拓撲學基礎及應用

前言

眾所周知，拓撲學（與分析學和代數(shù)學一起）是現(xiàn)代基礎數(shù)學的三個關鍵領域之一，近幾十年來，拓撲學在經歷朝抽象方面發(fā)展的階段后，又在諸多應用領域得到了廣泛的發(fā)展，本書就是為了適應這一趨勢而推出的。本書適用于對拓撲學及其應用感興趣的各專業(yè)本科生與研究生，當然還有教師和專業(yè)人員，這些專業(yè)領域包括數(shù)字圖像處理、遺傳工程、地理信息系統(tǒng)、機器人學、醫(yī)學（心臟搏動模型）、生物化學、化學、經濟學、化學圖論、電子線路設計和宇宙學等，對于數(shù)學專業(yè)的本科生、研究生和教師，本書也是很好的教材或教學參考書，此外，關注數(shù)學教學改革的各界人士，也能從本書得到有益的啟示。本書可以分為兩大部分，前七章作為第一部分，是介紹拓撲學基礎的核心部分，后七章是第二部分，其中的拓撲學論題的結論大都來自前七章的結論。作者在展開內容時，無論是理論還是應用方面，都先提供一個簡短的、引人入勝的背景知識的介紹，為引進有關的概念作鋪墊，并激發(fā)讀者學習和以后進一步鉆研的興趣，為了減輕讀者的負擔，除了核心部分，作者還設法讓本書所討論的論題彼此獨立，在“前言”中，列表給出了這些論題之間的關系，借助這個表，讀者就可以采用最合理的途徑，盡快地實現(xiàn)自己的目標。對應用感興趣的讀者，可以按照“前言”中列表的提示選學有關的章節(jié)，為解決相關領域的問題，盡快奠定必要的拓撲學的基礎。

內容概要

本書通過大量例子和插圖，用生動的語言深入淺出地闡述了拓撲學這門重要的、充滿魅力的數(shù)學課程。本書分為兩部分，前七章作為第一部分，介紹了拓撲學這門重要的、充滿魅力的課程的基本內容；后七章作為第二部分，論述了拓撲學的概念在其他數(shù)學領域、科學以及工程方面的作用和意義。　　本書作為拓撲學的入門課程，適用于對拓撲學的應用感興趣的各專業(yè)本科生與研究生。本書分為兩部分，前七章作為第一部分，介紹了拓撲學這門重要的、充滿魅力的課程的基本內容；后七章作為第二部分，論述了拓撲學的概念在各領域的作用和意義，這些領域包括數(shù)字圖像處理、遺傳工程、地理信息系統(tǒng)、機器人學、醫(yī)學（心臟搏動模型）、生物化學、化學、經濟學、化學圖論、電子線路設計和宇宙學等?！　”緯攸c　　在展開內容時，先提供一個簡短的、引人入勝的背景知識介紹，為引進有關的概念作鋪墊，并激發(fā)讀者學習和以后進一步鉆研的興趣?！　√峁┝嗽S多例子和插圖，并用生動的語言深入淺出地闡述了這門通常被認為是很抽象的、很艱深的、望而生畏的數(shù)學課程?！　∽⒅貑l(fā)學生的思維，有利于科學獨創(chuàng)性的培養(yǎng)。　　除了反映拓撲學廣泛應用的動態(tài)外，還為數(shù)學教學改革提供了范例。 　　

作者簡介

Colin Adams 1983年于美國威斯康星大學麥迪遜分校獲得博士學位，現(xiàn)為美國威廉姆斯學院數(shù)學系Thomas T. Read教授。其研究領域包括紐結理論及其應用、雙曲3維流形等，已經發(fā)表了40多篇有關此領域的論文。

書籍目錄

譯者序 前言 第0章　引論 　0.1　拓撲學是什么以及如何應用　0.2　歷史一瞥 　0.3　集合及其運算 　0.4　歐幾里得空間 　0.5　關系 　0.6　函數(shù) 第1章　拓撲空間 　1.1　開集與拓撲學的定義 　1.2　拓撲的基 　1.3　閉集 　1.4　拓撲學應用舉例 第2章　內部、閉包與邊界 　2.1　集合的內部與閉包 　2.2　極限點 　2.3　集合的邊界 　2.4　在地理信息系統(tǒng)中的一個應用 第3章　構建新的拓撲空間 　3.1　子空間拓撲 　3.2　積拓撲 　3.3　商拓撲 　3.4　有關商空間的更多例子 　3.5　構形空間與相空間 第4章　連續(xù)函數(shù)與同胚 　4.1　連續(xù)性 　4.2　同胚 　4.3　機器人學的正向運動學映射 第5章　度量空間 　5.1　度量 　5.2　度量與信息 　5.3　度量空間的性質 　5.4　可度量化 第6章　連通性 　6.1　建立連通性的第一種途徑 　6.2　用連通性區(qū)分拓撲空間 　6.3　介值定理 　6.4　道路連通性 　6.5　自動導向裝置 第7章　緊致性 　7.1　開覆蓋與緊致空間 　7.2　度量空間中的緊致性 　7.3　極值定理 　7.4　極限點緊致性 　7.5　單點緊化 第8章　動力系統(tǒng)與混沌 　8.1　函數(shù)迭代 　8.2　穩(wěn)定性 　8.3　混沌 　8.4　復雜動力系統(tǒng)的簡單人口模型 　8.5　混沌蘊涵對初始條件的敏感依賴性第9章　同倫與度理論 　9.1　同倫 　9.2　圓函數(shù)、度與收縮 　9.3　在心臟搏動模型中的一個應用 　9.4　代數(shù)學基本定理 　9.5　再論拓撲空間的區(qū)分 　9.6　再論度 第10章　不動點定理及其應用 　10.1　布勞威爾不動點定理 　10.2　在經濟學中的一個應用 　10.3　卡庫塔尼不動點定理 　10.4　博弈論與納什均衡 第11章　嵌入 第12章　紐結 第13章　圖論與拓撲學 第14章　流形與宇宙學 進一步閱讀材料 參考文獻

章節(jié)摘錄

插圖：引論0.1 拓撲學是什么以及如何應用拓撲學是所有數(shù)學學科中最活躍的一個領域。按照傳統(tǒng)的說法，拓撲學（與代數(shù)學及分析學一起）被認為是基礎數(shù)學的三大領域之一。近年來，由于許多數(shù)學家和科學家把拓撲學的概念用于模擬或理解現(xiàn)實世界的結構和現(xiàn)象，拓撲學又成了應用數(shù)學的一個重要組成部分。在本書中，我們按以下兩個方面來介紹拓撲學：一是作為一門基礎學科的傳統(tǒng)方法；二是作為應用工具的一種有價值的來源。按照應用的觀點，我們發(fā)現(xiàn)拓撲學既對現(xiàn)實世界的問題產生影響，又影響著其他數(shù)學領域的種種成果。拓撲學脫胎于幾何學，推廣了它的某些觀念，并拋棄了出現(xiàn)在其中的某些結構。從字面上看，“拓撲學”這個詞意味著關于配置與定位的研究。拓撲學研究形狀及其性質、變形和它們之間的映射，以及把它們組合起來的構形。拓撲學通常被稱為“橡皮膠布幾何學”。在傳統(tǒng)的幾何學中，把像圓周、三角形、平面和多面體這樣的物體當作剛體，明確定義了點與點之間的距離，以及棱與面之間的角度。但是，拓撲學與距離以及角度是不相關的。如果物體是由橡皮做的，能夠變形。我們允許物體彎曲、扭轉、拉伸、收縮，或者相互變形，但是我們不允許物體撕裂。在圖0.1中，我們看到4種形狀，從幾何透視來說它們是不同的。而在拓撲學中卻認為它們是等價的。其中任何一種，如果由橡皮制作，那么就可以變形為其余每一種。在圖0.2中，我們看到兩個物體（環(huán)面與球面）在拓撲學中是不同的。按照拓撲學的任何方式，都不能把一個球面變形為環(huán)面，因而按拓撲學的眼光，這兩種曲面是不等價的。

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