791  用排除法解不定方程mx2＋ny2=A  第323～326目  29092  A為負(fù)數(shù)時同余方程x2≡A的另一種解法  第327，328目  29593  判別合數(shù)與素數(shù)及尋求合數(shù)的因數(shù)的兩個方法  第329～334目  297第七篇  分圓方程  第335～366目  30594  討論可歸結(jié)為把圓分為素數(shù)份的最簡單情形  第336目  30595  關(guān)于弧（它由整個圓周的一份或若干份組成）的三角函數(shù)的方程；把三角函數(shù)歸結(jié)為方程xn-1=0的根  第337～338目  306關(guān)于方程xn-1=0的根的理論（假定n是素數(shù)）  第339～354目  30896  若不計根1，則全部其余的根（Ω）是屬于方程X=xn-1+xn-2+…+x+1=0  第339～340目  30897  函數(shù)X不能分解為系數(shù)均為有理數(shù)的因式的乘積  第341目  30998  進(jìn)一步討論的目的的說明  第342目  31099  Ω中的所有的根可分為若干個類（周期）  第343目  311100  關(guān)于Ω中根組成的周期的幾個的定理  第344～351目  312101  基于以上討論解方程X=0  第352～354目  319進(jìn)一步討論根的周期  第355～360目  326102  有偶數(shù)項的和是實數(shù)  第355目  326103  把（Ω）中的根分為兩個周期的方程  第356目  327104  第四篇中提到的一個定理的證明  第357目  329105  把（Ω）中的根分為三個周期的方程  第358目  330106  把求Ω中的根的方程化為最簡方程  第359～360目  334以上研究在三角函數(shù)中的應(yīng)用  第361～364目  337107  求對應(yīng)于（Ω）中每個根的角的方法  第361目  337108  不用除法從正弦與余弦導(dǎo)出正切，余切，正割及余割  第362目  338109  逐次降低關(guān)于三角函數(shù)的方程次數(shù)的方法  第363，364目  339110  利用解二次方程或幾何作圖方法可實現(xiàn)的圓周的等分  第365，366目  343補(bǔ)記  346附表  348譯者注  351附錄  高斯——數(shù)學(xué)王者  科學(xué)巨人  3571  德國情勢  3572  貧寒之家  3603  心算神童  3614  學(xué)院三載  3635  大學(xué)攻讀  3666  出手不凡  3707  科學(xué)隨記  3718  博士論文  3759  算術(shù)探索  37810  一算成名  38211  戀愛結(jié)婚  38612  公爵之死  38713  喪妻再娶  39014  天文著作  39415  輝煌十年  39616  大地測量  40017  曲面理論  40418  非歐幾何  40619  物理研究  41020  教學(xué)工作  41621  政治風(fēng)波  41822  晚年生活  42123  業(yè)余愛好  42324  人際關(guān)系  42525  工作風(fēng)格  43526  溘然長逝  44027  高斯全集  446注  448人名索引  458人名譯名表  465編輯手記  471

章節(jié)摘錄

獻(xiàn)給最尊敬的Brunswick和Luneburg公爵Charles William Ferdinand親王殿下最尊敬的親王殿下：您允許我用您最尊貴的名字為這著作增添光輝，這是我最大的榮幸，把這部著作呈獻(xiàn)給您是我神圣的職責(zé)。最尊敬的親王殿下，如果不是您的恩寵，我就不會邁入科學(xué)之門。如果不是您對我研究工作的不間斷的資助，我就不可能全身心地從事我所熱愛的數(shù)學(xué)研究，正是由于您天下無雙的慷慨大度，才使得我不為他事煩心，能讓自己有這么多年致力于富有成果的專心思考和研究，并最終為我提供了在這部書中寫下我的部分研究成果的機(jī)會。當(dāng)我最終準(zhǔn)備好要將我的著作公諸于世時，又正是您獨一無二的寬厚，才清除了不斷延遲出版這一著作的所有障礙。您對我以及我的工作所給予的這樣的恩施，使我只能以深情感激和默默敬佩之心銘記永思；對此我不可能奉獻(xiàn)相應(yīng)的報答。這不僅僅是因為我自己感到難以勝任這樣的任務(wù)，更由于每一個人都知道您的異乎尋常的無私關(guān)懷賜予了所有獻(xiàn)身于高深學(xué)科的人。眾人皆知，對于那些通常被視為過于高深且遠(yuǎn)離日常生活的科學(xué)，您從來就沒有把它們排除在您的保護(hù)和鼓勵之外，您本人以您無上的智慧明察，這是為了在所有的科學(xué)之間建立聯(lián)系，并關(guān)系到人類社會各方面的繁榮幸福所必需的根本保證。為此，作為表達(dá)我對您的最深敬意及我獻(xiàn)身于最崇高的科學(xué)，我謹(jǐn)將本書奉獻(xiàn)給您。最尊敬的親王殿下，如果您認(rèn)為這本書是值得您始終給予我的厚愛，那么我就可以祝賀自己，我的辛勞沒有白費，并得到了超乎一切的無上榮光。最尊敬的親王殿下您最忠實的仆人C.F.Gauss1801年7月于Brunswick

名人推薦

在美國加利福尼亞利佛摩爾市消防隊第六分局的一只4瓦的小燈泡自1901年起點亮之后，迄今已連續(xù)使用了110年，并且依然在正常發(fā)光，在長達(dá)110年中，它只因為搬家熄滅過22分鐘。高斯的這本《算術(shù)探索》自從1801年出版后，迄今已經(jīng)210年了，它從未離開過數(shù)論學(xué)者和廣大“斯絲”(高斯的粉絲)的視線，它指引著眾多數(shù)論名家從一個高峰奔向另一個高峰，本書的出版終于結(jié)束了這本數(shù)論圣經(jīng)沒有中文版的歷史。羅蘭?斯特龍伯格教授（Roland N. Stromberg）在其頗具影響的著作《西方現(xiàn)代思想史》的導(dǎo)論中第一句就引用了伏爾泰的話：“了解前人是如何思想的，比了解他們?nèi)绾巫龅母匾??！备咚棺钍苋朔Q頌的是他的書和論文件件是精品，可謂字字珠璣，篇篇錦繡，但他廣受后來數(shù)學(xué)跟隨者詬病的也是這一點，它太完美了，以至完全看不出它是如何想出來的?！八褚恢唤苹暮傆梦舶蛼呷チ搜┑厣系暮圹E讓獵人無法追蹤?！碑?dāng)然高斯自己的解釋是為了追求完美，在拆除了腳手架后才將建筑示人，由于本書是高斯最早寫就的成名作，所以細(xì)細(xì)研讀從中我們還是可以尋到一絲高斯天才想法的蛛絲馬跡。任何歷史學(xué)家在閱讀史料的過程中都是有選擇的，著名歷史學(xué)家蕭公權(quán)先生所倡導(dǎo)的“以學(xué)心讀，以平心取，以公心述”并不是一個容易達(dá)到的境界。這本書歷經(jīng)200余年其敘述風(fēng)格及格式已與今天有較大的差距.所以要想用它當(dāng)做課本學(xué)習(xí)數(shù)論并不是最有效率的，但是把它當(dāng)做經(jīng)典進(jìn)行細(xì)細(xì)研讀或是把它當(dāng)成史料去品味，則既可以領(lǐng)略大師的思考藝術(shù)又可以管窺幾百年數(shù)論研究熱點及風(fēng)格的演變，如果你足夠聰明再加上運氣好的話還可以發(fā)現(xiàn)一點高斯遺漏的珍珠。1949年，為慶祝愛因斯坦七十大壽，《在世哲學(xué)家文庫》準(zhǔn)備出一本專輯《阿爾伯特?愛因斯坦：哲學(xué)家——科學(xué)家》。主編希歐普（P.A.Schilpp）邀請哥德爾也寫一篇文章，哥德爾突發(fā)奇想，決定要為專輯寫一篇關(guān)于廣義相對論的論文，于是重操物理舊業(yè)，開始認(rèn)真研究廣義相對論，讓人不得不服氣的是，他居然發(fā)現(xiàn)了愛因斯坦方程的一個不為人知的新解——這個解對應(yīng)于一個“沒有時間的世界”。當(dāng)然如果你不能有所創(chuàng)造，單是欣賞數(shù)學(xué)之美也應(yīng)該家藏一編的。杜威1934年曾經(jīng)寫過一本《藝術(shù)作為一種體驗》，他認(rèn)為，藝術(shù)不是作為一種人造物而存在，相反藝術(shù)存在于人們的參與中，“藝術(shù)產(chǎn)品——廟宇、繪畫、雕塑、詩歌——不是藝術(shù)作品。當(dāng)一個人與該產(chǎn)品產(chǎn)生協(xié)作，結(jié)果他因為產(chǎn)品的開放性和有序的特性而獲得某種欣賞體驗，這時藝術(shù)作品才算發(fā)生了?！边@種純粹的審美體驗也可以移植到今天我們對數(shù)學(xué)美的認(rèn)識上；數(shù)學(xué)之美不是作為一種人造物而存在，數(shù)學(xué)之美存在于人們的參與中，愛讀才會贏.高斯的這本書歷代數(shù)論學(xué)者都奉為經(jīng)典一讀再讀，以與高斯同時代的人為例。如迪利克雷，他曾深入鉆研《算術(shù)探索》，正是由于他對《算術(shù)探索》的詳細(xì)注疏，此書才得以逐漸為廣大數(shù)學(xué)家理解。在慶祝高斯博士論文發(fā)表50周年大會上高斯正要拿《算術(shù)探索》的一張手稿點煙斗時，迪利克雷手疾眼快，趕緊搶了下來，并終生珍藏，他旅行時帶著，睡覺時放到枕下，上床之前，總要讀幾段，希望醒來后重讀時能完全明白。如貝塞爾，當(dāng)高斯送給貝塞爾一本《算術(shù)探索》時，貝塞爾非常用功地研讀此書，以致書都散了架，還得重新裝訂。如熱爾曼，她是在深入鉆研了《算術(shù)探索》之后，化名勒布朗與高斯通信，并在費馬猜想中取得了一項有意義的成果。如艾森斯坦，由于出版商的破產(chǎn)，他從來未能擁有一本，所以不得不從頭到尾抄錄了全書。這本書的讀者群應(yīng)該是大學(xué)師生，因為他們是生產(chǎn)數(shù)學(xué)和消費數(shù)學(xué)的最大群體。北京大學(xué)校長周其鳳（其作詞的《化學(xué)是你.化學(xué)是我》近日走紅網(wǎng)絡(luò)）在談到關(guān)于如何在大學(xué)階段做學(xué)問，做研究時引用了蔡元培先生當(dāng)年提出的“閎約深美”的境界，這四個字用在研究數(shù)論，效仿高斯，攻讀《算術(shù)探索》是再合適不過了。1914至1919年在哥廷根講授19世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的Fleix Klein在其講座中曾這樣評價高斯：如果我們現(xiàn)在詢問這個人不同尋常和獨一無二的品質(zhì)，回答一定是：在每一個所從事的領(lǐng)域內(nèi)所取得的最偉大的個人成就與最寬廣的多才多藝的結(jié)合；在數(shù)學(xué)上的創(chuàng)造性，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的力度和對其實際應(yīng)用的敏感的完美結(jié)合，這包括精確無誤的觀察和測量；最后是對這種偉大的自我創(chuàng)造財富的最精煉的表達(dá)。有人說：感情太濫我們發(fā)明了淺交往，資訊太濫我們發(fā)明了淺閱讀，在信息泛濫的時代我們確實很難找到讓我們?nèi)硇耐度刖哂薪^對權(quán)威的人物及作品，這時我們可以負(fù)責(zé)任地告訴廣大讀者：高斯《算術(shù)探索》值得擁有，因為古往今來的數(shù)學(xué)家僅有兩個人的天賦可以與他相比，Archimedes和Newton，而高斯活得更久，從而取得更加充分的個人成就。Archimedes代表了古代的科學(xué)成就，Newton是高等數(shù)學(xué)的創(chuàng)立者，而Gauss則代表了數(shù)學(xué)上一個新時代的來臨。美國新澤西州唯一的一位物理學(xué)家眾議員拉什?霍爾特在最近的《科學(xué)》雜志上發(fā)表署名社論強(qiáng)調(diào)：“科學(xué)是國家對未來最明智的投資?！苯裉欤@個觀點比過去任何時候都更為重要。其實在高斯的傳記中我們發(fā)現(xiàn)一個真正的數(shù)學(xué)家是不可能貧困的，據(jù)G.M.Rassias撰文介紹：可能是由于保險統(tǒng)計工作的刺激，高斯養(yǎng)成了從報刊、書籍和日常的觀察中收集各種統(tǒng)計數(shù)據(jù)的習(xí)慣。毫無疑問，這些數(shù)據(jù)幫助他獲得相當(dāng)于年薪200倍的金融投機(jī)，如他的父親對他的稱呼，這位“星空的凝觀者”取得了令他的那些“只講實用”的親戚們難以置信的經(jīng)濟(jì)狀況。雖然高斯在當(dāng)時可以算上巨富，但對今天中國社會頗有教育意義的是：奢侈從來沒有吸引過這位數(shù)學(xué)王子，他的一生從20歲開始就真摯地貢獻(xiàn)給了科學(xué)，正如他的朋友Sartorius von waltershausen寫道“從青年到老年，高斯都是一個真實而簡單的人，一間小書房，一張鋪著綠色臺布的工作臺，一張白色的寫字桌，一個窄沙發(fā)，70歲以后又添了一把手扶椅和一架帶燈罩的臺燈，一張床，簡單的食物，一件長外衣，一頂天鵝絨便帽，這些東西是他一生的需求?！倍咚箙s擁有約6千冊的藏書（這在大規(guī)模工業(yè)化印刷時代之前是相當(dāng)巨大的），包括希臘文、拉丁文、英文、法文、俄文、丹麥文，當(dāng)然還有德文的書籍。中國數(shù)學(xué)家今天可能不太需要再鉆讀高斯的《算術(shù)探索》了，但高斯淡泊明志，寧靜致遠(yuǎn)的精神境界我們太需要學(xué)習(xí)了。高斯在西方已不僅是作為著名數(shù)學(xué)家而被圈內(nèi)人知曉，其人其事是作為類似公眾人物一樣在大眾中廣泛流傳。巴黎第六大學(xué)博士，曾獲法國政府頒發(fā)的“法蘭西教育騎士榮譽(yù)勛章”，希臘雅典學(xué)院數(shù)學(xué)教授特福科洛斯?米哈伊里迪斯有一本小說被譯成中文叫做《畢達(dá)哥拉斯謎案》（姚人杰，譯，新星出版社，2010年），這本小說非常成功，哈佛大學(xué)數(shù)學(xué)教授巴里?梅休爾評價：是一起不可思議的謀殺謎案，令人想起20世紀(jì)初那場數(shù)學(xué)界、藝術(shù)界和社會形態(tài)發(fā)生的巨變，核心故事是一宗構(gòu)思精妙的知識沖動犯罪，古老傳說的現(xiàn)代演繹.牛津大學(xué)數(shù)學(xué)教授馬庫斯?杜?桑托伊評價其：作者聰明地將許多和數(shù)學(xué)有關(guān)的趣味故事編織進(jìn)小說里，他對20世紀(jì)初的巴黎與希臘生活的描寫更是令人神往。在這本以數(shù)學(xué)史為題材的小說中有三處大段涉及高斯，一處是第18頁提到高斯的座右銘為“Pauca sed matura”（少而精），并說高斯最喜歡說的一句話是：“數(shù)學(xué)推導(dǎo)就像在造樓，當(dāng)建筑完工后，不會把腳手架留在原地。”在中譯本的96～97頁涉及了高斯對阿貝爾論文的漠視及與波爾約非歐幾何優(yōu)先權(quán)之爭。從暢銷書的制作規(guī)律看數(shù)學(xué)一般是不適宜進(jìn)入的，除非是極其著名和重要的人物和事件，由此可見高斯已脫離數(shù)學(xué)圈進(jìn)入了更廣闊的公共領(lǐng)域。隨著歐元的誕生，最后一張印有數(shù)學(xué)家頭像的貨幣已經(jīng)消失（歐拉是先消失的，最后一個是印有高斯頭像的德國馬克）。但由于潘承彪、張明堯、沈永歡三教授的努力，高斯又重新出現(xiàn)在國人的視野中，歷時5載，實屬不易，作為策劃編輯唯一感到遺憾的是沒能為其爭取到與其貢獻(xiàn)相匹配的報酬。喬布斯的去世在中國引起的惋惜與反思絕不亞于他的家鄉(xiāng)美國，但很少有人能領(lǐng)會喬布斯代表的企業(yè)家精神的精髓，北京錫恩企業(yè)管理顧問有限公司董事長姜汝祥看的很到位，他認(rèn)為：喬布斯認(rèn)為真正受益于民眾的不是表面的低價，而是“市場交易的制度設(shè)計”，在iphone與ipad贏利所設(shè)計的價值鏈結(jié)構(gòu)中，最重要的貢獻(xiàn)在于對“免費邏輯”的突破，在蘋果體系中，一切軟件甚至一切知識創(chuàng)造都是要收費的，也就是說，是有“價格”的。中國的出版業(yè)生態(tài)完全被民營書商的低價策略破壞了，市場充斥著“檸檬”，一個知道自身價格的高水平作者的理智選擇就是撤出這個市場，于是低質(zhì)作品橫行市場，讀者表面上享受了低價優(yōu)惠，實質(zhì)是以喪失了內(nèi)容品質(zhì)為代價而且基本上锨除了有可能產(chǎn)生高品質(zhì)作品的土壤。想當(dāng)年嚴(yán)濟(jì)慈憑一本《幾何證題法》小冊子的版稅就可悠然去法國留學(xué)度日，而筆者前些日子收到一家大社寄來的一筆版稅尚不敵一本原版數(shù)學(xué)書的價錢，所以在中國僅靠版稅生活絕無可能，那誰又能潛心寫作呢？筆者在寫此手記的空閑去哈工大圖書館看了一個中國圖書進(jìn)出口總公司舉辦的原版書展，好書很多，同去的郭夢舒博士問筆者為什么國外的數(shù)學(xué)書就那么好，筆者回答說：“無它，唯高價爾？”。高書價吸引高水平作者進(jìn)入，最后讀者受益，免費與低價是對讀者潛在利益的最大傷害，為心愛的書籍付費是硬道理，在此理念的作用下筆者也選購了一本劍橋大學(xué)出版社的新書。RANJAN ROY的《SOURCES IN THE DEVELOPMENT OF MATHEMATICS—Series and Products from the Fifteenth to the Twenty first Century》，價格是99美元，念筆者是其老主顧，一番讓利后以500元人民幣成交。筆者抱著書走回工作室的路上心中充滿向往，中國版的數(shù)學(xué)書能有如此高價之時，則作者幸甚，編輯幸甚，最終讀者幸甚！劉培杰2011年10月20日于哈工大

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