高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)250問

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目 錄
高中代數(shù)部分
一 函數(shù)
1.什么是集合？
2.集合有幾種常用的表示方法？
3.為什么要定義空集？
4.什么是子集和真子集？
5.什么是集合的交、并、補？
6.映射、一一映射 逆映射的聯(lián)系與區(qū)別是
什么？
7.函數(shù)是如何定義的？
8.什么是反函數(shù)？
9.什么是復(fù)合函數(shù)？
10.如何確定函數(shù)的定義域？
11.如何利用某些巴知函數(shù)的值域求未知函數(shù)
的值域？
12.如何利用函數(shù)的單調(diào)性來求函數(shù)的值
域？
13.如何利用反函數(shù)法求函數(shù)的值域？
14.如何利用判別式法求函數(shù)的值域？
15.如何利用換元法求函數(shù)的值域？
16.如何利用平均不等式求函數(shù)的值域？
17.什么是函數(shù)的單調(diào)性？
18.如何判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性？
19.什么是函數(shù)的奇偶性？
20.如何應(yīng)用函數(shù)圖象的初等變換畫某些函數(shù)
的圖象？
21.如何識記冪函數(shù)圖象？
22.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)有什么聯(lián)系？
23.如何利用冪、指、對函數(shù)的性質(zhì)比較兩個
數(shù)的大?。?br />24.如何解簡單的指數(shù)方程和對數(shù)方程？
25.什么是函數(shù)方程？
二 數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法和極限
26.怎樣根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的通項公
式？
27.等差數(shù)列有哪些基本的性質(zhì)？
28.學(xué)習(xí)等差數(shù)列前n項和公式時應(yīng)注意哪些
問題？
29.怎樣用函數(shù)的思想方法解決等差數(shù)列問
題？
30.數(shù)列1，2，2，8，3，3，…的第100項是
什么？
31.等比數(shù)列有哪些基本性質(zhì)？
32.學(xué)習(xí)等比數(shù)列前n項和公式時應(yīng)注意哪些
問題？
33.利用方程（組）解數(shù)列問題時，應(yīng)注意些
什么問題？
34.你能判斷（或證明）某個數(shù)列是否等差或
等比嗎？
35.求數(shù)列前n項和的常用方法有哪些？
36.怎樣理解數(shù)列極限的定義？
37.怎樣用定義證明數(shù)列｛an｝的極限是A？
38.你會證明數(shù)列｛an｝的極限不是A或不存
在嗎？
39.你能判斷下列命題的正誤嗎？
40.求數(shù)列的極限，有哪些常用的方法？
41.你怎樣確定求極限式中的常數(shù)？
42.無窮等比數(shù)列各項的和有哪些應(yīng)用？
43.什么是數(shù)學(xué)歸納法？
44.數(shù)學(xué)歸納法適用于哪些類型的問題？
45.應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時應(yīng)注意哪些問題？
46.什么是遞推數(shù)列？
47.求遞推數(shù)列通項公式有哪些常用的方
法？
三不等式
48.實數(shù)的大小與實數(shù)的運算有什么關(guān)系？
49.什么是不等式的反身性？
50.什么是同解變形與恒等變形？
51.怎樣解二次不等式？
52.“穿線法”解可分解因式型的高次不等式的
實質(zhì)是什么？
53.無理不等式是如何進行同解變形的？
54.什么是指數(shù)與對數(shù)不等式的同解變形？
55.什么是不等式轉(zhuǎn)化的另一方式――換元
法？
56.怎樣利用數(shù)形結(jié)合解不等式？
57.怎樣進行絕對值不等式的同解變形？
58.兩個正數(shù)與三個正數(shù)的平均不等式有什么
用途？
59.平均不等式的一般形式是什么？
60.什么是平方平均不等式與調(diào)和平均不等
式？
61.什么是柯西不等式？
62.什么是比較法證明不等式？
63.什么是分析法證明不等式？
64.怎樣用放縮法證明不等式？
65.絕對值不等式的證明是怎樣進行的？
66.如何利用不等式求最值？
67.不等式求最值的實質(zhì)是什么？
復(fù)數(shù)
68.怎樣運用i的性質(zhì)解題？
69.1的三次虛根有哪些性質(zhì)？
70.你會用復(fù)數(shù)相等的條件解題嗎？
71.復(fù)數(shù)的模有哪些主要性質(zhì)？
72.如何運用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)解題？
73.怎樣理解復(fù)數(shù)的輻角？
74.怎樣理解復(fù)數(shù)的三角式？
75.實數(shù)集擴充到復(fù)數(shù)集以后，要注意哪些問
題？
76.為什么復(fù)數(shù)范圍內(nèi)開方運算永遠(yuǎn)可以施
行？
77.怎樣用代數(shù)方法求復(fù)數(shù) 的
平方根？
78.你會解復(fù)數(shù)系數(shù)的一元二次方程嗎？
79.方程只有零解嗎？
80.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)怎樣分解因式？
81.利用復(fù)數(shù)能解決三角函數(shù)的問題嗎？
82.利用復(fù)數(shù)能解決反三角函數(shù)的問題嗎？
83.怎樣利用復(fù)數(shù)解決不等式的問題？
84.怎樣直接運用復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)運算的幾何意義
解決問題？
85.怎樣用復(fù)數(shù)證明平面幾何問題？
86.用復(fù)數(shù)可以求平面上動點的軌跡嗎？
87.怎樣利用復(fù)數(shù)的旋轉(zhuǎn)解題？
五 排列組合和二項式定理
88.什么是加法原理和乘法原理？
89.怎樣區(qū)別排列與組合？
90.怎樣計算排列數(shù)和組合數(shù)？
91.組合數(shù)Cmn有哪些基本性質(zhì)，又如何理
解？
92.“插空法”是怎么回事，何時應(yīng)用？
93.錯在哪里？
94.哪一類的問題可以用“捆綁法”？
95.什么叫“擋板法”？
96.怎樣理解和處理平均分堆問題？
97.是“楊輝三角”，還是“帕斯卡三角”？
98.什么是二項式定理？
99.二項式系數(shù)是怎樣歸納出來的？
100.你知道的展開式中
項的系數(shù)嗎？
101.一項式系數(shù)有哪些性質(zhì)？
102.什么叫二項式展開式的通項公式，它有什
么用處？
103.展開式中系數(shù)最大的項是中間
一項（即第6項）嗎？
104.你怎樣求的展開式中x的奇數(shù)
次冪各項的系數(shù)之和？
平面三角部分
一 、三角函數(shù)
105.弧度制是怎樣定義的？
106.學(xué)習(xí)“象限角”應(yīng)注意什么問題？
107.三角函數(shù)是怎樣定義的？
108.為什么要引進單位圓？
109.如何用圖形直觀地描述同角三角函數(shù)的
基本關(guān)系式？
110.怎樣利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式進行
化簡和計算？
111.怎樣利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進
行恒等式的證明？
112.什么是誘導(dǎo)公式？
113.在區(qū)間上畫y＝8inx和y
＝tgx曲線時，應(yīng)注意什么問題？
114.怎樣理解周期函數(shù)的概念？
115.為什么2π是sinx的最小正周期？
116.是周期函數(shù)嗎？
117.怎樣求三角函數(shù)的最小正周期？
118.曲線y＝Asin（wx十φ）（w≠0），是曲線
y＝sinx經(jīng)過怎樣的變換得到的？
119.周期函數(shù)與函數(shù)圖象的對稱性有什么聯(lián)
系？
二、三角函數(shù)恒等變形
120.如何才能掌握眾多的三角函數(shù)公式？
121.三角函數(shù)公式是恒等式嗎？
122.三角函數(shù)恒等變形的基本思路是什么？
123.三角函數(shù)恒等式證明的基本方法是什么？
124.在三角形中，三角函數(shù)恒等變形有什么特
點？
125.已知角α的一個三角函數(shù)值，如何簡便地
求出角α的其它三角函數(shù)值？
126.怎樣通過三角函數(shù)恒等變形解“不查表求
值”問題？
127.三角函數(shù)中“由值求角”問題為什么必
須判斷角的范圍？
128.如何判斷三角函數(shù)值的符號？
129.在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充
要條件嗎？
130.對有條件的三角函數(shù)等式如何理解？
131.你會借助三角函數(shù)公式消元嗎？
132.你會把三角函數(shù)式化為形如
為六種三角函數(shù)之
一）的式子嗎？
三、反三角函數(shù)和三角方程
133.函數(shù)y＝8inx（xэR）有反函數(shù)嗎？
134.反正弦函數(shù)是怎樣定義的？
135.反正弦函數(shù)y＝arcsinx有什么性質(zhì)？
136.反余弦函數(shù)是怎樣定義的？它與反正弦函
數(shù)y＝arcsinx有什么關(guān)系？
137.反余弦函數(shù)y＝arccosx有什么性質(zhì)？
138.arcsin （sinx）等于x嗎？
139.如何進行反正弦函數(shù)（或反余弦函數(shù)）的
三角運算？
140.如何證明反三角函數(shù)間的關(guān)系式？
141.學(xué)習(xí)反正切函數(shù)和反余切函數(shù)時應(yīng)該注
意些什么問題？
142.如何用反正切函數(shù)表示直線y＝kx＋b的
傾斜角？
143.方程sinx＝a的解集是什么？
144.簡單的三角方程的主要類型及其常用的
解法是什么？
145.三角方程的解的表達(dá)式的形式唯一嗎？表
達(dá)式不同時，如何判定它們是否等價？
立體幾何部分
一、直線與平面
146.怎樣證明n（n≥2）條直線共面？
147.具備哪些條件可以確定一個平面？
148.為什么空間四邊形的四個角不可能都是
直角？
149.怎樣證明諸點共線？
150.怎樣證明三線共點？
151.已知正方體ABCD―A1B1C1D1，怎樣作
出對角線D1B與截面ACB1的交點？
152.與不共面的四個點距離相等的平面為什
么有七個？
153.三個平面（任何兩個平面不重合）有哪些
位置關(guān)系？
154.兩條直線的位置關(guān)系用哪些量來描述？
155.垂直于同一直線的兩條直線一定平行
嗎？
156.在立體幾何中對幾何作圖有哪些約定？
157.怎樣過已知點P作已知平面α的垂線？
158.如何求兩條異面直線所成的角？
159.如何求兩條異面直線的距離？
160.已知直線α、b， 過空間一點A與直線α和
直線b都成60°角的直線有幾條？
161.是否存在直線l，使得l上的任意一點到
已知異面直線α、b的距離都相等？
162.如何作出二面角的平面角？
163.為什么過一點而與已知直線垂直的直線
都在同一平面內(nèi)？
164.已知二面角α―l―β和二面角α′―l′
一β′，且α′⊥α，β′⊥β 那么這兩個二面
角一定相等或互補嗎？
165.若平面α的斜線l與它在平面內(nèi)的射影l(fā)′
成的角為θ1，α內(nèi)的直線α與l′成的角為θ2，
l和a成的角為θ，那么θ1，θ2和θ有什么關(guān)
系？
166.作平面圖形的翻折問題時，需要注意什
么？
167.若△ABC在平面α內(nèi)的射影是△A′B′C′，
當(dāng)△ABC所在的平面與平面α成的角是θ
時，為什么S△A′B′C＝S△ABC?cosθ？
168.證明直線與直線平行，有哪些方法？
169.證明兩直線垂直有哪些方法？
170.證明直線與平面平行，有哪些方法？
171.證明直線和平面垂直，有哪些方法？
172.證明兩個平面平行，有哪些方法？
173.證明兩個平面垂直，有哪些方法？
二、多面體與旋轉(zhuǎn)體
174.學(xué)習(xí)棱柱的定義需要注意什么？
175.具備下列條件之一的棱錐，是正棱錐嗎？
176.什么是棱柱、棱錐、棱臺的對角面？
177.若P，Q，R分別在直四棱柱ABCD―A1B1
C1D1的三個兩兩異面的棱上，如何過P，
Q，R作這四棱柱的截面？
178.棱柱的側(cè)面展開圖是平行四邊形嗎？
179.哪個圖形是長方體？
180.怎樣求從多面體或旋轉(zhuǎn)體側(cè)面上一點到
另一點的最短路線？
181.當(dāng)圓錐的高等于它的底面圓的半徑R時，
它的內(nèi)接正方體的棱長是多少？
182.球心和不過球心的截面圓的圓心的連線，
為什么垂直于這個截面？
183.如果自三棱錐的頂點引的三個側(cè)面三角
形的高都相等，那么頂點在底面的射影是
底面三角形的內(nèi)心嗎？
184.軸截面是過圓錐頂點的截面中面積最大
的嗎？
185.柱體、錐體、臺體、球體和球缺的體積公
式可以用一個公式概括嗎？
186.體積公式的用處就是求體積嗎？
187.怎樣證明V三棱柱 （s是三棱柱一
個側(cè)面的面積，α是這個側(cè)面與它所對棱
的距離）？
188.平行四邊形繞著它的任一邊旋轉(zhuǎn)所得旋
轉(zhuǎn)體的體積是都相等嗎？
解析幾何部分
解析幾何的基本問題
189.解析幾何的研究對象和方法是什么？
190.常見的坐標(biāo)系有哪些？
191.平面內(nèi)“點P分線段AB所成的比”的含
義是什么？
192.線段AB的定比分點坐標(biāo)是怎樣求得
的？
193.平面內(nèi)兩點間的距離是怎樣求出的？
194.什么是充要條件？
195.“方程的曲線是C”的含義是什
么？
196.解析幾何的兩個基本問題是什么？
197.怎樣畫方程f（x，y）＝0的曲線？
198.求軌跡方程的基本方法是什么？
199.不畫圖怎樣求出兩條曲線的交點？
200.什么叫做曲線系，曲線系怎樣用方程表
示，其特點是什么？
201.坐標(biāo)軸的平移對曲線和方程有什么影
響？
202.什么是坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)，怎樣用坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)
簡化曲線方程？
203.如何判斷二元二次方程
所表示曲線的類型？
二、直線和圓
204.如何證明與有向線段數(shù)量相關(guān)的命題？
205.你會用兩點間距離公式求某些最小值
嗎？
206.哪些條件可以確定點分有向線段所成的
比？
207.為什么斜率為無理數(shù)的直線最多通過一
個有理數(shù)點？
208.如何確定直線的傾斜角、斜率及其取值范
圍？
209.怎樣建立光線的入射線與反射線所在直
線的方程？
210.證明三點共線有哪些常見方法？
211.什么叫直線系方程，怎樣證明直線過定點
及確定三線共點的條件？
212.怎樣用待定系數(shù)法求直線的方程？
213.點到直線的距離與平行線間距離是如何
聯(lián)系和應(yīng)用的？
214.你會利用關(guān)于直線的對稱性解題嗎？
215.你熟悉用解析法求解問題嗎？
216.怎樣確定過象限內(nèi)一定點的直線在該象
限內(nèi)與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形中的一
些量的最小值？
217.以定直線上的點為角的頂點 關(guān)于直線同
側(cè)兩定點的最大張角如何確定？
218.二元一次不等式是如何表示平面內(nèi)的區(qū)
域的？
219.如何用“直接法”和“待定系數(shù)法”建立圓
的方程？
220.怎樣確定點 線、圓的位置關(guān)系及有關(guān)最
值問題？
221.圓中滿足某些條件的弦所在的直線或圓
的方程如何確定？
222.怎樣建立和應(yīng)用圓的切線方程？
223.圓上的動點坐標(biāo)（x，y）何時使Ax＋By和
y取得最值？
x
224.你會應(yīng)用過兩圓交點的圓系方程解決問
題嗎？
三、橢圓 雙曲線 拋物線
225.橢圓、雙曲線、拋物線中，pe、a、b、c的
幾何意義是什么？
226.如何求橢圓、雙曲線、拋物線的焦半徑？
227.如何利用橢圓 雙曲線、拋物線的定義解
題？
228.橢圓、雙曲線、拋物線的方程與直角坐標(biāo)
系的建立有什么關(guān)系？
229.如何求橢圓、雙曲線、拋物線的方程？
230.已知雙曲線的漸近線，如何求雙曲線的
方程？
231.你會通過方程討論圓錐曲線系的特征
嗎？
232.直線與橢圓、雙曲線、拋物線的交點可能
有幾個？
233.如何求橢圓、雙曲線、拋物線的弦長？
234.如果橢圓和拋物線
有公共點，如何確定實數(shù)α的取
值范圍？
235.為什么把圓、橢圓、雙曲線和拋物線叫做
二次曲線，又叫圓錐曲線？
四、參數(shù)方程與極坐標(biāo)
236.為什么要引入曲線參數(shù)方程的概念？
237.怎樣理解曲線參數(shù)方程的概念？
238.普通方程與參數(shù)方程互化時，應(yīng)注意什么
問題？
239.直線的參數(shù)方程有幾種形式，如何使用？
240.圓錐曲線的參數(shù)方程怎樣理解和應(yīng)用？
241.如何用參數(shù)法求動點的軌跡方程？
242.數(shù)學(xué)中為什么要引入極坐標(biāo)的概念，極坐
標(biāo)的基本思想是什么？
243.怎樣理解“點的極坐標(biāo)的多值性”？
244.已知曲線C的極坐標(biāo)方程是F（ρ，θ）＝0，
如果點P的一個極坐標(biāo)不滿足方程，能說
明點P一定不在曲線C上嗎？
245.如何求（建立）曲線的極坐標(biāo)方程？
246.如何建立和掌握直線的極坐標(biāo)方程？
247.如何建立和掌握圓的極坐標(biāo)方程？
248.怎樣掌握和理解圓錐曲線的極坐標(biāo)方程？
249.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式的前提和方
法是什么？
250.曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化
的前提與方法是什么？

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