高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的解題方法與策略-高中卷-14-第二版

內(nèi)容概要

《高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的解題方法與策略(第2版)/數(shù)學(xué)奧林匹克小叢書(shū)》編著者熊斌。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要學(xué)會(huì)解題，不僅能解常規(guī)的問(wèn)題，還要學(xué)習(xí)解一些有技巧性的問(wèn)題，這對(duì)培養(yǎng)解題能力和進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)都是非常有益的。本書(shū)以數(shù)學(xué)競(jìng)賽問(wèn)題為載體，通過(guò)20個(gè)專(zhuān)題，介紹重要的數(shù)學(xué)思想方法、解題策略和技巧，探討數(shù)學(xué)解題的基本原理。本書(shū)可作為中學(xué)生的課外輔導(dǎo)材料，也可以作為師范院校本科生、研究生的數(shù)學(xué)解題和數(shù)學(xué)競(jìng)賽課程的教材或參考書(shū)。

作者簡(jiǎn)介

熊斌第46屆、49屆、51屆、52屆和53屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克中國(guó)隊(duì)領(lǐng)隊(duì)、主教練，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系教授，博士生導(dǎo)師，華東師范大學(xué)國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克研究中心主任。多次參與中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克、全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽、全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽、西部數(shù)學(xué)奧林匹克、女子數(shù)學(xué)奧林匹克、國(guó)際城市青少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽等競(jìng)賽的命題工作。在國(guó)內(nèi)外發(fā)表了100余篇論文，主編和編著的著作150多本。

何憶捷上海市延安中學(xué)教師、數(shù)學(xué)奧林匹克教練員，復(fù)旦大學(xué)理學(xué)碩士，第18屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克金牌獲得者。長(zhǎng)期從事數(shù)學(xué)奧林匹克研究，高中畢業(yè)后出版著作《高中奧數(shù)命題研究與訓(xùn)練題集》，并參與全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽、國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)等命題及培訓(xùn)工作。

書(shū)籍目錄

1 化歸
2 反證法
3 數(shù)學(xué)歸納法
4 抽屜原理
5 容斥原理
6 極端原理
7 奇偶性
8 面積法
9 從整體考慮問(wèn)題
10 選擇合適的記號(hào)
11 數(shù)形結(jié)合
12 對(duì)應(yīng)與配對(duì)
13 遞推方法
14 染色法
15 賦值法
16 算兩次
17 逐步調(diào)整法
18 構(gòu)造法
19 不變量與恒增(減)量
20 圖論方法
習(xí)題解答

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁(yè)：   插圖：   圖論是以圖為研究對(duì)象，研究頂點(diǎn)和邊組成的圖形的數(shù)學(xué)理論和方法，起源于著名的哥尼斯堡七橋問(wèn)題。圖論中的圖是指由若干個(gè)不同的頂點(diǎn)及連接其中某些頂點(diǎn)的邊所構(gòu)成的圖形，通常用G表示，或者更確切地記作G（V，E），其中V是所有頂點(diǎn)的集合，E是所有邊的集合。圖G中，頂點(diǎn)的位置以及邊的曲直長(zhǎng)短都是無(wú)關(guān)緊要的，我們所關(guān)心的是圖G中頂點(diǎn)和邊的組成狀況。 圖論有一套龐大的概念系統(tǒng)，下面列舉的是其中最基本的概念以及一些本節(jié)中會(huì)涉及到的概念： 如果圖G的兩個(gè)頂點(diǎn)ν1，ν2之間有邊相連，則稱(chēng)ν1，ν2相鄰，否則稱(chēng)ν1，ν2不相鄰。 如果一條邊的兩端是同一頂點(diǎn)，這樣的邊稱(chēng)為環(huán)。 如果兩個(gè)頂點(diǎn)之間有k（k≥2）條邊相連，那么這些邊稱(chēng)為重邊。 若一個(gè)圖既沒(méi)有環(huán)也沒(méi)有重邊，這樣的圖稱(chēng)為簡(jiǎn)單圖。 每?jī)蓚€(gè)頂點(diǎn)均相鄰的簡(jiǎn)單圖稱(chēng)為完全圖。 有n個(gè)頂點(diǎn)的圖稱(chēng)為 n階圖。其中n階完全圖記為Kn。 頂點(diǎn)數(shù)和邊數(shù)都有限的圖稱(chēng)為有限圖，否則稱(chēng)為無(wú)限圖。 圖G中，與頂點(diǎn)ν相鄰的邊數(shù)（環(huán)作兩條邊計(jì)算）稱(chēng)為頂點(diǎn)ν的度（或者次數(shù)），記做d（ν）。若頂點(diǎn)的度是奇數(shù)，則稱(chēng)為奇頂點(diǎn)，否則稱(chēng)為偶頂點(diǎn)。 若圖中的邊不考慮起點(diǎn)和終點(diǎn)，則稱(chēng)為無(wú)向圖，否則稱(chēng)為有向圖（有向圖有出度和入度的概念）。如無(wú)特別說(shuō)明，一般的圖都指無(wú)向的簡(jiǎn)單圖。 在圖G中，一個(gè)由不同的邊組成的序列：e1，e2，…，em（其中ei=（νi－1，νi），i=1，2，…，m）稱(chēng)為從ν0到νm的鏈，其中ν0和νm稱(chēng)為這條鏈的端點(diǎn)，數(shù)m稱(chēng)為這條鏈的長(zhǎng)。如果一條鏈的兩個(gè)端點(diǎn)重合，則稱(chēng)這條鏈為圈。 如果對(duì)圖的任何兩個(gè)頂點(diǎn)u，ν，都存在一條鏈以u(píng)，ν為端點(diǎn)，這樣的圖稱(chēng)為連通圖。 關(guān)于圖G的頂點(diǎn)和邊數(shù)之間的關(guān)系，有如下定理。 定理 圖G中邊數(shù)的兩倍等于頂點(diǎn)度數(shù)之和。 設(shè)G中n個(gè)頂點(diǎn)為ν1，ν2，…，νn，邊數(shù)為e，則 d（ν1）+d（ν2）+…+d（νn）=2e。 證明 所有頂點(diǎn)的度的和d（ν1）+d（ν2）+…+d（νn）表示以頂點(diǎn)ν1，ν2，…，νn中某個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的邊的總數(shù)。由于一條邊有兩個(gè)頂點(diǎn)，所以圖G中每條邊在和d（ν1）+d（ν2）+…+d（νn）中被計(jì)數(shù)了兩次。即證。 這個(gè)定理通常稱(chēng)為握手引理：如果許多人在一起握手，那么握手次數(shù)為偶數(shù)次，從而握過(guò)奇數(shù)次手的人有偶數(shù)個(gè)。即得推論 推論 圖G中奇頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)個(gè)。 一筆畫(huà)，就是紙上給定一個(gè)圖G，能否從圖G的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，筆不離開(kāi)紙，而且連續(xù)地沿著每條邊恰好一次，然后回到原來(lái)頂點(diǎn)，從而畫(huà)出整個(gè)圖G。如果圖是歐拉圖，則可以一筆畫(huà)出整個(gè)圖G，否則不能。歐拉給出過(guò)一個(gè)圖是否是歐拉圖的判別方法。 一筆畫(huà)定理 一個(gè)連通圖為歐拉圖的充要條件是每個(gè)頂點(diǎn)的度都是偶數(shù)。 由此可以推出，一個(gè)圖可以一筆畫(huà)的充要條件是沒(méi)有奇頂點(diǎn)或者兩個(gè)奇頂點(diǎn)。如果有兩個(gè)奇頂點(diǎn)，那么這兩個(gè)奇頂點(diǎn)是一筆畫(huà)的起始點(diǎn)和結(jié)束點(diǎn)。 本節(jié)所選的大多數(shù)例題和習(xí)題本身并非圖論問(wèn)題，但我們采用圖論方法求解，旨在反映圖論應(yīng)用的廣泛性與靈活性。 例1 n名選手進(jìn)行網(wǎng)球?qū)官?，每名選手至多賽一場(chǎng)，每場(chǎng)比賽兩名選手參加，已賽完n+1場(chǎng)。證明：至少有一名選手賽過(guò)三次。 證明 把 n名選手用n個(gè)點(diǎn)ν1，ν2，…，νn表示，當(dāng)且僅當(dāng)νi，νj，所代表的兩名選手比賽過(guò)時(shí)，令νi，νj相鄰，于是得到一個(gè)含n個(gè)頂點(diǎn)的簡(jiǎn)單圖。由于總共賽過(guò)n+1場(chǎng)，所以圖G的邊數(shù)是，n+1。由定理知 d（ν1）+d（ν2）+…+d（νn）=2（n+1）， 如果圖G中所有頂點(diǎn)的度都不超過(guò)2，則由上式得到 2（n+1）=d（ν1）+d（ν2）+…+d（νn）≤2n， 這不可能。因此圖G中至少有一個(gè)頂點(diǎn)x，它的度至少是3。于是，頂點(diǎn)x所表示的選手至少賽過(guò)三次。 例2設(shè)S={x1，x2，…，xn}是平面上的點(diǎn)集，其中n≥3。若任意兩點(diǎn)之間的距離不小于1，證明：距離恰好等于1的點(diǎn)對(duì)不超過(guò)3n對(duì)。 證明取這n個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，兩頂點(diǎn)相鄰當(dāng)且僅當(dāng)它們之間距離為1，得圖G。

編輯推薦

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