天才引導的歷程

前言

前言伯特蘭?羅素在他的自傳中回憶了他青少年時期的一場危機：有一條小路，穿過田野，通向新南蓋特，我經(jīng)常獨自一人去那里觀看日落，想象著自殺。然而，我最終沒有自殺，因為我希望了解更多的數(shù)學知識。誠然，只有極少數(shù)人能夠如此虔誠地皈依數(shù)學，然而有許多人能夠領會數(shù)學的力量，特別是領會數(shù)學之美。本書謹獻給那些希望更深入地探索漫長而輝煌的數(shù)學史的人們。對于文學、音樂和美術等各種學科，人們的傳統(tǒng)做法是以考證杰作——“偉大的小說”、“偉大的交響樂”、“偉大的繪畫”——作為最恰當和最有啟發(fā)性的研究對象。人們就這些主題著書立說，授課講學，使我們能夠了解這些學科中頗具創(chuàng)新意識的里程碑和創(chuàng)造這些里程碑的偉人。本書采用類似的方法來研究數(shù)學，只不過書中大師們創(chuàng)造的不是小說或交響樂，而是定理。因此，本書不是一本典型的數(shù)學教材，沒有一步一步地推導某個數(shù)學分支的發(fā)展。本書也不強調(diào)數(shù)學在確定行星運行軌道、理解計算機世界或者結算支票等方面的應用。當然，數(shù)學在這些應用領域極其成功。然而，并不是這些世俗功利促使歐幾里得、阿基米德或喬治?康托爾為數(shù)學殫精竭慮，終生不悔。他們覺得沒有必要借功利目的為自己的工作辯解，正如莎士比亞不必解釋他為何要寫十四行詩而沒有寫食譜，或者凡高為何要畫油畫而沒有畫廣告畫一樣。在本書中，我將從數(shù)學史的角度來探究一小部分最重要的證明和最精巧的邏輯推理，并重點闡述這些定理為什么意義深遠，以及數(shù)學家們是如何徹底地解決了這些迫切的邏輯問題的。本書的每一章都包含三個基本組成部分。第一部分是歷史背景。本書中的“偉大定理”跨越了2300多年的人類歷史。在討論某個定理之前，我都將先介紹歷史背景，介紹當時的數(shù)學狀況乃至整個世界的總體狀況。像其他任何事物一樣，數(shù)學也是在一定的歷史環(huán)境中產(chǎn)生的。因此，指明卡爾達諾三次方程的解法出現(xiàn)在哥白尼日心說公布后兩年和英格蘭國王亨利八世死前兩年是有意義的，強調(diào)青年學者艾薩克?牛頓1661年進入劍橋大學學習時，王政復辟對劍橋大學的影響也是有意義的。第二部分是人物傳記。數(shù)學是有血有肉的實實在在的人的造物，而數(shù)學家的生平則可能給人以靈感、示人以悲劇或令人驚呼怪誕。本書所涉及的定理體現(xiàn)了許多數(shù)學家的勤奮努力，從交游廣闊的萊昂哈德?歐拉到生性好斗的約翰?伯努利，以及最世俗的文藝復興時期的人物杰羅拉莫?卡爾達諾，不一而足。了解這些數(shù)學家的不同經(jīng)歷，有助于我們更好地理解他們的工作成果。第三部分，即本書的重點，是在這些“數(shù)學杰作”中所表現(xiàn)出的創(chuàng)造性。不讀名著，無從理解；不觀名畫，無從體味。同樣，如果不去認真地、一步一步地鉆研這些證明方法，也不可能真正掌握這些偉大的數(shù)學定理。而要理解這些定理，就必須全神貫注，加倍努力。本書各章僅僅為理解這些定理梳理線索。這些數(shù)學的里程碑還具有一種永世不滅的恒久性。在其他學科，今天流行的時尚，往往明天就被人遺忘。一百多年前，沃爾特?司各特爵士還是當時英國文學界中最受尊重的作家之一，而今天，人們對他已淡忘。20世紀，超級明星們匆匆來去，轉(zhuǎn)瞬即成歷史，而那些旨在改變世界的觀念，最終卻常常變成思想垃圾。的確，數(shù)學的口味時常也會改變。但是，嚴格遵循邏輯的限定條件而得到完美證明的數(shù)學定理則是永恒的。公元前300年歐幾里得對畢達哥拉斯定理的證明，絲毫未因時光的流逝而喪失它的美與活力。相比之下，古希臘時期的天文學理論或醫(yī)術卻早已變成陳舊而有點可笑的原始科學了。19世紀的數(shù)學家赫爾曼?漢克爾說得好：就大多數(shù)學科而言，一代人摧毀的正是另一代人所建造的，而他們所建立的也必將為另一代人所破壞。只有數(shù)學不同，每一代人都是在舊的建筑物上加進新的一層。從這一點來看，當我們探討偉大數(shù)學家歷久彌新的成果時，就能夠逐漸體會奧利弗?亥維賽精辟的論說：“邏輯能夠很有耐性，因為它是永恒的。”在選擇最能體現(xiàn)數(shù)學精髓的這些定理時，我考慮了許多方面的因素。如前所述，我首要考慮的是找到具有深刻見解或獨創(chuàng)性的論題。當然，這里有一個個人好惡的問題，我承認，不同的作者肯定會選取不同的定理。除此之外，能夠直接看到數(shù)學家通過巧妙的演繹，將看似深奧的問題變得清晰易懂，確實是一種不同尋常的經(jīng)歷。據(jù)說，聰明人能夠戰(zhàn)勝困難，而天才則能夠戰(zhàn)勝不可能。顯而易見，本書將呈現(xiàn)許多天才。這里有真正的經(jīng)典——數(shù)學界的《蒙娜麗莎》或《哈姆雷特》。當然，選擇這些定理也有其他方面的考慮。首先，我希望本書能夠包含歷史上主要數(shù)學家的定理。例如，歐幾里得、阿基米德、牛頓和歐拉必不可少。忽略這些數(shù)學人物，猶如研究美術史而不提倫勃朗或塞尚的作品一樣。其次，為求豐富多彩，我兼顧了數(shù)學的各個分支。書中的命題來自平面幾何、代數(shù)、數(shù)論、分析學和集合論等各個領域。各種分支，以及它們之間的偶然聯(lián)系和相互影響，為本書增添了一些新鮮的氣息。我還希望能在本書中展示重要的數(shù)學定理，而不僅僅是一些小巧的智力題。實際上，本書的大部分定理或者解決了長期存在的數(shù)學問題，或者提出了意義深遠的問題留待未來解決，或者二者兼而有之。每一章的結尾處都有后記，一般都會論證一個由該偉大定理提出的問題，同時會介紹其在數(shù)學史上的影響?，F(xiàn)在再跟大家說一說難度深淺的問題。顯然，數(shù)學有許多偉大的里程碑，其深度和難度只有專家可以理解，而所有其他人都會感到莫測高深。在一本針對一般讀者的書中引入這些定理是十分愚蠢的。只要具備高中代數(shù)和幾何知識即可理解本書所論述的定理。但有兩處例外，一是第9章在討論歐拉的工作成果時應用了三角學中的正弦曲線，二是第7章在討論牛頓的工作成果時應用了初等微積分。許多讀者可能已經(jīng)掌握了這些知識，而對于那些尚未掌握這些知識的讀者，本書做了一些解釋，以幫助他們克服閱讀中的困難。必須強調(diào)，本書不是一本學術著作。一些重大的數(shù)學問題或微妙的歷史問題當然不可能在這種書中一一述及。雖然我盡力避免編入一些錯誤的或歷史上不準確的材料，但這里也不是對所有問題的所有方面刨根問底的時間和場合。畢竟，本書是一本大眾讀物，不是科學著作或新聞報道。就此，我必須對定理證明的真實性說幾句。在準備寫這本書的時候，我發(fā)現(xiàn)，為了讓現(xiàn)代讀者能夠理解這些數(shù)學資料，我不得不對定理創(chuàng)始人最初使用的符號、術語和邏輯戰(zhàn)略做一些變通。完全照搬原作會使一些定理非常難于理解，但嚴重偏離原作又與我的歷史目標相沖突。總之，我盡力保留了定理原作的全部要旨和大量細節(jié)。我所作的修改并不嚴重，在我看來，不過就像是用現(xiàn)代樂器演奏莫扎特的樂曲一樣。因此，我們即將開始兩千年的數(shù)學里程之旅。這些定理雖然古老，但在歷經(jīng)許多個世紀之后，卻依舊保持著一種新鮮感，依舊能展現(xiàn)古人的精湛技藝。我希望讀者能夠理解這些證明，并能夠領會這些定理的偉大之處。對于達到這一境界的讀者，我希望他們不僅會對他人的偉大之處肅然起敬，還會因為能夠理解大師著作而增加成就感。致謝我在編寫本書時，曾得到過許多機構和個人的幫助，謹在此表示感謝。首先，我要感謝私人企業(yè)和公共部門提供的寶貴贈款：利利捐贈基金有限公司提供的1983年夏季津貼，以及美國國家人文基金會為1988年題為“歷史上的數(shù)學經(jīng)典定理”夏季研討會提供的資金。利利捐贈基金有限公司和美國國家人文基金會的支持，使我得以歸納以往對數(shù)學史的散亂興趣，從而形成在漢諾威學院和俄亥俄州立大學教授的系統(tǒng)課程。我衷心感謝俄亥俄州立大學，特別是數(shù)學系，在我作為客座教員編寫本書時所給予我的熱情支持。數(shù)學系主任約瑟夫?費拉爾以及瓊?萊澤爾和吉姆?萊澤爾，在我任客座教員的兩年期間，一直給予我有力的幫助和支持，對此，我永志不忘。許多個人也為本書提供了幫助。感謝圖書館管理員魯思?埃文斯在我1980年休假期間為我提供了1900年以前的數(shù)學資料匯編；感謝美國國家人文基金會的史蒂文?泰格納和邁克爾?霍爾對本書之前夏季研討會提出的良好建議；感謝卡羅爾?鄧納姆的熱情和鼓勵；感謝俄亥俄州立大學的艾米?愛德華茲和吉爾?鮑默–皮納為我介紹麥金托什文字處理系統(tǒng)的細節(jié)；感謝威利公司編輯凱瑟琳?肖沃爾特、勞拉?盧因和史蒂夫?羅斯對一個初出茅廬的作者的寬容；感謝全美最有權威的發(fā)言人之一，鮑靈格林州立大學的V.弗雷德里克?里基提出的觀點，即數(shù)學也像其他學科一樣具有不容忽視的歷史；感謝巴里?A.西普拉和韋斯特蒙特學院的拉塞爾?豪厄爾對本書手稿所作的大有裨益的仔細審查；感謝漢諾威學院的喬納森?史密斯在出版前的最后階段提出的編輯意見。我應特別感謝彭尼?鄧納姆，她為本書繪制了插圖，并就書的內(nèi)容提出了許多寶貴建議。彭尼是一位非凡的數(shù)學教師，在共同主辦美國國家人文基金會贊助的研討會期間，她是一位不可替代的同仁，同時，她也是我的支持者、顧問、夫人和可以想象到的最好朋友。最后，我要特別感謝布倫丹和香農(nóng)兩位大師。威廉?鄧納姆俄亥俄州哥倫布市

內(nèi)容概要

本書將兩千多年的數(shù)學發(fā)展歷程融為十二章內(nèi)容，每章都包含了三個基本組成部分，即歷史背景、人物傳記以及在這些“數(shù)學杰作”中所表現(xiàn)出的創(chuàng)造性。作者精心挑選了一些杰出的數(shù)學家及其所創(chuàng)造的偉大定理，如歐幾里得、阿基米德、牛頓和歐拉。而這一個個偉大的定理，不僅串起了歷史的年輪，更是串起了數(shù)學這門學科所涵蓋的各個深邃而不乏實用性的領域。當然，這不是一本典型的數(shù)學教材，而是一本大眾讀物，它會讓熱愛數(shù)學的人體會到絕處逢生的喜悅，讓討厭數(shù)學的人從此愛上數(shù)學。

作者簡介

William
Dunham，俄亥俄州立大學碩士和博士畢業(yè)，現(xiàn)為美國穆倫堡學院教授，世界知名的數(shù)學史專家。他分別于1992年、1997年、2006年獲得美國數(shù)學協(xié)會頒發(fā)的George
Polya獎、Trevor Evans 獎和Lester R. Ford獎。Dunham教授著述頗豐，除本書外，還著有《The
Mathematical Universe: An Alphabetical Journey Through the Great
Proofs, Problems, and
Personalities》（數(shù)學那些事兒：思想、發(fā)現(xiàn)、人物和歷史）等廣受好評的科普著作。

書籍目錄

譯者序
前言
第1章　希波克拉底的月牙面積定理（約公元前440年）
論證數(shù)學的誕生
有關求面積問題的一些評論
偉大的定理：月牙面積
后記
第2章　歐幾里得對畢達哥拉斯定理的證明（約公元前300年）
歐幾里得的《幾何原本》
第一卷：準備工作
第一卷：早期命題
第一卷：平行線及有關命題
偉大的定理：畢達哥拉斯定理
后記
第3章　歐幾里得與素數(shù)的無窮性（約公元前300年）
《幾何原本》第二至六卷
《幾何原本》中的數(shù)論
偉大的定理：素數(shù)的無窮性
《幾何原本》的最后幾卷
后記
第4章　阿基米德的求圓面積定理（約公元前225年）
阿基米德的生平
偉大的定理：求圓面積
阿基米德名作：《論球和圓柱》
后記
第5章　海倫的三角形面積公式（約公元75年）
阿基米德之后的古典數(shù)學
偉大的定理：海倫的三角形面積公式
后記
第6章　卡爾達諾與三次方程解（1545年）
霍拉肖代數(shù)的故事
偉大的定理：三次方程的解
有關解方程的其他問題
后記
第7章　艾薩克?牛頓的珍寶（17世紀60年代后期）
英雄世紀的數(shù)學
解放了的頭腦
牛頓二項式定理
偉大的定理：牛頓的π近似值
后記
第8章　伯努利兄弟與調(diào)和級數(shù)（1689年）
萊布尼茨的貢獻
伯努利兄弟
偉大的定理：調(diào)和級數(shù)的發(fā)散性
最速降線的挑戰(zhàn)
后記
第9章　萊昂哈德?歐拉非凡的求和公式（1734年）
通曉數(shù)學的大師
偉大的定理：計算1+14+19+116+125+…+1k2+…的值
后記
第10章　歐拉數(shù)論集錦（1736年）
費馬的遺產(chǎn)
偉大的定理：歐拉對費馬猜想的反駁
后記
第11章　連續(xù)統(tǒng)的不可數(shù)性（1874年）
19世紀的數(shù)學
康托爾與無窮的挑戰(zhàn)
偉大的定理：連續(xù)統(tǒng)的不可數(shù)性
后記
第12章　康托爾與超限王國（1891年）
無限基數(shù)的性質(zhì)
偉大的定理：康托爾定理
后記
結束語
參考文獻

章節(jié)摘錄

版權頁：   插圖：   據(jù)亞歷山大所說，希波克拉底的推理如下：作為一個多邊形，正六邊形，可以用等積正方形表示，根據(jù)前面的論證，每一個月牙形也同樣可以用等積正方形表示。于是，根據(jù)疊加過程，我們可以作出1個面積等于6個月牙形面積之和的正方形。因此，以AB為直徑的圓的面積可以按照我們前面所說的方法，用簡單的減法即可得到。 但是，正如亞歷山大隨即指出的那樣，這一論證有一個明顯的瑕疵：希波克拉底在之前論證的定理中求其面積的月牙形不是沿著內(nèi)接正六邊形的邊長作的，而是沿著內(nèi)接正方形的邊長作的。也就是說，希波克拉底從來沒有提出過求本例這種月牙形面積的方法。 大多數(shù)現(xiàn)代學者都覺得像希波克拉底這種水平的數(shù)學家不太可能會犯這種錯誤。相反，很可能是亞歷山大，或辛普利西烏斯，或任何其他轉(zhuǎn)述者在介紹希波克拉底最初的論證時，在某種程度上曲解了他的原意。我們也許永遠不會知道全部真相。然而，這種推理方法似乎也支持了一種看法，即化圓為方應該是可能的。如果說上述論證沒有完成這項任務，那么，只要再多付出一點兒努力，再多一點兒洞察力，也許就可以成功了。 然而，情況并非如此。一代又一代人經(jīng)過數(shù)百年的努力，始終未能化圓為方。歷經(jīng)種種曲折，人們提出了無數(shù)的解法。但最后卻發(fā)現(xiàn)，每一種解法都有錯誤。逐漸地，數(shù)學家們開始懷疑，也許根本不可能用圓規(guī)和直尺作出圓的等面積正方形。當然，即便經(jīng)過2000年的努力都沒有找到一種正確的證明方法，這也不能表明化圓為方是不可能的。也許，歷代數(shù)學家只是不夠聰明，因而還沒有找到一條穿越幾何叢林的道路。此外，如果化圓為方不可能的話，那么就必須借助其他定理的邏輯嚴密性來證明這一事實，而人們決不清楚如何作出這樣一個證明。 還有一點必須強調(diào)，那就是，過去并沒有人會懷疑“已知一個圓，就必然存在著一個與之面積相等的正方形”。例如，已知一個固定的圓和圓旁一個正方形投影小光點，并且，正方形投影的面積遠遠小于圓的面積。如果我們連續(xù)移動投影儀，使之距離投影屏面越來越遠，從而逐漸擴大正方形投影的面積，我們最終會得到一個面積超過圓面積的正方形。根據(jù)“逐漸擴大”的直觀概念，我們可以確定無疑，在過程中的某一瞬間，正方形面積恰好等于圓的面積。 但是，這畢竟有點兒離題。請記住，關鍵的問題不是是否存在這樣一個正方形，而是是否可以用圓規(guī)和直尺作出這個正方形。這就出現(xiàn)了困難，因為幾何學家只限于使用這兩種特定工具，而移動投影光點顯然違反這一規(guī)則。

后記

隨著康托爾的超限基數(shù)轟鳴著走向無限的無窮大，我們結束了欣賞偉大數(shù)學杰作的旅程。這是一個漫長的旅程——從希俄斯的希波克拉底一直到20世紀，我希望這個旅程能夠以強大的演員陣容和出色的表演給讀者留下深刻的印象。這是一段非常值得講述的故事。    我們在第4章討論拉馬努金時曾提到過GH哈代，他對數(shù)學證明中的美學有一種敏銳的嗅覺。哈代認為，真正偉大的定理應該具有三個特點，即精練、必然和意外。我認為，我們在本書所討論的這些定理恰恰就能代表這些性質(zhì)。歐幾里得對素數(shù)無窮性的證明堪稱簡明、優(yōu)雅和“精簡”。約翰·伯努利的一系列無窮級數(shù)必然推導出調(diào)和級數(shù)的發(fā)散性，所以，猶如人們在講到阿基米德的數(shù)學時所說的那樣：“只要看上一眼，你就立刻相信，本來你也能夠發(fā)現(xiàn)它?！蔽覀冇懻摰脑S多命題，從月牙形的化方求積，到三次方程的可解，以及喬治·康托爾所發(fā)現(xiàn)的一切，都是令人感到非常意外的?？傊?，我希望哈代會認可我所選擇的這些“偉大定理”。    最后，我將以兩段引文作為本書的結語，這兩段引文盡管相距1500年，但卻傳達了幾乎完全一樣的思想。第一段引文出自5世紀的希臘評注家普羅克洛斯之手：    因此，這就是數(shù)學：她賦予自己的發(fā)現(xiàn)以生命；她令思維活躍，精神升華；她燭照我們的內(nèi)心；消除了我們與生俱有的蒙昧與無知。    在本書的前言開篇中曾引述過20世紀伯特蘭·羅素的一段話，最后，我再引述他的另一段話。羅素認識到數(shù)學中的美，他像其他任何人一樣，盡力刻畫這種美。我最后引述他的一段評論，希望它能夠代表讀者對書中這些數(shù)學杰作的反應：    恰當?shù)卣f，數(shù)學不僅擁有真理，還擁有極度的美——一種冷靜和樸素的美，猶如雕塑的美那樣，沒有吸引我們脆弱本性中的任何部分的內(nèi)容，沒有繪畫或音樂那樣華麗的外衣，但是，卻顯示了高尚的純粹，以及只有在最偉大的藝術中才能表現(xiàn)出來的嚴格的完美。

媒體關注與評論

“……一本非常特殊的數(shù)學書，是繼E. T. 貝爾1937年所著的《數(shù)學人物》之后的又一優(yōu)秀大眾讀物?！薄堵迳即墪r報》

編輯推薦

《天才引導的歷程:數(shù)學中的偉大定理》是20多年來一直暢銷不衰的名家經(jīng)典，如散文一樣優(yōu)美、像小說一樣生動的數(shù)學書！

名人推薦

“Dunham的這本書如此特別，是我以前從未遇到過的……娓娓道來的一個個推理精巧與頗具洞察力的個案，引人入勝?！薄狪saac Asimov“這門幾乎每個人都覺得沉悶、無聊、呆板的學科，在Dunham的筆下充滿生機與活力……我是擁有計算機學位的外行，但是我喜歡這本書……Dunham巧妙地將數(shù)學中的偉大定理編織成數(shù)學史，使得本書容易理解，而且我敢說，事實上很有趣味性！本書是一顆珍寶，每一個愛好數(shù)學的人都不能與它失之交臂?！薄狝mazon讀者評論“推薦給所有熱愛探索、思想活躍的人們，不管他們感興趣的是藝術還是科學，閱讀本書都是一次重要的文化體驗?！薄狪an Stewart，《自然》雜志

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