解析函數(shù)邊值問題教程

前言

　　解析函數(shù)的邊值問題是復變函數(shù)論中極為重要的分支之一。由于許多力學的、物理學的、工程技術(shù)中的實際問題往往可化為這類問題或者化為奇異積分方程，而后者又與這類問題有著緊密的聯(lián)系，所以它有著廣泛的應(yīng)用。為首的前蘇聯(lián)學派，在這方面做出了許多杰出的工作，并以其專著[42]聞名于世的專著[36]也總結(jié)了這方面的工作。在我們國內(nèi)，從20世紀50年代起也有不少同志關(guān)心和從事這方面的研究工作，并進行與此有關(guān)的一些其他方面的工作，如數(shù)學彈性力學、廣義解析函數(shù)及其在偏微分方程中的應(yīng)用等?！　∩厦嫣岬降膬杀緦Ｖ鴥?nèi)容豐富，但篇幅過大，不便于初學。本書的目的之一就是力圖以較少的篇幅將讀者帶進這一領(lǐng)域中，因此取材盡量選擇著者認為最基本的內(nèi)容。另一方面，書中也適當?shù)厥杖肓酥咭约坝嘘P(guān)同志在這方面的某些工作成果。　　由于設(shè)想的讀者對象不只限于數(shù)學工作者，也包括廣大的科技工作者，因此本書要求的預備知識只限于數(shù)學分析、線性代數(shù)和復變函數(shù)。此外，還用到了一點有關(guān)Fredholm積分方程的知識，已列入附錄中。

內(nèi)容概要

　　解析函數(shù)的邊值問題及其在奇異積分方程上應(yīng)用的最基本的內(nèi)容，也包括了著者本人的一些研究工作，是函數(shù)論分支方面的一本專著。具備數(shù)學分析、線性代數(shù)和復變函數(shù)基本知識的讀者可順利閱讀《解析函數(shù)邊值問題教程》。它可作為大學基礎(chǔ)數(shù)學專業(yè)、應(yīng)用數(shù)學專業(yè)高年級學生和研究生的教材或教學參考書。由于這一分支在實際問題中有著廣泛的應(yīng)用，《解析函數(shù)邊值問題教程》也可作為有關(guān)科技研究人員的參考用書。

書籍目錄

第一章 Cauhly型積分1.1 Cauchy型積分的意義1.1.1 Cauchy型積分的定義1.1.2 分區(qū)全純函數(shù)1.2 Plemelj公式1.2.1 Cauchy主值積分1.2.2 曲線上弧長與弦長的關(guān)系1.2.3 Holder條件1.2.4 Cauchy主值積分存在的一個充分條件1.2.5 Plemelj公式1.3 Cauchy型積分邊值的性質(zhì)1.3.1 Privalov定理1.3.2 Cauchy型積分邊值的導數(shù)1.4 核密度中含有參數(shù)的Cauchy主值積分和積分換序問題1.4.1 核密度帶參數(shù)的Cauchy主值積分1.4.2 積分換序問題1.4.3 Cauchy主值積分反演公式1.5 無窮直線上的Cauchy型積分1.5.1 H類1.5.2 實軸上的cauchy型積分及其性質(zhì)1.6 解析函數(shù)邊值的條件1.6.1 全純函數(shù)邊值的條件1.6.2 亞純函數(shù)邊值的條件1.7 高階奇異積分和留數(shù)定理的推廣1.7.1 Cauchy定理的推廣1.7.2 高階奇異積分1.7.3 留數(shù)定理的推廣第二章 封閉曲線情況下的基本邊值問題2.1 引言2.1.1 Riemann邊值問題的提法2.1.2 跳躍問題及其解法2.2 齊次Riemann邊值問題2.2.1 齊次R問題與指標概念2.2.2 齊次R問題的解法一簡單情況2.2.3 典則函數(shù)2.2.4 齊次R問題的解法～般情況2.3 非齊次Riemann邊值問題2.3.1 非齊次R問題的求解2.3.2 相聯(lián)R問題2.4 無窮曲線上的Riemann邊值問題2.4.1 實軸上的R問題2.4.2 幾點說明2.5 非正則型的Riemann邊值問題2.5.1 齊次問題2.5.2 非齊次問題2.6 Hilbert邊值問題2.6.1 問題的提法2.6.2 單位圓內(nèi)的函數(shù)在圓外的對稱擴張2.6.3 單位圓的H問題2.6.4 半平面中的H問題2.7 復合邊值問題2.7.1 復合邊值問題的提法與轉(zhuǎn)化2.7.2 RH問題的求解2.8 周期邊值問題2.8.1 周期Riemann邊值問題的提法與轉(zhuǎn)化2.8.2 齊次PR問題2.8.3 非齊次PR問題2.8.4 周期Hilbert邊值問題2.9 雙周期Riemann邊值問題2.9.1 橢圓函數(shù)2.9.2 雙周期Riemann邊值問題的提法與跳躍問題的解法2.9.3 一般DR邊值問題的解法2.10 雙準周期的Riemann邊值問題2.10.1 雙準周期解析函數(shù)2.10.2 加法雙準周期的R問題2.10.3 乘法雙準周期的R問題2.11 雙周期解析函數(shù)Dirichlet問題2.11.1 雙周期解析函數(shù)的積分表示式2.11.2 雙周期Dirichlet問題2.12 雙準周期解析函數(shù)DIrichlet問題2.12.1 加法雙準周期I）irichlet問題2.12.2 乘法雙準周期的齊次Dirichlet問題2.12.3 乘法雙準周期解析函數(shù)的積分表示式2.12.4 乘法雙準周期的非齊次Dirichlet問題2.13 雙周期解析函數(shù)的Hilbert問題2.13.1 MQ正規(guī)化2.13.2 雙周期Hilbert邊值問題第三章 封閉曲線情況下的奇異積分方程3.1 Cauchy核的奇異積分方程和奇異算子3.1.1 一般概念3.1.2 奇異算子的性質(zhì)3.2 特征方程及其相聯(lián)方程的解法3.2.1 特征方程的解法3.2.2 特征方程的相聯(lián)方程的解法3.2.3 特征方程的Noether定理3.3 奇異積分方程的正則化及一般的Noether定理3.3.1 奇異積分方程的正則化3.3.2 Noether定理3.4 含周期核的奇異積分方程3.4.1 Hilbert核的奇異積分方程3.4.2 含函數(shù)核的奇異積分方程3.5 一類奇異積分方程的直接解法3.5.1 引言3.5.2 求解的一般方法3.5.3 a（z）±b（z）無相同零點的正則型情況3.5.4 a（z）±b（z）無相同零點的非正則型情況3.5.5 a（z）±b（z）有相同零點的情況3.5.6 一些應(yīng)用第四章 一般情況下的邊值問題4.1 Cauchy型積分在端點附近的性質(zhì)4.1.1 核密度屬H類的情況4.1.2 H+類函數(shù)4.1.3 核密度屬H+類時Cauchy型積分的性質(zhì)4.1.4 核密度屬H+類時Cauchy主值積分的性質(zhì)4.1.5 積分路徑具有節(jié)點的情況4.2 一般Riemann邊值問題4.2.1 開口弧段上的R問題4.2.2 帶節(jié)點曲線上的R問題4.2.3 相聯(lián)R問題4.2.4 幾種重要特殊情況4.3 間斷系數(shù)的Hilbert邊值問題4.3.1 單位圓情況4.3.2 半平面情況4.4 其他邊值問題4.4.1 一般復合邊值問題4.4.2 一般的PR問題4.4.3 開口弧段的I）R問題4.4.4 開口弧段的QR問題第五章 一般情況下的奇異積分方程5.1 特征方程及其相聯(lián)方程5.1.1 特征方程5.1.2 相聯(lián)方程5.1.3 一般Cauchy主值積分的反演5.2 完全奇異積分方程5.2.1 正則化問題5.2.2 正則化方程的討論5.2.3 一般情況下的Noether定理5.3 一般帶周期核的奇異積分方程5.3.1 曲線帶節(jié)點的Hilbert核奇異積分方程5.3.2 一般Hilbert核積分的反演5.3.3 實軸上的Hitbert核積分的反演5.3.4 修改的反演問題5.3.5 開口弧段上帶函數(shù)核的奇異積分方程5.4 方程具有一階奇異性解的情況5.4.1 Fredholm方程情況5.4.2 Cauchy核奇異方程情況5.4.3 特征方程及其相聯(lián)方程的解第六章 函數(shù)組的邊值問題與奇異積分方程組6.1 函數(shù)組的Riemann邊值問題6.1.1 一些記號與名稱6.1.2 齊次R問題化為Fredholm方程6.1.3 齊次R問題的典則解組6.1.4 齊次R問題的一般解與指標6.1.5 函數(shù)組的相聯(lián)齊次R問題6.1.6 函數(shù)組的非齊次R問題6.2 函數(shù)組的Hilbert邊值問題和復合邊值問題6.2.1 典則矩陣的一般表示6.2.2 函數(shù)組的齊次H問題6.2.3 函數(shù)組的非齊次H問題6.2.4 函數(shù)組的RH問題6.3 奇異積分方程組6.3.1 特征奇異積分方程組6.3.2 特征方程的相聯(lián)方程6.3.3 完全奇異積分方程組及其正則化6.3.4 奇異積分方程組的Noether定理6.4 某些直接有效解法6.4.1 有理系數(shù)矩陣的R問題6.4.2 核與系數(shù)具解析性的奇異積分方程組6.4.3 解析核密度的奇異積分的反演第七章 其他問題7.1 與某些分式線性變換群相聯(lián)系的邊值問題與奇異積分方程7.1.1 分式線性變換群7.1.2 與有限分式線性變換群有關(guān)的Riemann邊值問題7.1.3 與有限分式線性變換群有關(guān)的奇異積分方程7.2 帶位移的邊值問題和奇異積分方程7.2.1 帶位移的Riemann邊值問題7.2.2 保形粘合定理以及SR問題轉(zhuǎn)化為R問題7.2.3 其他帶位移的邊值問題7.2.4 帶位移的奇異積分方程7.3 卷積型線性方程組7.3.1 Laurent變換7.3.2 （A）型方程組7.3.3 （B）型方程組7.4 Cauchy主值積分的近似計算7.4.1 奇點分離法7.4.2 Gauss-Chel9yshev型求積公式7.4.3 用分段線性函數(shù)逼近Cauchy主值積分7.5 帶根號的邊值問題7.5.1 帶根號的Riemann邊值問題7.5.2 應(yīng)用于一種非線性奇異積分方程7.5.3 帶根號的Hilbert邊值問題7.5.4 開口弧上的帶根號Riemann邊值問題7.6 解具高階奇異性的Riemann邊值問題及其應(yīng)用7.6.1 解具高階奇異性的Riemann邊值問題7.6.2 應(yīng)用于求解具一階奇異性的特征奇異積分方程附錄 有關(guān)Fredholm積分方程的結(jié)果1.Fredholm定理2.預解核3.推廣參考文獻索引

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