概率論

前言

　　自從本書第一版問世以來，已經(jīng)過去6年多了。連同試用階段在內(nèi)，第一版在中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)一共教授了10屆數(shù)學(xué)類本科生，取得了良好的教學(xué)效果。　　10年的時光雖說只是歷史的一瞬間，但世事卻在發(fā)生著巨大的變化。曾幾何時，概率統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容悄然進(jìn)入了中國的中學(xué)，甚至是小學(xué)的課堂。別看小孩子們?nèi)槌粑锤?，問起“概率、隨機(jī)事件、古典概型”之類，他們都能給你說上一大套，更別說高中生了。概率統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容早已成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要模塊，并且也是高考中的重點(diǎn)內(nèi)容，通常除有一道大題之外還會有兩道小題。學(xué)生們不但學(xué)過古典概型，還學(xué)過幾何概型；不但學(xué)過隨機(jī)變量，還了解只取有限個值的隨機(jī)變量的分布列，以及它們的均值、方差等概念。我們的教學(xué)對象已經(jīng)不是早年間的白紙一張了?！　⌒滦蝿輲硇氯蝿?wù)，對本科生概率論的教學(xué)不能再以零為起點(diǎn)了，如何寫出與形勢相適應(yīng)的教材已成為眼下的重要工作。　　中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)是中國的一流重點(diǎn)大學(xué)，培養(yǎng)的是科研型人才，如何讓學(xué)生從現(xiàn)有的水平出發(fā)，揚(yáng)帆遠(yuǎn)征，是一個非?，F(xiàn)實(shí)的、需要花大力氣來解決的課題?！　∪绾螏椭鷮W(xué)生擺脫等可能性的束縛，如何讓他們從直觀理解過渡到理性認(rèn)識，成為擺在我們面前的重要任務(wù)。如今的中學(xué)教育多強(qiáng)調(diào)直觀性，相對削弱理性推導(dǎo)的訓(xùn)練，采用所謂模塊式的教學(xué)，造成一部分學(xué)生只會生硬地沿用“套路”，甚至少數(shù)高考中的“高分學(xué)生除了習(xí)慣性地機(jī)械套用公式之外，幾乎什么都不想，從未問過公式從何而來。針對這種情況，除了需要強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)學(xué)習(xí)理論的重要性之外，還要從頭培養(yǎng)他們敢于獨(dú)立思考、善于獨(dú)立思考的精神與習(xí)慣，教會他們從思考中學(xué)習(xí)解題、從解題中學(xué)習(xí)思考的態(tài)度與方法。研究型大學(xué)是要培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的，如果連獨(dú)立解題都不敢，還能談創(chuàng)新嗎？　　除了滿足本科生的教學(xué)需求之外，本書還兼顧研究生入學(xué)考試復(fù)習(xí)的需要，所以仍然保留了第一版中的主要內(nèi)容。鑒于中學(xué)數(shù)學(xué)教育在概率統(tǒng)計(jì)方面已經(jīng)投放了大量的課時，而且在古典概型方面做過大量的練習(xí)，所以在第1章有關(guān)內(nèi)容的處理上可以采用靈活態(tài)度。例如，可以跳過1.1節(jié)、1.2節(jié)和1.5節(jié)不講，對于1.3節(jié)可以略講（著重講解事件運(yùn)算與集合運(yùn)算在概念上的對應(yīng)關(guān)系，上、下極限事件的概念，以及運(yùn)算法則中的對偶原理），對于1.4節(jié)，則應(yīng)根據(jù)學(xué)生的情況來決定詳講還是略講；至于1.6節(jié)，則既不必渲染，也不必回避，可以講一講零概率事件與不可能事件的關(guān)系、概率為1的事件與必然事件的關(guān)系，在介紹Bertrand奇論的基礎(chǔ)上突出公理化的必要性。

內(nèi)容概要

本書為中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)類本科生的“概率論”教材，既保留了第一版中原有的基本內(nèi)容：初等概率論、隨機(jī)變量、數(shù)字特征與特征函數(shù)、極限定理等，又根據(jù)我國當(dāng)前教育的特點(diǎn)調(diào)整了部分內(nèi)容和敘述方式。    本書是在多年教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)上逐步形成并匯編成冊的，此次的修改也是在教學(xué)實(shí)踐中逐步完成的。本書內(nèi)容豐富、敘述嚴(yán)謹(jǐn)、深入淺出，既以生動淺顯的方式說明了概率論中許多基本概念的直觀意義，又以嚴(yán)密的數(shù)學(xué)形式陳述了這些概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)，尤其是針對目前中學(xué)教育過于削弱理性推導(dǎo)訓(xùn)練的軟肋，突出強(qiáng)調(diào)了學(xué)習(xí)理論的重要性。書中還附有許多有趣的例題和大量的習(xí)題，有助于讀者理解和掌握概率論的基礎(chǔ)知識。    本書可供高等院校數(shù)學(xué)類師生閱讀參考，也可供其他專業(yè)人士進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率論時使用。

書籍目錄

第二版前言第一版序第一版前言第1章  預(yù)備知識  1．1  隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)事件  1．2  古典概型  1．3  隨機(jī)事件的運(yùn)算  1．4  一些計(jì)數(shù)模式    1．4．1  關(guān)于排列組合計(jì)數(shù)模式的再認(rèn)識    1．4．2  多組組合    1．4．3  分球入盒問題    1．4．4  重排列和可重組合    1．4．5  大間距組合  1．5  古典概型的一些例子  1．6  幾何概型  1．7  絮話概率論第2章  初等概率論  2．1  概率論的公理化體系    2．1．1  什么是隨機(jī)事件    2．1．2  事件σ域    2．1．3  關(guān)于事件σ域的一些討論    2．1．4  什么是概率    2．1．5  概率空間的例子  2．2  利用概率性質(zhì)解題的一些例子  2．3  條件概率    2．3．1  條件概率的初等概念和乘法定理    2．3．2  全概率公式和Bayes公式  2．4  一些應(yīng)用    2．4．1  求概率的遞推方法    2．4．2  直線上的隨機(jī)游動  2．5  事件的獨(dú)立性    2．5．1  兩個事件的獨(dú)立性    2．5．2  多個事件的獨(dú)立性    2．5．3  獨(dú)立場合下的概率計(jì)算第3章  隨機(jī)變量  3．1  初識隨機(jī)變量    3．1．1  隨機(jī)變量與隨機(jī)試驗(yàn)    3．1．2  隨機(jī)事件的示性函數(shù)是隨機(jī)變量    3．1．3  Bernouli隨機(jī)變量    3．1．4  Bernouli隨機(jī)變量應(yīng)用舉例  3．2  與Bernouli試驗(yàn)有關(guān)的隨機(jī)變量    3．2．1  多重Bernoulli試驗(yàn)中的成功次數(shù)    3．2．2  Bernoulli試驗(yàn)中等待成功所需的試驗(yàn)次數(shù)    3．2．3  Pascal分布(負(fù)二項(xiàng)分布)    3．2．4  區(qū)間[0，11]的均勻分布  3．3  隨機(jī)變量與分布函數(shù)    3．3．1  隨機(jī)變量及其分布函數(shù)    3．3．2  分布函數(shù)與隨機(jī)變量    3．3．3  分布函數(shù)的類型    3．3．4  Riemman—Stieltjes積分與期望方差  3．4  一些重要的連續(xù)型分布    3．4．1  有限區(qū)間上的均勻分布    3．4．2  正態(tài)分布    3．4．3  指數(shù)分布  3．5  Poisspn分布    3．5．1  Poisson定理    3．5．2  Poisson分布的性質(zhì)，隨機(jī)和    3．5．3  Poisspn過程初談  3．6  與Poisson過程有關(guān)的一些分布    3．6．1  指數(shù)分布    3．6．2  r分布  3．7  隨機(jī)變量的若干變換及其分布    3．7．1  隨機(jī)變量的截?cái)?   3．7．2  與連續(xù)隨機(jī)變量有關(guān)的兩種變換    3．7．3  隨機(jī)變量的初等函數(shù)第4章  隨機(jī)向量  4．1  隨機(jī)向量的概念    4．1．1  隨機(jī)向量的定義    4．1．2  多元分布  4．2  邊緣分布與條件分布    4．2．1  邊緣分布與條件分布的概念    4．2．2  離散型場合    4．2．3  連續(xù)型場合：邊緣分布與邊緣密度    4．2．4  連續(xù)型場合：條件分布與條件密度    4．2．5  隨機(jī)變量的獨(dú)立性概念  4．3  常見的多維連續(xù)型分布    4．3．1  多維均勻分布    4．3．2  二維正態(tài)分布  4．4  隨機(jī)向量的函數(shù)    4．4．1  隨機(jī)變量的和    4．4．2  兩個隨機(jī)變量的商    4．4．3  多維連續(xù)型隨機(jī)向量函數(shù)的一般情形    4．4．4  最大值和最小值    4．4．5  隨機(jī)變量的隨機(jī)加權(quán)平均    4．4．6  順序統(tǒng)計(jì)量第5章  數(shù)字特征與特征函數(shù)  5．1  矩與分位數(shù)    5．1．1  對于數(shù)學(xué)期望的進(jìn)一步認(rèn)識    5．1．2  數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)    5．1．3  隨機(jī)變量的矩    5．1．4  方差    5．1．5  中位數(shù)和p分位數(shù)  5．2  條件概率，條件期望與條件方差    5．2．1  條件數(shù)學(xué)期望及其應(yīng)用    5．2．2  通過條件概率求概率    5．2．3  條件方差及其應(yīng)用    5．2．4  數(shù)學(xué)期望的一些其他應(yīng)用    5．2．5  隨機(jī)足標(biāo)和的期望和方差  5．3  協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)    5．3．1  協(xié)方差和協(xié)方差陣    5．3．2  相關(guān)系數(shù)  5．4  特征函數(shù)    5．4．1  特征函數(shù)的定義    5．4．2  特征函數(shù)的性質(zhì)    5．4．3  關(guān)于特征函數(shù)的一些討論    5．4．4  反演公式與唯一性定理    5．4．5  幾個初步應(yīng)用    5．4．6  多元特征函數(shù)  5．5  多元正態(tài)分布    5．5．1  n元正態(tài)分布    5．5．2  n元正態(tài)分布定義的推廣    5．5．3  n元正態(tài)分布的性質(zhì)  5．6  統(tǒng)計(jì)學(xué)中的三大分布    5．6．1  X2分布    5．6．2  t分布    5．6．3  F分布    5．6．4  三大分布在統(tǒng)計(jì)中的重要性第6章  極限定理  6．1  依概率收斂與平均收斂    6．1．1  依概率收斂    6．1．2  平均收斂  6．2  依分布收斂    6．2．1  什么是依分布收斂    6．2．2  連續(xù)性定理  6．3  弱大數(shù)律和中心極限定理    6．3．1  弱大數(shù)律    6．3．2  中心極限定理    6．3．3  獨(dú)立不同分布場合下的中心極限定理    6．3．4  關(guān)于中心極限定理成立條件的進(jìn)一步討論    6．3．5  多元場合下的中心極限定理  6．4  a．s．收斂    6．4．1  a．s．收斂的概念    6．4．2  無窮多次發(fā)生    6．4．3  若干引理與不等式  6．5  強(qiáng)大數(shù)律    6．5．1  獨(dú)立隨機(jī)變量級數(shù)的a．s．收斂性    6．5．2  強(qiáng)大數(shù)律參考文獻(xiàn)附錄

章節(jié)摘錄

　　概率論是一門研究隨機(jī)現(xiàn)象中的數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)學(xué)科，隨機(jī)現(xiàn)象在自然界和人類生活中無處不在。拋擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面，也可能出現(xiàn)反面；拋擲一枚骰子，可能出現(xiàn)1，2，…，6點(diǎn)；110報(bào)警臺一天中說不定會接到多少次報(bào)警電話等。在這些現(xiàn)象中都可能有多種不同的結(jié)果出現(xiàn)，并且事前人們無法知道究竟會出現(xiàn)哪一種結(jié)果。這類現(xiàn)象被稱為隨機(jī)現(xiàn)象，意即其結(jié)果隨機(jī)遇而定的現(xiàn)象?！　⊙芯侩S機(jī)現(xiàn)象中的數(shù)量規(guī)律對于人類認(rèn)識自身和自然界，有效地進(jìn)行經(jīng)濟(jì)活動和社會活動十分重要。人類的壽命長短、基因的遺傳和變異規(guī)律、疾病的發(fā)生發(fā)展和傳播規(guī)律；自然界中的氣候變化規(guī)律、河流的流量變化規(guī)律、魚的洄游規(guī)律；經(jīng)濟(jì)活動中股票價格的漲落、市場需求的變化、資金回報(bào)率的變動、保險公司經(jīng)營狀況的變化；……都是需要加以研究的，而它們無一不是隨機(jī)現(xiàn)象中的數(shù)量規(guī)律。　　概率論正是為了研究隨機(jī)現(xiàn)象中的數(shù)量規(guī)律而產(chǎn)生出的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，并且隨著這種研究需求的推動而不斷發(fā)展著?？梢哉f，概率論是當(dāng)前世界上發(fā)展最為迅速、也是最為活躍的數(shù)學(xué)學(xué)科之一?！　≡陔S機(jī)現(xiàn)象中，雖然不能事先預(yù)言所可能出現(xiàn)的具體結(jié)果，但是可以認(rèn)為“所有可能的結(jié)果”是已知的。例如，拋擲硬幣的所有結(jié)果只有兩個：正面和反面：母兔下崽的只數(shù)一定是正整數(shù)；110報(bào)警臺一天內(nèi)接到的報(bào)警次數(shù)一定是非負(fù)整數(shù)；股票價格的漲跌幅度充其量可認(rèn)為是任意實(shí)數(shù)等?！　榱搜芯侩S機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律，人們需要進(jìn)行觀察或安排試驗(yàn)。例如，為了研究射擊中的規(guī)律，可以讓射手去射擊；為了檢驗(yàn)骰子是否均勻，可以實(shí)際地反復(fù)投擲等。但是，為了研究110報(bào)警臺接到的報(bào)警次數(shù)的變化規(guī)律，為了研究長江流量規(guī)律等，就只能進(jìn)行觀察。無論是觀察還是試驗(yàn)，目的都是為了了解相應(yīng)隨機(jī)現(xiàn)象中所可能出現(xiàn)的所有不同結(jié)果及其發(fā)生規(guī)律，所以把這類觀察或試驗(yàn)統(tǒng)稱為統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)。也就是說，統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)就是了解隨機(jī)現(xiàn)象所可能發(fā)生的所有不同結(jié)果及其發(fā)生規(guī)律而進(jìn)行的試驗(yàn)或觀察。

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