隨機(jī)過(guò)程導(dǎo)論

前言

本書(shū)是在Math 240課（“應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程”）講義的基礎(chǔ)上修改完善而來(lái)的。我在杜克大學(xué)長(zhǎng)期從事這門(mén)課程的教學(xué)工作，學(xué)習(xí)此課程的大多數(shù)學(xué)生是數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、商學(xué)、生物學(xué)、心理學(xué)、物理學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)和工程學(xué)等專(zhuān)業(yè)的研究生，也有數(shù)學(xué)系的高年級(jí)本科生。這些學(xué)生的數(shù)學(xué)背景差異很大，而且與他們各自研究領(lǐng)域相關(guān)的隨機(jī)過(guò)程的特定內(nèi)容也很不一樣。要學(xué)習(xí)本書(shū)，需要有比較好的基于微積分的本科概率論知識(shí)，同時(shí)應(yīng)學(xué)習(xí)過(guò)包含特征值和特征向量等內(nèi)容的線性代數(shù)課程。同時(shí)讀者應(yīng)具有一定的計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)。習(xí)題需要讀者編寫(xiě)簡(jiǎn)單的程序并利用一些軟件進(jìn)行線性代數(shù)方面的計(jì)算。在我所有的班上，學(xué)生們都有足夠的計(jì)算機(jī)能力做到這一點(diǎn)。鑒于大多數(shù)同學(xué)都有微分方程的基礎(chǔ)，我將自然地使用相關(guān)內(nèi)容，不過(guò)我在預(yù)備知識(shí)中還是用較短的篇幅介紹了線性微分方程。在本書(shū)中我努力闡述數(shù)學(xué)的核心概念和方法，而不是列出所有的數(shù)學(xué)細(xì)節(jié)。測(cè)度論并不是本書(shū)必需的先修課程，但是我試圖采用這樣的寫(xiě)作方式，使那些懂得一些測(cè)度論的讀者可以更詳細(xì)了解本書(shū)呈現(xiàn)的主題。盡管本書(shū)主要是為那些想了解隨機(jī)過(guò)程應(yīng)用的讀者而寫(xiě)的，但是書(shū)中對(duì)真正的應(yīng)用討論得并不多。原因在于，要想理解真正的應(yīng)用，需要對(duì)相應(yīng)的研究領(lǐng)域有比較深人的了解，而介紹那些隨機(jī)過(guò)程能夠應(yīng)用的領(lǐng)域并不是本書(shū)的目標(biāo)。所以我選擇使用一些非?；镜睦樱屍渌I(lǐng)域的專(zhuān)家去決定何時(shí)一些數(shù)學(xué)假設(shè)對(duì)于他們的應(yīng)用是合理的。第1章涵蓋有限馬爾可夫鏈的基本內(nèi)容。在這里我并沒(méi)有給出收斂到平衡態(tài)的相關(guān)證明，而是重點(diǎn)說(shuō)明了收斂到平衡態(tài)和隨機(jī)矩陣特征值的大小之間的關(guān)系。第2章討論無(wú)限狀態(tài)空間的情況，以在非負(fù)整數(shù)上帶有反射邊界的隨機(jī)游動(dòng)作為主要的例子，介紹了非常返、零常返、正常返等概念，本章最后討論了分支過(guò)程。第3章討論連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈，集中在三個(gè)主要類(lèi)型：泊松過(guò)程、有限狀態(tài)空間和生滅過(guò)程。對(duì)于這些過(guò)程，我使用了向前微分方程來(lái)描述概率的發(fā)展，這比向后微分方程更簡(jiǎn)單、自然。遺憾的是，向前微分方程不適用于分析所有的連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈，這一事實(shí)在最后一節(jié)做了簡(jiǎn)要討論。生滅過(guò)程的一個(gè)主要例子是馬爾可夫隊(duì)列。在決策論的廣泛研究領(lǐng)域中，我選擇了馬爾可夫鏈的最優(yōu)停時(shí)理論來(lái)介紹，這部分內(nèi)容放在第4章。最優(yōu)停時(shí)理論可以把那些能夠得出算法解決相關(guān)問(wèn)題的數(shù)學(xué)理論很好地結(jié)合在一起。本章中最優(yōu)停時(shí)的基本思想與第5章所使用的思想相似。在隨機(jī)過(guò)程的很多問(wèn)題中，鞅的思想都是非?；A(chǔ)的。第5章的目標(biāo)就是對(duì)鞅的這些思想做一個(gè)堅(jiān)實(shí)的介紹。首先給出了條件期望的現(xiàn)代定義，這里我們自由地使用了“關(guān)于Fn可測(cè)，即到時(shí)刻”之前的所有信息已知”這樣的思想而沒(méi)有使用б代數(shù)語(yǔ)言去說(shuō)明它的嚴(yán)格含義。對(duì)本章主要的定理——可選抽樣定理和鞅收斂定理都給出了證明。這里的定理證明是很重要的，從證明的過(guò)程我們可以理解定理為什么不能一直適用。另外，我們討論了一致可積。第6章主要講解更新過(guò)程的基本思想。對(duì)于非格點(diǎn)的隨機(jī)變量，更新方程是主要的分析工具，而對(duì)于格點(diǎn)的隨機(jī)變量，則使用馬爾可夫鏈的方法。作為一個(gè)應(yīng)用，我們分析了服務(wù)時(shí)間為一般分布的排隊(duì)系統(tǒng)。

內(nèi)容概要

本書(shū)是一本隨機(jī)過(guò)程的優(yōu)秀教材，不僅以淺顯易懂的語(yǔ)言闡述基本概念和方法，而且通過(guò)一些非?；A(chǔ)的應(yīng)用實(shí)例，讓讀者了解如何應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程理論解決實(shí)際問(wèn)題。主要內(nèi)容包括有限馬爾可夫鏈、可數(shù)馬爾可夫鏈、連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈、最優(yōu)停時(shí)、鞅、可逆馬爾可夫鏈、布朗運(yùn)動(dòng)和隨機(jī)積分等。    本書(shū)側(cè)重?cái)?shù)學(xué)思想的分析而不是具體細(xì)節(jié)的理論證明，所需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)只是本科程度的概率論和一些線性代數(shù)知識(shí)，而不需要讀者有測(cè)度論的基礎(chǔ)，適合作為高等院校數(shù)學(xué)及相關(guān)專(zhuān)業(yè)高年級(jí)本科生和研究生教材，也適合作為相關(guān)領(lǐng)域研究人員的參考書(shū)。

作者簡(jiǎn)介

作者：（美國(guó)）勞勒（Gregory F.Lawler） 譯者：張景肖Gregory .F. Lawler 1976年獲得弗吉尼亞大學(xué)學(xué)士學(xué)位，1979年獲得普林斯頓大學(xué)博士學(xué)位。曾為康奈爾大學(xué)數(shù)學(xué)系教授，現(xiàn)為芝加哥大學(xué)數(shù)學(xué)系教授。

書(shū)籍目錄

譯者序第2版前言第1版前言第0章  預(yù)備知識(shí)1  0.1  引言1  0.2  線性微分方程1  0.3  線性差分方程2  0.4  習(xí)題5第1章  有限馬爾可夫鏈6  1.1  定義和舉例6  1.2  極限行為和不變概率9  1.3  狀態(tài)分類(lèi)12  1.3.1  可約性14  1.3.2  周期性15  1.3.3  不可約、非周期鏈16  1.3.4  可約或者周期鏈16  1.4  返回次數(shù)19  1.5  非常返態(tài)20  1.6  舉例24  1.7  習(xí)題27第2章  可數(shù)馬爾可夫鏈33  2.1  引言33  2.2  常返和非常返34  2.3  正常返和零常返38  2.4  分支過(guò)程40  2.5  習(xí)題43第3章  連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈48  3.1  泊松過(guò)程48  3.2  有限狀態(tài)空間50  3.3  生滅過(guò)程55  3.4  一般情形60  3.5  習(xí)題61第4章  最優(yōu)停時(shí)64  4.1  馬爾可夫鏈的最優(yōu)停時(shí)64  4.2  帶成本的最優(yōu)停時(shí)68  4.3  帶折現(xiàn)的最優(yōu)停時(shí)70  4.4  習(xí)題71第5章  鞅74  5.1  條件期望74  5.2  定義和舉例78  5.3  可選抽樣定理80  5.4  一致可積83  5.5  鞅收斂定理85  5.6  極大不等式89  5.7  習(xí)題91第6章  更新過(guò)程95  6.1  引言95  6.2  更新方程98  6.3  離散更新過(guò)程104  6.4  M/G/1和G/M/1排隊(duì)模型107  6.5  習(xí)題109第7章  可逆馬爾可夫鏈112  7.1  可逆過(guò)程112  7.2  收斂到平穩(wěn)分布113  7.3  馬爾可夫鏈算法117  7.4  常返的判定準(zhǔn)則120  7.5  習(xí)題122第8章  布朗運(yùn)動(dòng)125  8.1  引言125  8.2  馬爾可夫性127  8.3  布朗運(yùn)動(dòng)的零集130  8.4  多維布朗運(yùn)動(dòng)133  8.5  常返和非常返136  8.6  布朗運(yùn)動(dòng)的分形性質(zhì)138  8.7  比例原則138  8.8  帶漂移的布朗運(yùn)動(dòng)139  8.9  習(xí)題140第9章  隨機(jī)積分144  9.1  關(guān)于隨機(jī)游動(dòng)的積分144  9.2  關(guān)于布朗運(yùn)動(dòng)的積分145  9.3  Ito公式148  9.4  Ito公式的擴(kuò)展形式151  9.5  連續(xù)鞅156  9.6  吉爾薩諾夫變換157  9.7  費(fèi)因曼卡茨公式159  9.8  black-scholes公式161  9.9  模擬164  9.10  習(xí)題164進(jìn)一步閱讀的建議167索引168

章節(jié)摘錄

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《隨機(jī)過(guò)程導(dǎo)論(原書(shū)第2版)》是華章數(shù)學(xué)譯叢。

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