數(shù)學(xué)思想方法通論

前言

　　當(dāng)前數(shù)學(xué)教育正在從注重知識(shí)、注重結(jié)論、注重模仿訓(xùn)練的傳統(tǒng)觀念向注重方法、注重過(guò)程、注重個(gè)體體驗(yàn)的方向轉(zhuǎn)變。自20世紀(jì)80年代初徐利治教授在多所大學(xué)數(shù)學(xué)系主講“數(shù)學(xué)方法論”課程以來(lái)，特別是1992年中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱明確提出將數(shù)學(xué)思想方法列為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)來(lái)要求后，數(shù)學(xué)思想方法已成為高等師范院校數(shù)學(xué)教育研究的一個(gè)重要組成部分。本書正是在這樣的背景下編寫完成的?！　∫幻麕煼对盒?shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生或者一名中學(xué)數(shù)學(xué)教師，與數(shù)學(xué)打交道的時(shí)間一般都不下十年。在與數(shù)學(xué)的親密接觸中，每個(gè)人的動(dòng)機(jī)不盡相同，對(duì)數(shù)學(xué)的感受相差則更大。也許有的人還未曾來(lái)得及仔細(xì)審視數(shù)學(xué)、品嘗數(shù)學(xué)的滋味，甚至都不清楚自己對(duì)數(shù)學(xué)到底有什么樣的感情。開設(shè)“數(shù)學(xué)思想方法”課程的目的就是試圖和他們一起對(duì)熟悉的數(shù)學(xué)作一番回味，加深對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的認(rèn)知與認(rèn)同，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)與精神，學(xué)會(huì)用“居高臨下”的觀點(diǎn)來(lái)理解數(shù)學(xué)知識(shí)、處理數(shù)學(xué)問(wèn)題。本書的寫作基礎(chǔ)之一，就是作者確信數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)能夠還數(shù)學(xué)以本來(lái)面目，使大家感到：數(shù)學(xué)絕非形式化的邏輯鏈條，只有“冰冷的美麗”，而是包含有大量“火熱的思考”，能產(chǎn)生心靈的震撼。數(shù)學(xué)的本原樸實(shí)無(wú)華、平易近人，數(shù)學(xué)的思想發(fā)展充滿了人情味。因此，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也就不應(yīng)該是枯燥的，而是令人賞心悅目的，它不僅能夠使人聰明，而且還能夠陶冶人的性情，使人變得更高尚?！　?duì)于數(shù)學(xué)思想方法的含義，歷來(lái)有多種不同的看法，甚至有人認(rèn)為它指的就是數(shù)學(xué)思維方法。我們使用數(shù)學(xué)思想方法，更多強(qiáng)調(diào)它作為超越具體知識(shí)的思維模式或思維原則的普適性及其對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究廣泛的指導(dǎo)意義，為此我們選擇了若干能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)特征、最具包攝性和概括性的一些論題組織成一定的理論體系，用以詮釋數(shù)學(xué)活動(dòng)的一般規(guī)律和方法。由于這些內(nèi)容并不局限應(yīng)用于某個(gè)特殊的數(shù)學(xué)分支，而是適用整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科，是對(duì)數(shù)學(xué)思想方法比較基本和寬泛的研究，故書名定為“數(shù)學(xué)思想方法通論”。　　本書首章概述了數(shù)學(xué)思想方法的本質(zhì)意義及其理論、實(shí)踐背景，特別是面向當(dāng)前數(shù)學(xué)教育現(xiàn)實(shí)探討了數(shù)學(xué)思想方法對(duì)教學(xué)的作用，并提出相關(guān)的教學(xué)設(shè)計(jì)指導(dǎo)建議。在此基礎(chǔ)上，依次對(duì)五種具體的數(shù)學(xué)思想方法設(shè)章系統(tǒng)敘述，涉及化歸、抽象、公理化、合情推理、算法等內(nèi)容。在闡述這些思想方法時(shí)，我們著重突出它們的基本思想內(nèi)涵與主要特點(diǎn)、形成背景與發(fā)展沿革以及其對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知理解和問(wèn)題解決的意義。

內(nèi)容概要

　　數(shù)學(xué)教育的根本目的在于提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)?！稊?shù)學(xué)思想方法通論》緊緊抓住數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，通過(guò)提煉和挖掘，對(duì)隱藏在數(shù)學(xué)知識(shí)之中最基本、最具廣泛性和包攝性的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行了多角度、深層次的介紹，力求能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的精神與態(tài)度、觀點(diǎn)與文化。所選取的主要內(nèi)容包括化歸、抽象、公理化、合情推理、算法等。全書在編寫思想上，一方面注重教學(xué)內(nèi)容的系統(tǒng)性，以適應(yīng)教師課堂講授，另一方面也盡可能提供詳盡、豐富的材料，以備學(xué)生自學(xué)或課堂討論?！　　稊?shù)學(xué)思想方法通論》主要用作高等師范院?！皵?shù)學(xué)方法論”或“數(shù)學(xué)思想方法”課程的教材，也可供一般數(shù)學(xué)工作者特別是廣大的中學(xué)數(shù)學(xué)教師參考。

書籍目錄

前言第1章 引語(yǔ)：認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想方法1.1 數(shù)學(xué)方法論概述1.2 數(shù)學(xué)思想方法1.2.1 數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法1.2.2 數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)教育第2章 化歸：數(shù)學(xué)家的求解模式2.1 化歸的基本思想2.1.1 化歸的思想實(shí)質(zhì)2.1.2 化歸的普遍意義2.1.3 化歸與聯(lián)想2.2 化歸策略（一）2.2.1 映射法2.2.2 構(gòu)造法2.2.3 一般化與特殊化2.2.4 等價(jià)化與強(qiáng)化2.3 化歸策略（二）2.3.1 重組法2.3.2 分治法2.3.3 逆變法2.3.4 遞進(jìn)（退）法第3章 抽象：數(shù)學(xué)物的創(chuàng)造法則3.1 數(shù)學(xué)的抽象性3.1.1 抽象性——數(shù)學(xué)的本質(zhì)特點(diǎn)3.1.2 數(shù)學(xué)抽象的特殊性3.1.3 數(shù)學(xué)抽象的客觀基礎(chǔ)3.2 數(shù)學(xué)抽象的方法3.2.1 對(duì)數(shù)學(xué)抽象方法的辯證認(rèn)識(shí)3.2.2 數(shù)學(xué)抽象的基本形式3.2.3 數(shù)學(xué)抽象的基本原則3.3 數(shù)學(xué)抽象定義賞析3.3.1 函數(shù)與運(yùn)算3.3.2 數(shù)的抽象構(gòu)造3.3.3 動(dòng)力系統(tǒng)3.3，4 圖靈機(jī)第4章 公理化：數(shù)學(xué)理論的“建筑師”4.1 數(shù)學(xué)公理化的思想4.1.1 數(shù)學(xué)公理化方法的歷史演進(jìn)過(guò)程4.1.2 數(shù)學(xué)公理化方法的作用和影響4.2 數(shù)學(xué)公理化方法的基本問(wèn)題4.2.1 實(shí)質(zhì)公理化方法與形式公理化方法4.2.2 數(shù)學(xué)公理化方法的邏輯特征4.3 幾個(gè)重要的公理體系4.3.1 歐幾里得幾何公理體系4.3.2 希爾伯特幾何公理體系4.3.3 實(shí)數(shù)公理體系4.3.4 ZF集合論公理系統(tǒng)4.4 形式系統(tǒng)簡(jiǎn)說(shuō)4.4.1 形式語(yǔ)言4.4.2 形式語(yǔ)言的語(yǔ)義4.4.3 形式語(yǔ)言的推理系統(tǒng)4.4.4 證明與定理4.4.5 推演第5章 合情推理：數(shù)學(xué)猜想的邏輯引擎5.1 合情推理的界定5.1.1 合情推理的內(nèi)涵5.1.2 合情推理與演繹推理的關(guān)系5.2 歸納推理與類比推理例說(shuō)5.2.1 歸納推理5.2.2 類比推理5.2.3 歸納推理與類比推理的關(guān)系5.3 合情推理模式5.3.1 合情推理基本模式5.3.2 合情推理模式的修正與擴(kuò)充5.3.3 兩個(gè)例子第6章 算法：數(shù)學(xué)發(fā)展的機(jī)械化之路6.1 算法的基本思想6.1.1 算法的概念6.1.2 數(shù)學(xué)發(fā)展史上的算法思想6.2 算法設(shè)計(jì)的一般方法6.2.1 窮舉法6.2.2 回溯法6.2.3 貪心法6.2.4 遞歸法6.2.5 遞推法6.3 算法理論的發(fā)展6.3.1 可計(jì)算性理論6.3.2 算法復(fù)雜性理論第7章 展望：從數(shù)學(xué)思想方法走向數(shù)學(xué)觀念7.1 數(shù)學(xué)觀念的內(nèi)涵7.2 作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)觀念參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

　　數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展始終反映著兩條線，即數(shù)學(xué)知識(shí)的積累與數(shù)學(xué)思想方法的創(chuàng)新。數(shù)學(xué)思想方法伴隨著數(shù)學(xué)知識(shí)體系的建立而確立，數(shù)學(xué)思想方法寓于數(shù)學(xué)知識(shí)之中，沒有游離于數(shù)學(xué)知識(shí)之外的數(shù)學(xué)思想方法，同樣也沒有不包含數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)知識(shí)。同時(shí)，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、發(fā)明的關(guān)鍵和動(dòng)力。數(shù)學(xué)的發(fā)展絕不僅僅是材料、事實(shí)、知識(shí)的積累和增加，而必須有新的思想方法的參與，才會(huì)有創(chuàng)新，才會(huì)有發(fā)現(xiàn)和發(fā)明?？梢哉f(shuō)，數(shù)學(xué)上的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明主要是思想方法上的創(chuàng)新，只有方法才是獲得數(shù)學(xué)創(chuàng)造的“鑰匙”?！　∨c數(shù)學(xué)思想方法相關(guān)聯(lián)的還有一個(gè)更低層次的概念——“招術(shù)”。所謂“招術(shù)”，是指解決特殊問(wèn)題的專用計(jì)策或手段。“招”（也寫作“著”）的價(jià)值要遠(yuǎn)低于“法”（這里的“法”指“通法”），正所謂“授之以魚，不如授之以漁”。“法”的可仿效性帶有較為“普適”的意義，而“招”的“普適”要差得多；實(shí)施“招”要以能實(shí)施統(tǒng)轄它的“法”為前提?！　±?，待定系數(shù)法是一種特別有用的“法”。求二次函數(shù)的解析式時(shí)，用待定系數(shù)法根據(jù)圖像上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求出解析式可視為第一“招”；根據(jù)頂點(diǎn)和另一點(diǎn)的坐標(biāo)求出解析式可視為第二“招”；根據(jù)與z軸交點(diǎn)和另一點(diǎn)的坐標(biāo)求出解析式可視為第三“招”。這三“招”各有奇妙之處。哪一“招”更好使用，要看條件和管轄它們的“法”而定。學(xué)習(xí)“用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式”，最根本、最要緊的“法旨”就在于明確二次函數(shù)的解析式中自變量、函數(shù)值和圖像上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；以及對(duì)于一般的點(diǎn)和特殊的點(diǎn)（如頂點(diǎn)及與z軸的交點(diǎn)），解析式可以有什么不同的反映。而這樣的“法旨”，恰恰體現(xiàn)了對(duì)應(yīng)思想和數(shù)形結(jié)合的思想。

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