常微分方程與動力系統(tǒng)概論

前言

　　常微分方程是研究動力系統(tǒng)的重要基礎(chǔ)。目前，關(guān)于常微分方程和動力系統(tǒng)這兩門學(xué)科的著作已有許多，例如，參考文獻(xiàn)所列的[10，13，19]相當(dāng)完整地介紹了動力系統(tǒng)的重要內(nèi)容，但是它們一般結(jié)構(gòu)龐大，起點(diǎn)高，對于在校的青年初學(xué)者，特別是研究生來說，不易入門，不利于他們更進(jìn)一步地學(xué)習(xí)和研究。編寫本書的目的是希望提供一本研究生的教材，既包括這一方面的基本內(nèi)容，又包含這一領(lǐng)域的最新成果與方法，使研究生能夠盡快地到達(dá)這一研究領(lǐng)域的前沿?！　”緯卜炙恼拢旱谝徽陆榻B常微分方程的基礎(chǔ)性內(nèi)容，重視通過應(yīng)用來引進(jìn)和深入詮釋常微分方程的概念和解法，使讀者十分順利地進(jìn)入該領(lǐng)域的學(xué)習(xí)；第二章介紹了線性系統(tǒng)非耦合性、可對角化，線性系統(tǒng)基本理論，如特征值問題、穩(wěn)定性問題等；第三章介紹常微分方程中解的存在性、唯一性、連續(xù)性、解對初始條件的依賴性以及數(shù)值逼近等基本理論；第四章介紹自治系統(tǒng)中的非線性現(xiàn)象，如平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，分岔及對參數(shù)的依賴性，二維自治方程的有關(guān)理論以及分岔等非線性問題?！　”緯鴥?nèi)容精練，通俗易懂，言簡意賅，論證嚴(yán)密，各部分自成體系。作者參閱了國內(nèi)外同一主題的許多著作，吸收了各書之所長，相信讀者閱讀本書會從中受益?！　”緯某霭娴玫搅酥醒朊褡宕髮W(xué)理學(xué)院和國家自然科學(xué)基金（項(xiàng)目號：10971238）的資助，謹(jǐn)致謝意。書中的疏漏不當(dāng)之處，敬請專家、讀者批評指正。

內(nèi)容概要

本書側(cè)重從應(yīng)用的角度出發(fā)介紹常微分方程和動力系統(tǒng)的基本理論和方法，力求概念清晰，理論有據(jù)，方法實(shí)用，并將這些方法和微分方程建模、圖像分析結(jié)合起來。本書首先簡要介紹常微分方程一些基本理論和方法，為后面學(xué)習(xí)動力系統(tǒng)理論做鋪墊；然后介紹了線性系統(tǒng)、自治系統(tǒng)中的非線性現(xiàn)象等動力系統(tǒng)的基本理論及應(yīng)用，把常微分方程理論與動力系統(tǒng)的知識有機(jī)地融為一體。書中有大量的例題、習(xí)題，并輔以相圖分析，圖文并茂，便于讀者理解。本書取材適當(dāng)，難易適度，是一本很好的學(xué)習(xí)動力系統(tǒng)的入門書。    本書可作為高等學(xué)校數(shù)學(xué)系高年級及研究生教材或教學(xué)參考書，也可供物理、化學(xué)、生物等有關(guān)專業(yè)的科技工作者參考。

書籍目錄

第一章  一階常微分方程  1．1  引言    1．1．1  初值問題    1．1．2  通解/特解    1．1．3  自然增長與消失    1．1．4  斜率場和解曲線    1．1．5  局部存在唯一性定理    1．1．6  進(jìn)一步的討論  1．2  可分離變量方程    1．2．1  可分離變量方程的定義與求解    1．2．2  隱式解與奇解  1．3  一階線性方程    1．3．1  一階線性微分方程的求解方法    1．3．2  進(jìn)一步探討  1．4  變量替換法    1．4．1  齊次方程    1．4．2  伯努力(Bemouli)方程    1．4．3  黎卡提(Riccati)方程  1．5  可降階的二階方程    1．5．1  不顯含依賴變量y    1．5．2  不顯含獨(dú)立變量x  1．6  恰當(dāng)方程  習(xí)題l第二章  線性系統(tǒng)  2．1  向量(矩陣)函數(shù)、復(fù)值函數(shù)及復(fù)指數(shù)函數(shù)  2．2  非耦合線性系統(tǒng)  2．3  可對角化  2．4  指數(shù)矩陣或指數(shù)算子  2．5  線性系統(tǒng)基本定理  2．6  R2平面線性系統(tǒng)  2．7  復(fù)特征值  2．8  多重根  2．9  Jordan標(biāo)準(zhǔn)形  2．10  穩(wěn)定性理論  2．11  非齊次線性系統(tǒng)  2．12  補(bǔ)遺    2．12．1  一階線性系統(tǒng)    2．12．2  線性無關(guān)性與通解    2．12．3  初值問題    2．12．4  特征解    2．12．5  非齊次解  習(xí)題2第三章  基本定理與基本原理  3．1  解的存在性  3．2  線性系統(tǒng)基本定理  3．3  局部存在性定理  3．4  隹一性定理  3．5  解對初值的連續(xù)依賴性  3．6  進(jìn)一步閱讀    3．6．1  Peano(皮亞諾)存在定理    3．6．2  解的延伸    3．6．3  比較定理及其應(yīng)用    3．6．4  解對初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性、可微性  習(xí)題3第四章  自治系統(tǒng)中的非線性現(xiàn)象  4．1  數(shù)量自治方程    4．1．1  引言    4．1．2  流的幾何性質(zhì)    4．1．3  平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性    4．1．4  分岔及對參數(shù)的依賴性  4．2  二維自治方程    4．2．1  一般性質(zhì)和幾何特征    4．2．2  穩(wěn)定性    4．2．3  線性和近線性系統(tǒng)  4．3  分岔  4．4  進(jìn)一步閱讀：李雅普諾夫指數(shù)  習(xí)題4參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

　　常微分方程是一門仍有生命活力的古老學(xué)科。它涉及工程、科學(xué)和數(shù)學(xué)的眾多領(lǐng)域。常微分方程的研究與微積分的誕生幾乎同步，可以追溯到牛頓、萊布尼茲時(shí)代（十七世紀(jì)六十年代）。牛頓發(fā)展微積分的部分動機(jī)可歸因于求解常微分方程問題。例如，牛頓證明了開普勒的行星運(yùn)動（經(jīng)驗(yàn)）定理可由微分方程描述的牛頓運(yùn)動定理得到，這是常微分方程早期的一個(gè)經(jīng)典實(shí)例?，F(xiàn)在300多年過去了，常微分方程已覆蓋了眾多基礎(chǔ)學(xué)科及應(yīng)用學(xué)科，且很難加以完整的說明。　　本章的主要內(nèi)容是關(guān)于常微分方程的定性理論的。定性理論往往不通過精確求解來研究解的性態(tài)，由龐加萊在二十世紀(jì)初提出。一般而論，該理論應(yīng)是那個(gè)時(shí)期常微分方程的最主要的研究內(nèi)容，側(cè)重點(diǎn)是常微分方程的解的一般性質(zhì)——從簡單的存在性到顯著的H叩f分岔行為。　　本章主要是證明有關(guān)常微分方程的許多基本理論，包括解的存在性，唯一性，連續(xù)性，初始條件的連續(xù)依賴性，數(shù)值逼近等。其中，最基本的問題是常微分方程的解的存在性理論，因?yàn)闆]有解，方程就沒有意義。解的存在性只要求f（t，x）是連續(xù)的。在比較嚴(yán)格的假設(shè)條件下，其證明相當(dāng)簡單。只要求連續(xù)性，為學(xué)習(xí)常微分方程基本原理提供了一個(gè)簡單易懂的背景。

編輯推薦

　　面向十二五高等教育課程改革項(xiàng)目研究成果，中央人民大學(xué)“211”工程三期，中國少數(shù)民族經(jīng)濟(jì)發(fā)展研究子項(xiàng)目：中國少數(shù)民族地區(qū)經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展分析與預(yù)測研究。

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