應(yīng)用常微分方程

前言

　　常微分方程是理科學(xué)生，尤其是數(shù)學(xué)類專業(yè)學(xué)生的一門必修課程。同時(shí)，由于常微分方程與實(shí)際問題聯(lián)系密切，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，多數(shù)工科學(xué)生也需要掌握常微分方程的基本理論和方法，以便從理論上提升實(shí)驗(yàn)或經(jīng)驗(yàn)成果?！　∑駷橹梗瑖鴥?nèi)外為理科學(xué)生編寫的教材為數(shù)眾多，但適合工科學(xué)生的教材寥寥無幾。這兩類教材包含相同的核心內(nèi)容，即常微分方程的基本理論和方法，但前者側(cè)重于理論的縝密、完整和深入；后者更關(guān)注理論與實(shí)際的結(jié)合，偏重于方法的運(yùn)用?！　¤b于此，本書是一本為工科高年級(jí)學(xué)生和研究生學(xué)習(xí)常微分方程而撰寫的教材，以理論有據(jù)、方法通用、聯(lián)系實(shí)際為目標(biāo)。因此，書中對(duì)常微分方程的基本定理給出了數(shù)學(xué)的論證，而對(duì)這些原理的更深層次的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)引而不證；對(duì)方程求解除了傳統(tǒng)的初等積分方法外，還介紹了數(shù)值解的方法和數(shù)學(xué)軟件的使用；結(jié)合實(shí)際問題討論了建立常微分方程模型的原則。考慮到多數(shù)工科學(xué)生初學(xué)時(shí)對(duì)純數(shù)學(xué)推導(dǎo)會(huì)不很適應(yīng)，建議對(duì)第l章中的基本定理以理解定理的條件和結(jié)論為主，在學(xué)過本書后再回到1.3節(jié)體會(huì)證明的方法和要點(diǎn)?！　∪珪?章、第1章講授常微分方程的概念和基本定理。第2章在介紹微分算子相關(guān)運(yùn)算的基礎(chǔ)上，討論線性微分方程和線性微分系統(tǒng)通解的構(gòu)成，講解用算子法解齊次和非齊次系統(tǒng)的方法。第3章講授非線性微分方程和系統(tǒng)，除一階方程的求解外，重點(diǎn)討論因非線性而產(chǎn)生的解的非唯一性、分支和混沌現(xiàn)象。第4章講授微分方程數(shù)值解。第5章講解建立常微分方程數(shù)學(xué)模型的原則和過程。數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用分散在第2-5章，結(jié)合各類求解方法的講授而作簡要介紹?！　┑母戒浗o出了常系數(shù)高階齊次線性微分系統(tǒng)基本解組中線性無關(guān)解的個(gè)數(shù)，討論了非齊次系統(tǒng)的可解性和初值問題的提法。其中線性無關(guān)解個(gè)數(shù)的論證，實(shí)際給出了尋求基本解組的途徑。　　本書的出版得到了北京理工大學(xué)研究生院的資助，謹(jǐn)致謝意?！　惺杪┎划?dāng)之處，敬請(qǐng)專家、讀者指正。

內(nèi)容概要

與偏重理淪體系完整、描理嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦砜平滩牟煌緯鴤?cè)重從應(yīng)用的需要出發(fā)介紹常微分方程的理論和方法，力求概念準(zhǔn)確清晰，理論有據(jù)，方法實(shí)用，并將這些方法和數(shù)值計(jì)算、微分方程建模結(jié)合起來。    本書突出了非線性常微分方程與線性微分方程，隱式微分方程與顯式微分方程的差異，介紹了分支、混沌等非線性問題中的特有現(xiàn)象，有助于理解非線性問題的復(fù)雜性，在線性微分系統(tǒng)的求解中，吸收作者的科研成果，用微分算子法作為求解的普遍方法，用算子多項(xiàng)式分解及算子矩陣的伴隨陣?將微分算子法用于變系數(shù)高階線性方程和常系數(shù)線性微分系統(tǒng)的通解計(jì)算，書中有大量計(jì)算示例和模型構(gòu)建實(shí)例，可以對(duì)方法的掌握起到尋引作用。    本書可供需要學(xué)習(xí)常微分方程理論的丁科高年級(jí)學(xué)生和研究生作為教材或閱讀之用，也可供教師、科研人員及理科學(xué)生參考。

書籍目錄

前言第1章 基本概念、預(yù)備知識(shí)及基本定理  1.1 基本概念    1.1.1 常微分方程    1.1.2 常微分方程的來源    1.1.3 常微分方程的解    1.1.4 常微分方程的求解途徑及任意常數(shù)的出現(xiàn)與確定    1.1.5 常微分方程的應(yīng)用  1.2 預(yù)備知識(shí)    1.2.1 范數(shù)及運(yùn)算關(guān)系    1.2.2 函數(shù)向量組的線性相關(guān)    1.2.3 函數(shù)向量，函數(shù)矩陣及函數(shù)行列式的求導(dǎo)    1.2.4 不動(dòng)點(diǎn)定理    1.2.5 隱函數(shù)定理    1.2.6 Gronwall不等式  1.3 基本定理    1.3.1 Pcano存在定理    1.3.2 Picard定理    1.3.3 比較定理    1.3.4 解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)依賴第2章 線性微分方程和微分系統(tǒng)  2.1 微分方程和微分系統(tǒng)解的結(jié)構(gòu)    2.1.1 微分算子多項(xiàng)式    2.1.2 線性微分系統(tǒng)解的結(jié)構(gòu)  2.2 微分方程和微分系統(tǒng)的求解    2.2.1 求解一階線性微分方程    2.2.2 求解高階線性微分方程的一般法則    2.2.3 常系數(shù)高階線性方程的求解    2.2.4 Euler方程    2.2.5 幾類變系數(shù)二階線性微分方程    2.2.6 常系數(shù)線性微分系統(tǒng)的求解  2.3 線性微分方程及系統(tǒng)的應(yīng)用    2.3.1 數(shù)學(xué)解揭示的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)    2.3.2 線性微分方程和線性微分系統(tǒng)的應(yīng)用  2.4 用數(shù)學(xué)軟件解線性微分系統(tǒng)    2.4.1 MATLAB的指令表示    2.4.2 MATLAB解微分系統(tǒng)的示例第3章 非線性方程和非線性系統(tǒng)  3.1 非線性方程的求解    3.1.1 一階顯式微分方程的求解    3.1.2 一階隱式方程的求解  3.2 非線性微分系統(tǒng)的定性分析    3.2.1 解的穩(wěn)定性    3.2.2 自治微分系統(tǒng)的定常解和平衡點(diǎn)    3.2.3 平面微分系統(tǒng)平衡點(diǎn)的指標(biāo)    3.2.4 平面微分系統(tǒng)的周期解和極限環(huán)  3.3 分支和混沌    3.3.1 分支    3.3.2 混沌  3.4 用數(shù)學(xué)軟件解非線性系統(tǒng)    3.4.1 用數(shù)學(xué)軟件解微分系統(tǒng)和作圖    3.4.2 示例第4章 微分方程數(shù)值計(jì)算和數(shù)學(xué)軟件  4.1 常微分系統(tǒng)數(shù)值逼近和誤差分析    4.1.1 Euler法    4.1.2 線性多步法    4.1.3 Runge-Kutta法  4.2 剛性方程組的數(shù)值計(jì)算    4.2.1 剛性方程組的特點(diǎn)和數(shù)值方法的A穩(wěn)定性    4.2.2 隱式Runge-Kutta法和B穩(wěn)定性  4.3 數(shù)學(xué)軟件在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用    4.3.1 數(shù)值方法的MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)    4.3.2 用MATLAB庫函數(shù)求解常微分系統(tǒng)第5章 微分方程模型的建立與求解  5.1 建立模型的原則與基本方法    5.1.1 數(shù)學(xué)模型    5.1.2 建立微分方程模型的原則    5.1.3 建模步驟    5.1.4 建模的方法  5.2 微分方程模型的求解    5.2.1 設(shè)定條件求解析解    5.2.2 設(shè)定條件求數(shù)值解  5.3 微分方程模型的實(shí)例部分習(xí)題參考答案參考文獻(xiàn)附錄 常系數(shù)齊次線性微分系統(tǒng)的基礎(chǔ)解系索引后記

編輯推薦

　　本書是一本為工科高年級(jí)學(xué)生和研究生學(xué)習(xí)常微分方程而撰寫的教材，以理論有據(jù)、方法通用、聯(lián)系實(shí)際為目標(biāo)，因此，書中對(duì)常微分方程的基本定理給出了數(shù)學(xué)的論證，而對(duì)這些原理的更深層次的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)引而不證；對(duì)方程求解除了傳統(tǒng)的初等積分方法外，還介紹了數(shù)值解的方法和數(shù)學(xué)軟件的使用；結(jié)合實(shí)際問題討論了建立常微分方程模型的原則，考慮到多數(shù)工科學(xué)生初學(xué)時(shí)對(duì)純數(shù)學(xué)推導(dǎo)會(huì)不很適應(yīng)，建議對(duì)第1章中的基本定理以理解定理的條件和結(jié)論為主，在學(xué)過本書后再回到1.3節(jié)體會(huì)證明的方法和要點(diǎn)。

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