實變函數(shù)

前言

　　由Newton，Leibniz等人開創(chuàng)、后經Cauchy，Riemann等人改進的經典微積分，在19世紀后期已經成熟，并成為普遍應用的數(shù)學工具。然而，就在人們歡慶之際，出現(xiàn)了不祥的信號：經典微積分的一些重大缺陷開始為人們所注意。為革除這些缺陷所作的最初嘗試，給創(chuàng)立新的微積分理論揭開了序幕?！　∪藗冏⒁獾闹攸c是積分學，經典積分即Riemann積分在許多方面不能令人滿意。首先，Riemann積分基本上只適用于連續(xù)函數(shù)（參看本書3．4．1），因而其應用大受局限。其次，Riemann積分與極限互換及兩次積分互換均要求很強的條件，這使人們深感不便，還有其他一些結果（如Newton-Leibniz公式）所需條件過強，在Riemann積分的框架內，改進上述結果的努力要么收效甚微，要么導致更復雜的理論．于是出路在于創(chuàng)立新的積分。　　新的積分也就應運而生，它就是出現(xiàn)于20世紀初的Lebesgue積分。Lebesgue首先開創(chuàng)了測度論，然后以測度論為基礎，引入了一種全新的積分。經過短暫的沉寂之后，數(shù)學家們不無驚喜地接受了Lebesgue積分，且最終確信它已消除Riemann積分的主要缺陷，新的積分很快在數(shù)學的多個領域顯示出強大的威力，它的應用到處導致深刻的結果。而且，在以測度論為基礎的新方法的推動下，經典微分學的面貌也為之改觀。這樣，以Lebesgue積分為中心的新的微積分理論終于形成,由于歷史的原因，這一理論被稱作“實變函數(shù)論”或“實分析”，實際上，它并非僅限于考慮“實變量函數(shù)”。

內容概要

　　全書共五章。其中前二章（集與點集、測度與可測函數(shù)）以較小的篇幅緊湊地介紹了學習全書所需的集合論和測度論基礎，第三章Lebesgue積分，第四章Lp空間是全書的中心內容，系統(tǒng)地介紹了Lebesgue積分論，并給出了較多的應用例子，第五章徽分論與Stieltjes積分，包括廣義測度的一個梗概。本書在每一章后增加了評注，習題依要求的不同分為A、B兩類，在本書的最后還附有對每一道習題的解答與提示?！　∨c傳統(tǒng)教材相比，本書適當增加了應用實例，增加習題數(shù)量并將基本題與難題分開；加強背景與主要思路的說明；與前后課程的銜接處添加了引導性說明?！　”緯谜Z準確，表述清晰?？勺鳛槔砉た拼髮W、高等師范院校數(shù)學及相近專業(yè)的教材或參考書，也可供有一定數(shù)學基礎的讀者自學之用。

書籍目錄

記號與約定幾點說明關于習題的說明第一章 集與點集  1.1 集及其運算  1.2 映射  1.3 基數(shù)與可數(shù)性  1.4  Rn中的點集  1.5 開集的結構·連續(xù)性  1.6 關于n維點集的基本定理  評注  習題第二章 測度與可測函數(shù)  2.1 Lebesgue測度  2.2 測度空間  2.3 可測函數(shù)  2.4 可測函數(shù)列的收斂性  2.5 某些結論的證明及補充  評注  習題第三章 Lebesgue積分  3.1 Lebesgue積分的引入  3.2 Lebesgue積分的初等性質  3.3 積分收斂定理  3.4 與Riemann積分的聯(lián)系  3.5 Fubini定理  3.6 某些基本結論的證明  評注  習題第四章 Lp空間  4.1 Lp范數(shù)與p收斂  4.2 Lp逼近  4.3 L2空間  4.4 對Fourier分析的若干應用  評注  習題第五章 微分論·Stieltjes積分  5.1 單調函數(shù)  5.2 有界變差函數(shù)  5.3 絕對連續(xù)函數(shù)  5.4 凸函數(shù)  5.5 Riemann—Stieltjes積分  5.6 廣義測度  5.7 Lebesgue—Stieltjes積分  5.8 某些基本結論的證明  評注  習題參考書目習題答案與提示名詞索引

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