二元齊次對(duì)稱多項(xiàng)式與二項(xiàng)式定理

內(nèi)容概要

　　本書推廣了二項(xiàng)式定理，建立了由二項(xiàng)式定理的無窮多個(gè)等價(jià)公式構(gòu)成的集合B，給出了它們?cè)诙喾矫娴膽?yīng)用，獲得了數(shù)以百計(jì)的新的數(shù)學(xué)公式。在微分學(xué)上，我們作了與前面完全平行的工作，即推廣了萊布尼茲定理（公式）；建立了由萊布尼茲定理（公式）的全體等價(jià)公式構(gòu)成的無窮集合L。集合B與集合L間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。給出了萊布尼茲定理（公式）的等價(jià)公式的一些有趣的應(yīng)用。本書是由唐祐華編寫的《二元齊次對(duì)稱多項(xiàng)式與二項(xiàng)式定理》?！抖R次對(duì)稱多項(xiàng)式與二項(xiàng)式定理》的內(nèi)容簡(jiǎn)介如下：
　　十七世紀(jì)著名的英國天才數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、力學(xué)家、天文學(xué)家牛頓(Newton，1642—1727)于1676年發(fā)現(xiàn)：任意一個(gè)二項(xiàng)式的任意次方冪的展開式的系數(shù)全是組合數(shù)，即
　　(公式)(請(qǐng)參照書本)
　　這就是著名的牛頓二項(xiàng)式定理。其中a是實(shí)數(shù)，(公式)(請(qǐng)參照書本)。其后300多年來未見二項(xiàng)式定理有什么值得稱道的新發(fā)展；然而科學(xué)實(shí)驗(yàn)、生產(chǎn)實(shí)踐的發(fā)展卻從不停滯，客觀現(xiàn)實(shí)也都希望二項(xiàng)式定理能發(fā)揮更大的作用，但現(xiàn)狀總難于改觀。
　　為使二項(xiàng)式定理系列能涵蓋更多的內(nèi)容，擴(kuò)大其使用的范圍，筆者獨(dú)辟蹊徑，從對(duì)稱多項(xiàng)式基本定理出發(fā)，由考慮二元齊次對(duì)稱多項(xiàng)式與二項(xiàng)式定理間的關(guān)系入手，取得了可喜的進(jìn)展。
　　眾所周知，二元齊次對(duì)稱多項(xiàng)式的一般形式為：
　　(公式)(請(qǐng)參照書本)
　　二元齊次對(duì)稱多項(xiàng)式的全體構(gòu)成的無窮集合為
　　(公式)(請(qǐng)參照書本)。
　　將S中的每個(gè)多項(xiàng)式的初等表達(dá)式都寫出后，便得到無窮多個(gè)恒等式，這無窮多個(gè)恒等式構(gòu)成的集合記作B，即(公式)(請(qǐng)參照書本)
　　我們要指出下面的結(jié)論：
　　(1)已經(jīng)將二項(xiàng)式定理推廣成非常一般的形式；
　　(2)集合B是由二項(xiàng)式定理和它的全部等價(jià)公式所構(gòu)成的一個(gè)無窮集合；
　　(3)無窮集合s與B的元素之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；
　　(4)集合S、B的元素是完全平等的，無主次之分、無貴賤之別；
　　(5)主要應(yīng)用：將二項(xiàng)式定理的等價(jià)公式應(yīng)用到算術(shù)、代數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)、雙曲函數(shù)、反雙曲函數(shù)等方面，不僅能導(dǎo)出數(shù)以百計(jì)(遠(yuǎn)多于一百)的新的數(shù)學(xué)公式；特別應(yīng)用到組合計(jì)數(shù)問題上，徹底地將歷史遺留下來的解的大量不合情理的、不可理喻的表達(dá)形式，作了“根除術(shù)”后，恢復(fù)了本來面目。
　　由于微分學(xué)上的萊布尼茲(Leibniz，1646—1716)公式(定理)的展開式的系數(shù)與代數(shù)學(xué)上的二項(xiàng)式定理(公式)的展開式的相應(yīng)系數(shù)完全一致，這又誘導(dǎo)我們?cè)谖⒎謱W(xué)上做了與代數(shù)學(xué)上完全平行的工作。即推廣了萊布尼茲定理，建立了由萊布尼茲公式及它的無窮多個(gè)等價(jià)公式所構(gòu)成的一個(gè)無窮集合：
　　(公式)(請(qǐng)參照書本)
　　萊布尼茲定理的等價(jià)公式也有多方面的應(yīng)用，在此我們僅指出：將它們應(yīng)用到某些不定積分的計(jì)算上，能將求不定積分的運(yùn)算轉(zhuǎn)化成求導(dǎo)的運(yùn)算，這是一件令人難以置信的事。
　　考慮到本書的總結(jié)與提高，在全書的最后安排了第九章，簡(jiǎn)單介紹了一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)——線性空間。線性空間的基本概念，在科技領(lǐng)域內(nèi)已可以算得上是常識(shí)性的內(nèi)容(概念)了，熟悉這一重要而又基本的概念是非常必要的。

作者簡(jiǎn)介

　　唐祜華，男，1932年出生于湖南省耒陽市農(nóng)村，1956年畢業(yè)于中山大學(xué)數(shù)學(xué)系（本科），同年9月分配到西安交通大學(xué)任教。20年后的1976年10月，應(yīng)國務(wù)院要求、本人爭(zhēng)取、學(xué)校的派遣，到湖南支援湘潭大學(xué)，在數(shù)學(xué)系任教至1992年9月退休?！　?972年晉級(jí)講師，1979年晉級(jí)為副教授，1987年晉級(jí)為教授?！　?966年1月在高等教育出版社出版了與人合編的《復(fù)變函數(shù)》，作為全國高等工業(yè)學(xué)校無線電類和電機(jī)類專業(yè)“復(fù)變函數(shù)”課程試用教科書。共發(fā)表數(shù)學(xué)論文約20篇，多數(shù)被美國著名雜志Math Revs（《數(shù)學(xué)評(píng)論》）、《中國數(shù)學(xué)文摘》、《全國報(bào)刊索引》摘錄。

書籍目錄

第一篇 預(yù)備知識(shí)
 第1章 對(duì)稱多項(xiàng)式基本定理簡(jiǎn)介
 1.1 對(duì)稱多項(xiàng)式的基本概念
 1.2 幾個(gè)簡(jiǎn)單例子
 第2章 二項(xiàng)式定理歷史的簡(jiǎn)單回顧
 2.1 二項(xiàng)式定理的一個(gè)常用的等價(jià)公式
 2.2 二項(xiàng)式定理的幾種常見的推廣
第二篇 二元齊次對(duì)稱多項(xiàng)式與二項(xiàng)式定理
 第3章 二項(xiàng)式定理的第一等價(jià)公式
 3.1 問題的提出
 3.2 公式的證明
 3.3 各項(xiàng)系數(shù)的結(jié)構(gòu)規(guī)律
 3.4 數(shù)字表
 3.5 系數(shù)恒等式簡(jiǎn)介
 3.6 第一等價(jià)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用
 3.7 第一等價(jià)公式的兩種推廣
 第4章 二項(xiàng)式定理的第二等價(jià)公式
 4.1 問題的提出
 4.2 公式的證明
 4.3 等價(jià)性的證明
 4.4 系數(shù)恒等式簡(jiǎn)介
 4.5 數(shù)字表
 4.6 公式(Ⅳ)的簡(jiǎn)單應(yīng)用
 4.7 第二等價(jià)公式的兩種推廣
 第5章 等價(jià)公式的綜合與應(yīng)用
 5.1 二元偶次對(duì)稱多項(xiàng)式的一種新表達(dá)式
 5.2 某些已知公式的擴(kuò)充
 5.3 等價(jià)公式之間的一些平行結(jié)果
 5.4 兩個(gè)重要多項(xiàng)式
 5.5 組合計(jì)算問題的解上的一個(gè)歷史遺留問題
 第6章 二項(xiàng)式定理的推廣——二元齊次對(duì)稱多項(xiàng)式與二項(xiàng)式定理等價(jià)公式的一一對(duì)應(yīng)
 6.1 問題的提出
 6.2 二項(xiàng)式定理的推廣
 6.3 二元n次齊次對(duì)稱多項(xiàng)式與二項(xiàng)式定理
 6.4 對(duì)稱多項(xiàng)式基本定理結(jié)構(gòu)的解讀淺嘗
 6.5 “正宗二項(xiàng)式定理”頭銜該授予誰
 6.6 在可交換方陣上的推廣
第三篇 交代式輪換式反輪換式
 第7章 二元奇次齊次交代式與“奇負(fù)二項(xiàng)式定理”的一一對(duì)應(yīng)
 7.1 問題的提出
 7.2 幾個(gè)基本概念
 7.3 交代式基本定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用
 7.4 “奇負(fù)二項(xiàng)式定理”若干常見的等價(jià)公式
 7.5 奇負(fù)二項(xiàng)式定理的推廣
第四篇 萊布尼茲定理(公式)的等價(jià)公式的建立、應(yīng)用和推廣
 第8章 萊布尼茲定理的等價(jià)公式
 8.1 萊布尼茲定理第一等價(jià)公式的建立及簡(jiǎn)單應(yīng)用
 8.2 萊布尼茲定理的第二等價(jià)公式的建立
 8.3 與代數(shù)恒等式(Ⅳ)相對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)恒等式
 8.4
萊布尼茲定理(公式)的推廣一二項(xiàng)式定理等價(jià)公式與萊布尼茲定理等價(jià)公式的一一對(duì)應(yīng)
 8.5 萊布尼茲定理諸等價(jià)公式在計(jì)算不定積分上的應(yīng)用
第五篇 線性空間的基本概念
 第9章 等價(jià)公式集合構(gòu)成線性空間
 9.1 線性空間的基本概念
 9.2 三個(gè)無窮集合S、B、L構(gòu)成線性空間
 9.3 線性空間的同構(gòu)
參考文獻(xiàn)

編輯推薦

　　《二元齊次對(duì)稱多項(xiàng)式與二項(xiàng)式定理》對(duì)稱多項(xiàng)式基本定理，二項(xiàng)式定理歷史，二元齊次對(duì)稱多項(xiàng)式與二項(xiàng)式定理，交代式輪換式反輪換式，萊布尼茲定理（公式）的等價(jià)公式的建立、應(yīng)用和推廣，線性空間的基本概念?！　　抖R次對(duì)稱多項(xiàng)式與二項(xiàng)式定理》內(nèi)容新穎，然理論又不深?yuàn)W，僅需具備中學(xué)代數(shù)中的部分知識(shí)，就能順利讀懂并掌握書中主要內(nèi)容。本書可以作為大學(xué)理、工科學(xué)生關(guān)于萊布尼茲定理（公式）、對(duì)稱多項(xiàng)式的應(yīng)用以及線性空間概念等的補(bǔ)充讀物；也可供部分成績(jī)優(yōu)良的高中學(xué)生及具有同等學(xué)力的數(shù)學(xué)愛好者閱讀；作為中學(xué)理科教師及大學(xué)理、工科教師的教學(xué)參考資料，也很合適的。

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