從數(shù)學(xué)觀點看物理世界

內(nèi)容概要

《從數(shù)學(xué)觀點看物理世界——幾何分析、引力場與相對論》是一本關(guān)于微分幾何與廣義相對論的專著,其特點是強調(diào)用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和物理現(xiàn)象作為不可分割的統(tǒng)一體去發(fā)現(xiàn)和揭示數(shù)學(xué)與自然奧秘.在這部著作中,提出一種關(guān)于暗物質(zhì)與暗能量的統(tǒng)一理論,它是非表象的理論,可很好地解釋暗物質(zhì)與暗能量現(xiàn)象.本書不僅提出和總結(jié)了作者的許多新理論和新結(jié)果,而且采用直指本質(zhì)的方式陳述和介紹有關(guān)方面成熟的理論與概念.

作者簡介

馬天教授生于1956年11月，1992年在蘭州大學(xué)獲理學(xué)博士學(xué)位。1996年—1998年在美國印第安納大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)與計算數(shù)學(xué)研究所博士后工作。 1999年——2002年在四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院任職。2001年被聘為正教授。2002年——2005年在美國印安納大學(xué)數(shù)學(xué)系任協(xié)作研究員。2005年至 現(xiàn)在在四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院任職，被聘為博士導(dǎo)師。

書籍目錄

前言
第1章  張量分析及其物理意義
  1.1  概念與背景
    1.1.1  動機與背景介紹
    1.1.2   Descartes張量
    1.1.3  k重線性函數(shù)方式的張量等價定義
    1.1.4  物理中二階張量的例子
    1.1.5  張量不變量與定律的協(xié)變性
  1.2  基本性質(zhì)
    1.2.1  張量代數(shù)運算
    1.2.2  對稱與反對稱張量
    1.2.3  反對稱張量的外積運算
    1.2.4  張量的判別準(zhǔn)則
    1.2.5  各向同性張量
    1.2.6  二階張量特性
  1.3  張量場及其微分運算
    1.3.1  張量場
    1.3.2  張量場的不變函數(shù)與偏微分方程協(xié)變性
    1.3.3  微分形式與反對稱張量場
    1.3.4  梯度算子及物理作用
    1.3.5  散度及其物理意義
    1.3.6  向量場旋度與Stokes公式
    1.3.7  電磁場的Maxwell方程
  1.4  張量分析在流體動力學(xué)中應(yīng)用
    1.4.1  形變速度張量
    1.4.2  流體運動方程
    1.4.3  本構(gòu)方程
    1.4.4   Navier-Stokes方程
  1.5  變換群表示下的張量
    1.5.1  變換群觀念的張量
    1.5.2  群表示張量的不變量
    1.5.3  反演變換及贗張量
    1.5.4   SO(3)群的雙值表示及旋量
    1.5.5  旋量的物理解說
    1.5.6  旋量Bose-Eitein凝聚方程的協(xié)變性
  1.6  評注
第2章  彎曲空間的數(shù)學(xué)理論——Riemann幾何
  2.1  幾何與物理關(guān)系概論
    2.1.1  宇宙背景空間與幾何學(xué)
    2.1.2  微分流形——彎曲空間的數(shù)學(xué)抽象
    2.1.3  物理向量場與切空間
    2.1.4  定律協(xié)變性背景下的流形張量場.
    2.1.5  流形上協(xié)變微分與聯(lián)絡(luò)
    2.1.6  張量不變量的物理意義
  2.2  流形上的向量場
    2.2.1  向量場流的概念
    2.2.2   Frobenius定理——向量場編織流形的充要條件
    2.2.3  帶邊流形向量場指標(biāo)與邊界環(huán)繞數(shù)公式
    2.2.4  切球叢截面特征數(shù)
    2.2.5  余切場及余切球叢上指標(biāo)理論
    2.2.6  由球叢截面特征數(shù)看指標(biāo)公式
    2.2.7  環(huán)繞數(shù)公式在流體動力學(xué)中應(yīng)用
  2.3   Riemann幾何基礎(chǔ)
    2.3.1  內(nèi)蘊幾何的自然觀點
    2.3.2   Riemann度量產(chǎn)生的初等幾何
    2.3.3  度量空間等距類
    2.3.4  短程線誘導(dǎo)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)
    2.3.5  測地坐標(biāo)系
    2.3.6  曲率張量
  2.4   Riemann流形上微分形式
    2.4.1  流形上微分形式
    2.4.2  微分形式的積分與stokes公式
    2.4.3   Allendoerfer—Fenchel微分形式
    2.4.4   Q0(M)中的內(nèi)積結(jié)構(gòu)
    2.4.5   Laplace-Beltrami算子
    2.4.6   Hodge分解定理
  2.5  評注
第3章  整體微分幾何理論
  3.1  流形共軛結(jié)構(gòu)理論概述
    3.1.1  共軛元及其指標(biāo)概念
    3.1.2  同調(diào)群及其幾何化定理
    3.1.3  共軛對稱性定理
    3.1.4   de Rham上同調(diào)的幾何表示
    3.1.5  微分形式的譜級數(shù)展開
  3.2   Riemann度量對角化理論
    3.2.1  度量對角化充要條件
    3.2.2  對角化度量的聯(lián)絡(luò)與曲率張量
    3.2.3  向量場和余切向量場的△算子
    3.2.4   WeitzenbSck公式
    3.2.5   Lipschitz—Killing曲率
  3.3   2n維帶邊流形上廣義Gauss-Bonnet公式
    3.3.1  概況性介紹
    3.3.2  微分形式觀念的仿射聯(lián)絡(luò)與曲率
    3.3.3  聯(lián)絡(luò)流形上一般標(biāo)架場的結(jié)構(gòu)方程
    3.3.4   Riemann流形上正交標(biāo)架場的結(jié)構(gòu)方程
    3.3.5  二維Gauss.Bonnet(GB)公式
    3.3.6  陳省身微分形式
    3.3.7  廣義GB公式
    3.3.8  各類指標(biāo)公式的流形可加性與邊界性質(zhì)
  3.4  評注
第4章  物理背景下的幾何分析
  4.1  流形上的分析框架
    4.1.1  向量叢與截面
    4.1.2  關(guān)于截面的Sobolev空間
    4.1.3   Sobolev嵌入定理及其實質(zhì)
    4.1.4   Rellich—Kondrachov緊嵌入
  4.2  向量叢上的微分算子
    4.2.1  基本概念
    4.2.2  橢圓微分算子
    4.2.3  截面的梯度與散度
    4.2.4  向量場的Helmho~z分解
    4.2.5  內(nèi)積叢截面的正交分解
    4.2.6  相對論引力效應(yīng)的Navier-Stokes算子
  4.3   Riemann度量泛函變分原理
    4.3.1  物理背景
    4.3.2  度量泛函變分學(xué)的基本框架
    4.3.3  零散度變分的標(biāo)量勢定理
    4.3.4   Eitein—Hilbert泛函
    4.3.5  度量張量的Eitein場方程
    4.3.6  對角化度量的變分問題
    4.3.7  度量能量的Hamilton系統(tǒng)
  4.4  評注
第5章  物理學(xué)基本原理
  5.1  相對性原理
    5.1.1   Newton絕對時空觀念
    5.1.2   Galileo不變性與Lorentz變換
    5.1.3   Eitein相對性原理
    5.1.4  相對論力學(xué)
  5.2  相對論物理學(xué)
    5.2.1   Minkowski四維空間
    5.2.2   Lorentz張量
    5.2.3  四維動質(zhì)能向量以及三角關(guān)系式
    5.2.4   Lorentz電磁場張量與相對論不變量
    5.2.5  電動力學(xué)方程的協(xié)變性
    5.2.6  相對論量子力學(xué)方程
    5.2.7   Lorentz群旋量表示及Dirac方程協(xié)變性
  5.3   Lagrange動力學(xué)原理
    5.3.1  引言
    5.3.2  相對論力學(xué)最小作用原理
    5.3.3  電動力學(xué)的作用量
    5.3.4  量子物理中的Lagrange密度
    5.3.5  對稱性與守恒量對應(yīng)的Noether定理
  5.4   Hamilton動力學(xué)原理
    5.4.1  能量守恒系統(tǒng)的動力學(xué)
    5.4.2  電磁場的能量密度
    5.4.3  量子Hamilton系統(tǒng)
    5.4.4  旋量BEC方程
  5.5  評注
第6章  廣義相對論與引力場
  6.1  相對論引力場理論
    6.1..1  等效原理
    6.1.2  廣義相對性原理
    6.1.3   Lagrange動力學(xué)原理的引力場方程
    6.1.4  引力場方程非變分原理的推導(dǎo)
    6.1.5  引力場中的電動力學(xué)方程
    6.1.6  能量動量張量表達公式
  6.2  考慮暗能量效應(yīng)的引力場方程
    6.2.1  宇宙中的暗能量
    6.2.2  帶標(biāo)量勢的引力場方程
    6.2.3  修正場方程的點源引力場理論
    6.2.4  球?qū)ΨQ場的引力勢
    6.2.5  真空場的Schwarzschild解
  6.3  廣義相對論的驗證
    6.3.1  球?qū)ΨQ場中的運動守恒量.
    6.3.2   Schwarzschild場中的運動方程
    6.3.3  水星近日點進動
    6.3.4  光線在引力場的偏轉(zhuǎn)
    6.3.5  光的引力紅移
  6.4  黑洞
    6.4.1   Schwarzschild半徑
    6.4.2  黑洞形成的物理條件
    6.4.3  星體的密度極限
    6.4.4  黑洞的探測
  6.5  評注
第7章  宇宙學(xué)
  7.1  宇宙的構(gòu)成
    7.1.1  恒星分布的HR圖
    7.1.2  星團
    7.1.3  星系與銀河系
    7.1.4  星系團和巨洞
    7.1.5  暗物質(zhì)與暗能量
  7.2  大爆炸理論
    7.2.1   Hubble定律
    7.2.2  宇宙的膨脹
    7.2.3  宇宙起源的大爆炸
    7.2.4  微波背景輻射
    7.2.5  氦元素的豐度
  7.3  宇宙的演化
    7.3.1  宇宙學(xué)原理
    7.3.2   Newton引力的宇宙動力學(xué)
    7.3.3   Friedmann模型
    7.3.4   Lemaitre的A方程-
    7.3.5  帶標(biāo)量勢的宇宙學(xué)理論
  7.4  暗物質(zhì)暗能量的統(tǒng)一理論
    7.4.1  框架性介紹
    7.4.2  球?qū)ΨQ引力場方程
    7.4.3  相容性問題
    7.4.4  標(biāo)量勢能與引力相互作用公式
    7.4.5  簡化的引力公式
    7.4.6  非均勻性的效應(yīng)
    7.4.7  暗物質(zhì)與暗能量機理
    7.4.8  總結(jié)性結(jié)論
  7.5  評注
參考文獻

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁：   插圖：   （1）物理定律的普適性要求微分方程的協(xié)變性（或不變性），從而驅(qū)動張量及旋論的建立。 （2）宇宙空間及物理運動背景空間的彎曲性促進數(shù)學(xué)對流形的研究，并且要求平直空間中的微積分移植到流形上，以便在流形上可建立物理運動的微分方程。 （3）將Rn空間中的微積分移植到流形M上就是幾何學(xué)的中心內(nèi)容之一，與應(yīng)的核心概念是聯(lián)絡(luò)與協(xié)變導(dǎo)數(shù)。 （4）人類尋求宇宙空間結(jié)構(gòu)的基本約束就是只能在宇宙內(nèi)部探求相關(guān)物理信息來獲得宇宙結(jié)構(gòu)知識，而內(nèi)蘊幾何正是符合人類理性特征的數(shù)學(xué)理論，宇宙內(nèi)部的物理信息翻譯成數(shù)學(xué)語言就是Riemann幾何中的度量張量以及由它產(chǎn)生的聯(lián)絡(luò)和各類曲率張量等幾何量。 （5）宇宙中物質(zhì)分布及運動與引力場演化（即宇宙結(jié)構(gòu)演化）的統(tǒng)一性要求在Riemann流形上建立關(guān)于物質(zhì)（能量）與引力的完備動力學(xué)方程（Einstein場方程是不完備的），這為整體幾何與分析的數(shù)學(xué)領(lǐng)域提供強有力的物理背景。 （6）數(shù)學(xué)自身的美學(xué)需求也強烈地驅(qū)動將拓撲、幾何及分析（微分方程）作為一個整體去研究，只有這樣才可能用數(shù)學(xué)的觀點來審視物理學(xué)，這個方向的基本點就是將簡潔而直觀帶入數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)概念與物理概念之間建立相互轉(zhuǎn)換與翻譯的內(nèi)容。 2.1節(jié)是作者為了強調(diào)物理與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，采用物理的眼光看數(shù)學(xué)的手法，將幾何學(xué)中基本而又抽象的概念進行直觀而又物理化地介紹給讀者。 2.2節(jié)Frobenius定理是關(guān)于流形上向量場的一個經(jīng)典結(jié)果，它有五種不同的表達方式，定理2.21是在馬天（2010）中給出的一種形式，這種形式可形象地比喻為向量場流編織席子一樣地構(gòu)成一層層流形。

編輯推薦

《從數(shù)學(xué)觀點看物理世界:幾何分析、引力場與相對論》適合于數(shù)學(xué)、理論物理、天體物理等專業(yè)的高年級本科生、研究生、教學(xué)及科研人員，既可作為相關(guān)領(lǐng)域的研究生教材，又可作為研究參考書。

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