數(shù)學與藝術

前言

數(shù)學和藝術粗看起來是風馬牛不相及的事。然而數(shù)學與藝術都是美麗的，而且是有內在聯(lián)系的。數(shù)學家兼哲學家羅素說，“數(shù)學，從正確的觀點來看，它不僅是真理，而且是至上的美麗——一種嚴峻的美，雕刻的美，沒有向弱點做任何的遷就；沒有音樂和繪畫那樣的裝飾，而是令人驚異的純真，具有最偉大的藝術品所顯示的完美?！倍鳨術以美的形象、美好的事物、高雅的音律來激發(fā)人們的情感，陶冶我們的情操。兩者最大的關聯(lián)，在于它們都需要人類的思維和豐富的想像能力。具有思維能力包括想像能力是人與其他動物的根本區(qū)別。    要正確理解本書的書名需要一點理性思維和想像能力，書名的副標題“無窮的碎片”并不是指無窮多的碎片，而是一種哲理。人的生命是有限的，人的視野是有限的，因此作為個體，人是無法經(jīng)歷或看到無限的·人們只有通過他們有限的經(jīng)驗，通過理性思維和空間想像力來考察無限·換句話說，人們只能通過考察無限的某些片段，利用他們的想像能力來理解無限。然而這些片段能否代表那些無限(圖形或事物)是需要證明的·這便是藝術與數(shù)學的天然聯(lián)系。這也是本書書名的真實含義·書名的含義是深邃的，然而閱讀本書卻一點都不困難。    這是一本描述數(shù)學與藝術關系的通俗讀物。書中所介紹的藝術作品大多與數(shù)學有著密不可分的聯(lián)系。藝術詮釋了數(shù)學內涵，使數(shù)學變得通俗易懂；數(shù)學開拓了藝術蘊涵，開創(chuàng)了建筑和藝術的新方法，使藝術變得豐富多彩且意味深長。在書中，數(shù)學與藝術結下了不離不棄的姻緣。    這也是一本描寫數(shù)學家和藝術家從事創(chuàng)作活動的故事書。書中有人物，有故事。許多數(shù)學藝術家獨特的人生、坎坷的生活經(jīng)歷、刻苦的鉆研精神，讀后使人感動、催人奮進！    這也是一本數(shù)學與藝術結合的實習指導書，書中的例子啟發(fā)你自己動手去實踐、去制作、去創(chuàng)造！    如果你是一名數(shù)學愛好者，那么請你讀一讀這本書吧！它會開闊你的眼界，讓你了解更多的數(shù)學(如四維空間、超立方體、最小曲面、鑲嵌鋪設、……)，并使你學過的數(shù)學變得生動有趣，對于提高你的空間想像能力大有裨益，同時會帶給你許多新的啟示。    如果你是一名藝術愛好者，那么請你讀一讀這本書吧！正如書中所述，數(shù)學、物理所描述的空間比藝術家感受到的空間要豐富得多。本書將給你的藝術活動、藝術創(chuàng)作帶來新的思路、新的方法和更加豐富的創(chuàng)作源泉。    如果你是一名尚未畢業(yè)的在校學生，那么請你讀一讀這本書吧！它會提高你學習數(shù)學的興趣以及你對藝術作品的鑒賞能力。它也將為你緊張的學習生活帶來些許樂趣。    在本書出版之際，特別要感謝上海教育出版社的王耀東副總編和趙海燕編輯。他們給筆者以鼓勵和支持，并做了許多版式和譯名統(tǒng)一方面的工作，才使本書有今天的樣子。    袁震東    2006年8月

內容概要

有些人對于數(shù)學和藝術有成見，認為數(shù)學通過人的右腦工作，藝術通過人的左腦丁作。數(shù)學家理性而嚴謹，藝術家感性而浪漫。他們是兩個完全不同類型的人群。本書要推翻這個成見。在本書中讀者將看到一些數(shù)學家如何為藝術而孜孜不倦地工作，而一些藝術家如何熱衷于數(shù)學的最新發(fā)現(xiàn)。事實上。現(xiàn)在已經(jīng)有這樣一些現(xiàn)代數(shù)學家他們不僅是現(xiàn)代數(shù)學的開拓者，而且是造詣很深的藝術家，同時也有這樣一些藝術家。他們利用數(shù)學原理創(chuàng)作出使人意想不到的優(yōu)秀作品，在這里數(shù)學與藝術完全溝通起來了。    數(shù)學對藝術的影響由來已久，在文藝復興時期藝術家利用透視原理創(chuàng)作出不朽的名作，在20世紀荷蘭藝術家埃舍爾對無限拼圖的探索給人以啟迪，薩爾瓦多·達利利用四維立方體的展開圖畫出了使人震撼的作品。藝術家們從斐波那契數(shù)列、最小曲面、麥比烏斯帶中得到啟發(fā)，數(shù)學家們利用睢塑來宣揚數(shù)學的成就。

作者簡介

伊凡斯·彼得生（IvarsPeterson）是一位著名的數(shù)學、物理學科普作家，在大學里，彼得生學的是物理與化學，畢業(yè)后在加拿大的高級中學里教了八年的數(shù)學課與科學課，后又在密蘇里大學獲得新聞學碩士學位，他從事科普寫作已有20年，他的主要作品有《數(shù)學旅行者》、《牛頓鐘》、《

書籍目錄

第1章 參觀藝術館第2章 關于石頭的定理第3章 空間里的位置第4章 折紙第5章 網(wǎng)格場與分形第6章 晶體圖像第7章 奇怪的側面第8章 雪雕和極小曲面第9章 觀點第10章 碎片參考文獻索引

章節(jié)摘錄

第3章  空問里的位置    荒涼的鋪著方磚的路很快在黑暗中消失。站在荒涼的路上的兩個人物減弱了背景的黑暗。在閃爍的光亮中，每個人物投射出明顯的陰影，并把自然的顏色變成病態(tài)的赭色、瑪瑙色和灰色。在前廣場，披著衣服的女性人物凝視著純潔的十字架上幾乎裸露的基督，基督的雙臂伸向浮現(xiàn)在空中的十字架前。而十字架顯現(xiàn)出巧妙的立方體堆積結構。這是畫家薩爾瓦多·達利在1954年創(chuàng)作的畫，標題為“受難”，副標題為“超立方體”。為了表示思維的超越，藝術家利用了第四維的豐富想像。他把它作為數(shù)學問題來處理，畫成展開的超立方體，一種神秘的入侵者，高維圖形。    畫家達利的展開的超立方體，建議人們去接受超越人們日常生活中看得見、摸得著的三維空間所限制的事物。這就要求我們超越對于立方體的長、寬、高的描述，超越對空間位置的左、右、前、后以及上、下的描述。這提醒我們在哲學、神學、藝術和數(shù)學中反復提及的主題：圍繞著無窮大和無窮小概念的現(xiàn)實與抽象概念之間的間隙正在進行的斗爭。這促使我們面對想像的和物理不可實現(xiàn)的事物。    對于超越的、形而上的追求可以追溯到古代，然而對四維空間的興趣卻出現(xiàn)在現(xiàn)代。19世紀末和20世紀初是科學技術以驚人速度發(fā)展的時期，從X光的發(fā)現(xiàn)、功率強大的飛行器的出現(xiàn)，到原子能的-利用和愛因斯坦廣義和狹義相對論的創(chuàng)立。這也是對第四維可視化研究引起廣泛興趣的時期--出現(xiàn)了提供給畫家和雕刻家的新觀念，特別是與通常表達不同的方法。甚至于，出現(xiàn)了推翻歐幾里德平行線永不相交假設的、與歐氏幾何完全不同的、但與現(xiàn)實相符的非歐幾何。    俄國的唯心主義者g斯班斯基(P.D.Ouspensky，1878-1947)是那個時期有影響的人物，他迷戀于那個看不見的世界，在20世紀初神秘主義抬頭的時期，他發(fā)表了著名的關于四維空間的書和文章。“我們關于世界的基本概念應該擴大?！彼f，“我已經(jīng)感覺到而且知道我們不能相信我們的眼睛所看得見的，或我們的手能夠接觸到的……，多維空間中的第四維顯示了可以通向擴大了的世界的道路?！?   甚至于，那時第四維這個名詞已成為神秘的、不可思議的、超自然的、不能理解的隱喻，數(shù)學家們急忙把他們維數(shù)的概念延伸擴展，使得超立方體和超正方體那樣的幾何對象可以包括在數(shù)學邏輯框架范圍內。    一個通常的立方體有6個正方形的面。你可以在一張硬紙上畫出制造立方體的十字形狀的模板，然后把它剪下來，經(jīng)過折疊和粘合就做成三維立方體。為什么超立方體畫成上面的形式？可以折成三維立方體的模板是由6個正方形組成的十字形。構造超立方體可以從立方體6個面的每個面加一個立方體開始，6個立方體都附著在中心立方體的周圍，像6條“臂膀”。第八個立方體加在6條“臂膀”中的某一條“臂膀”上，完成構造。如何把它折起來組成超立方體是無法看到的。然而，正如達利的畫里表達的那樣，展開的超立方體開啟了通向第四維的大門。    在美國羅得島布朗大學的數(shù)學家湯姆·班切夫(Tom Banchoff)的辦公室里，達利的畫作《受難》的復制品懸掛了許多年。作為吸引幾何學家的四維圖形，班切夫與布朗大學的同事查爾斯·斯特勞斯(Charles Strauss)生成了超立方體各種外觀的圖形。班切夫指出：達利的畫對于一個在藝術上探索表示高維形象的人來說，是一個巧妙的創(chuàng)造。    1975年，《華盛頓郵報》載文報道了班切夫和斯特勞斯用計算機生成數(shù)學圖形的先驅性工作。郵報編者指出這也包括在班切夫照片中作為背景的達利的作品。達利很高興有這樣的交互作用，非常欣喜地聽到這樣的消息。超立方體的可折疊模型最早出現(xiàn)在班切夫1964年的博士論文中。    當班切夫詢問達利的超立方體從何而來時，達利說他參考了雷蒙·魯爾(Ramon Lull，1235-1316)的哲學。魯爾是西班牙加泰羅尼亞的神秘主義者、煉金術士、詩人，他嘗試把所有的知識簡化為第一原則，創(chuàng)立基本單元。魯爾甚至于堅信最神秘的對上帝的信仰可以用邏輯來證明。幾何圖形，例如圓，常作為他論據(jù)的隱喻。    正巧班切夫已經(jīng)熟悉達利的作品和哲學。共同的興趣使他們相互敬重，在接下來的幾年中，他們在巴黎、西班牙多次會面和討論。班切夫用幻燈片、錄像帶、電影等形式來展示他的研究成果，這時正處在達利工作達到頂峰的過程中。    很不幸，他們倆始終沒有共同完成一個項目，1989年達利逝世。在達利去世前的三十年間，他沉迷于原子與核、量子力學和遺傳基因的符號化。在達利的精神世界里，物質世界被分解成不連續(xù)的碎片，原子破裂成立方體和球。把達利的創(chuàng)造作為媒介，人們可以通過物質看到更加基本的現(xiàn)實。    班切夫對四維空問以及對超越日常生活領域的濃厚興趣是從兒童時代開始的。他是在新澤西州特萊頓的一個天主教家庭長大的。他的母親是幼兒園的老師，父親是管理工資發(fā)放的會計。    班切夫小時候是一個勤于觀察、好問又善于積累知識的孩子。他十歲時獲得了“特萊頓問答比賽兒童”稱號，有機會赴芝加哥參加國家的無線電節(jié)目“兒童問答比賽”，班切夫成了明星。    大約在1950年，班切夫對第四維如此不被理解感到好奇，而這個興趣的萌芽改變了他的生活。他記得他在閱讀一本名為《奇妙船長訪問未來世界》的書時，最初遇到“維數(shù)”這個使人迷惑的名詞。書中這位藍眼睛、黑頭發(fā)的、充滿活力的名叫比利·本特森的少年記者兼奇妙船長正在實驗室里遨游。他學著愛因斯坦的樣子宣稱“我們的科學家正在第七維、第八維和第九維工作”。比利吹出了一個關于思維的大泡泡，“我懷疑第四維、第五維和第六維是否存在？”比利沒有答案的問題正是那時班切夫想問的。    不久，另一本科幻小說把班切夫引入了用三維空間同樣的方法創(chuàng)立高維空間的理論道路，正如潛水者可以把靜止的池水截成平面。再過幾年后，同樣的理論在一本很有價值的書中讀到，書名為《平原：一個多維的冒險故事》，這本成書于1884年的小說，作者叫艾特溫。阿勃特(Edwin Abbott，1838-1926)，他是教育家及英國倫敦學校城(City of London School)的校長。    《平原》的中心人物是講解員(導游)，叫做“正方形”，他帶領大家游覽一個居住著各種規(guī)則圖形的平面區(qū)域。這里有一個固定的階級構成：平原的女人都是直線形；下等的男人都是等腰三角形；方形組成了自由職業(yè)者；貴族是正多邊形，如正六邊形或邊數(shù)更多的正多邊形；神甫和更高的階層是圓。    所有《平原》里的居民都限定生活在二維的王國里。居民們可以自由地生活在他們的二維平面上，但無力升到平面的上面或沉到平面的下面去。在這本書將結束時，講解員“正方形”接待了一位來自可怕的三維世界的球的參觀者，這位參觀者要向不知所措的平原居民證明高維空間的存在。參觀者“球”說，他是一個立體，是由無窮多個圓組成的，這些圓從一個點到跨越33厘米的大圓，一個挨一個堆壘起來。在《平原》里在一個時刻只是單個圓在活動。平原里的圓在球的眼里只是一條線，線的長度依賴于圓的大小。因此一個球就像從一個點開始，然后變成越來越長的線，再從長線越來越縮小到一個點，最后消失。    當用這消長的過程不能說服“正方形”承認球是三維圖形時，球嘗試進行更詳細的數(shù)學討論。一個單點，僅僅是一個點，它只有一個端點，球強調說。點的運動產(chǎn)生直線，直線有兩個端點。一條線段在一個直角中運動可以產(chǎn)生一個正方形，它有四個頂點。    這些是可以讓平原居民想像的操作，下面再敘述嚴格的數(shù)學邏輯。如果1，2，4三個數(shù)成等比數(shù)列，那么第四個數(shù)應該是8。平原里的一個正方形從平面里升起來所產(chǎn)生的圖形應該有8個頂點，人們把它稱為立方體。這個論證揭示了通向高維圖形的路徑：例如，一個四維的超立方體應該有16個頂點。當“正方形”(講解員)向平原居民說明另外的領域確實存在時，他被悲慘地關押起來了。    當班切夫是特萊頓天主教教會男校的學生時，他開始思考阿勃特所著《平原》中的理論。在低年級時，他向一位他所信任的生物學老師，法澤。羅蘭‘舒爾茨(Father Roland Schultz)，表述了他對第四維的理解。進入印第安納的圣母院大學(University of Notre Dame)之后，雖然班切夫專攻數(shù)學，但他仍對文學和哲學保持著濃厚興趣，并選學這方面的課程。他于1960年在那里獲得了學士學位，并開始在加利福尼亞大學伯克利分校的數(shù)學系當研究生。班切夫的數(shù)學專業(yè)領域是微分幾何，這是用微積分研究曲線曲面的幾何學。他的論文題目是研究幾何圖形的一種數(shù)學性質，叫做“二片性(two-piece property)”。    如果我們用一把長又直的刀去切一只橘子或一個煮熟的雞蛋，那么它們都將分為兩份。因此，橘子和雞蛋一類的形狀具有二片性。另一方面，如叉子、彎彎的香蕉，在某一方向用刀切它們可能成三份或更多份。這些形狀沒有二片性。一般地，沒有缺口、沒有皺折的凸幾何體(例如球或雞蛋形)具有二片性。然而某些非凸的幾何體也具有二片性，例如面包圈、削去了有柄那一半的甜瓜或蘋果，但不能是梨。    班切夫的貢獻在判別表面是平面、且有鋒利的棱和角的多面體，而不一定是有圓形光滑面如球或圓枕那樣的幾何體是否具有二片性的問題。他考慮的幾何圖形不僅包括二維、三維的圖形，而且包括高維的幾何體。在他的工作中，他想在六維空間中構造一個具有二片性的多面體時，從日常折疊衣服受到啟發(fā)，他立即用紙作了一個模型，利用它驗證必要的折疊方法。    由可以把半個面包圈分成三塊。因此面包圈或花托具有二片性，而半個面包    圈沒有二片性。    作為他工作的一支，他構造了一個超立方體的折疊模型，這便是后來(多年后)給達利看的模型。這個模型給了藝術家深刻的印象，這個模型的復制品現(xiàn)在存放在達利的出生地，西班牙費格勒斯(Figueras)的薩爾瓦多·達利博物館里。    這個模型包括6個方形的筒，即立方體去掉頂和底面，然后把它們中的一個作為中心，一個個邊對邊連接在一起。其外表看起來就像達利畫的超立方體那樣的三維立方體組成的十字架。由于立方體是空的，每一個立方體少了兩個面，因此可以很快把它攤成平面。    作家羅伯特·海因萊思(Robert A.Heinlein)  1940年的故事中暗示了類似的結構，稱“他建造了一所詭秘的房子”。在這個故事中，建筑設計師凱托斯·提爾(Quintus Teal)設計了一座8個房問的房屋，如果把它都造在地面上恰好可以造一個大房間。他把房屋設計成一個展開的超立方體，十字架的形狀的第二層，向四面各伸出一個房間。一次地震以后，造成房屋倒塌，留下的恰好是造單個立方體的材料。當新的主人進入這壞了的房屋時，他驚奇地發(fā)現(xiàn)所有的房間仍在那里，但已不能夠從原先的路出來，他們爬到屋頂后可以回到進來的路。這個被迷惑了的占有者最后從窗子里出來，終點不可思議地在離居民區(qū)1.6千米的沙漠里。這座房屋在第二次地震后消失了。    不管是在科幻小說里或圖畫中看到的一堆洗好的整潔的衣服、磚墻的形狀，還是偶然看到的結構，班切夫到處能發(fā)現(xiàn)幾何問題。1967年，他懷著理想和對于圖形的興趣，進入布朗大學。在那里他遇見了正在研究交互型電子黑板(項目)的應用數(shù)學家查爾斯·斯特勞斯。    把三維幾何圖形用符號輸入計算機，計算機能夠在顯示器上畫出二維的輪廓圖形。加上指令，可以旋轉出各種圖形來說明物體可能出現(xiàn)的不同的姿態(tài)和變化。    經(jīng)過痛苦的初期工作，電子黑板的可視化和處理復雜三維圖形的能力使它成為班切夫研究四維或更高維數(shù)饑何不可缺少的電子草稿本。“維數(shù)”這個詞有著既平凡又外來的味道。在數(shù)學中，維數(shù)概念來自測量。這個詞來源于拉丁詞“測量出”，幾何的希臘字根是“大地”和“測量”。例如測量磚塊的長、寬、高，得到三個數(shù)，這三個數(shù)完全確定了磚的形狀，三是維數(shù)。如果給定長、寬、高三個數(shù)據(jù)，那么在我們腦子里就可以重新構造一塊這樣大小的磚，或計算它的體積。    羅馬天文學家、數(shù)學家克勞迪亞斯·托勒密(Claudius Ptolemae-us，100-170)，歸納了許多世紀后被稱為坐標系的概念。他提出了物體“擴展”的概念，任何形體都可以用一組直線來定義，這組直線兩兩相互成直角，就像從形體中某一點伸出的稈子。他宣稱這樣的直線的數(shù)目不超過3。    坐標系概念是由法國數(shù)學家、哲學家雷內·笛卡爾(René Des-cartes，1596-1650)正式提出的。笛卡爾提出了一種代數(shù)和幾何相結合的數(shù)學方法，在該方法中方程可代表曲線，根據(jù)方程可以在坐標紙上一點一點地畫出曲線來。P33-43

媒體關注與評論

“彼得生的每一個字傳播著他的數(shù)學知識和影響。”    ——圣地亞哥聯(lián)合論壇    “彼得生告訴我們數(shù)學家是一個做著對大家有重要意義的工作的社會群體……最有意思的是他使得數(shù)學有趣?！?   ——華盛頓郵報讀書天地    “罕見的”“一本迷人有趣的書”    ——《華盛頓郵報》

編輯推薦

伊凡斯·彼得生所著的《數(shù)學與藝術——無窮的碎片》是一本描述數(shù)學與藝術關系的通俗讀物。藝術詮釋了數(shù)學內涵，數(shù)學開拓了藝術蘊涵，數(shù)學與藝術結下了不離不棄的姻緣。    這也是一本描寫數(shù)學家和藝術家從事創(chuàng)作活動的故事書。許多數(shù)學藝術家獨特的人生、坎坷的生活經(jīng)歷、刻苦的鉆研精神，讀后使人感動、催人奮進！    這也是一本數(shù)學與藝術結合的實習指導書，書中的例子啟發(fā)你自己動手去實踐、去制作、去創(chuàng)造！

圖書封面

圖書標簽Tags

無

評論、評分、閱讀與下載

---

    數(shù)學與藝術 PDF格式下載

---